6 非线性规划1、判断函数的凸凹性 （1）3)4()(x x f -=，4≤x （2）22212132)(x x x x X f ++= （3）21)(x x X f =（1）解：'2f (x)3(4)0x =--<=， x<=4,故f(x)在（-∞，4]上是不减函数，''f (x)6(4)0x =->=，故f(x)在（-∞，4]上是凸函数。

（2）解：f(x)的海赛矩阵22()26H x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，因H （x ）正定，故f （x ）为严格的凸函数。

（3）解：取任意两点(1)11(,)Xa b =、),(22)2(b a X =，从而(1)11().f X a b =，(2)22().f X a b =，(1)11()(,)T f X b a ∇=看下式是否成立：(2)(1)(1)(2)(1)()()().()f X f X f X X X >+∇- 2211112121..(,)(,)T a b a b b a a a b b >+--2121().()0a a b b -->1212,,,a a b b 是任意点，并不能保证上式恒成立，故所以12()f X x x =既非凸函数，也非凹函数。

2、分别用斐波那契法和黄金分割法求下述函数的极小值，初始的搜索区间为]15,1[∈x ，要求5.0|)()(|1≤--n n x f x f 。

x x x x X f 1357215)(234-+-=解：斐波那契法已知δ = 0.5/(15-1)=1/28、a = 1、b = 15，有128n F δ≥=，即8n =。

7821134()15(151) 6.3529FF a b b a =--=--≈ 7821134()1(151)9.6471F F b a b a =+-=+-≈11()168.876()592.4527f a f b =-<=故搜索区间可以从[1,15]缩减为[1,9.6471]。

已经存在一个已知的试点1 6.3529a =及其函数值1()168.876f a =-，将原试点1 6.3529a =改为1 6.3529b =，1()168.876f b =-。

计算一个新试点131219.6471(9.64711) 4.2941a =--≈，11()99.7703()168.876f a f b =->=-，故搜索区间缩减为[4.2941,9.6471]。

将原有点1 6.3529a =视为1a ，新的试点81134.2941(9.6471 4.2941)7.5883b =+-≈ 故搜索区间缩减为[4.2941,7.5883]。

继续选取对称点比较函数值，以使区间进一步缩短，直到区间长度不大于0.5，因此符合精度要求的点为6.35295 6.764726.5588+≈，近似极小值为-169.799。

黄金分割法1a =，15b =，10.382()10.382(151) 6.348a a b a =+-=+-= 10.618()00.618(151)9.652b a b a =+-=+-=,11( 6.348)168.822(9.652)595.7061f a f b ==-<==，故搜索区间缩减为[1,9.6527]。

令1b =6.348，寻找新点1a =4.3051，11( 4.348)100.096( 6.348)168.822f a f b ==->==-，故搜索区间缩减为[4.3051,9.6527]。

1( 5.5674)147.644f a ==-，1(7.6095)114.599f b ==-(6.0495)163.291f =-， (6.8294)166.403f =- (6.348)168.822f =-， (6.8294)166.403f =-因6.8295-6.348=0.4815<0.5，因此符合精度要求的近似极小点为6.8295 6.3482 6.58875+≈，近似极小值为-169.7。

3、试计算出下述函数的梯度和海赛矩阵（1）232221)(x x x X f ++= （2）)ln()(222121x x x x X f ++= （3）2143)(221x x e x x X f += （4）)ln()(2112x x x X f x+=（1）解：123()(2,2,2)Tf X x x x ∇=，200()020002H X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）解：121222221122112222()(,)Tx x x x f X x x x x x x x x ++∇=++++22221122112222222221122112211222241()()422x x x x x x x x H X x x x x x x x x x x x x ⎡⎤--+---=⎢⎥++-----⎣⎦（3）解：1212212121()(34,64)x xx xTf X x x e x x x e ∇=++121212122222122212114464(1)()64(1)64x x x x x x x x x x e x x x e H X x x x ex x e ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦（4）解：22121111211()(,ln )x x T f X x x x x x x -∇=++ 222222221221211121112211111221(1)ln ()1ln (ln )x x x x x x x x x x x x x x H X x x x x x x x -----⎡⎤--+⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦4、用梯度法（最速下降法）求函数22212121244)(x x x x x x X f ---+=的极大点，初始点T X )1,1()0(=。

解：初始近似点(0)(1,1)T X=，1212()(44,42)T f X x x x x ∇=----(0)()(1,1)T f X ∇=-，2(0)2()2f X ∇==又因为41()12H X --⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，λ0 =(0)(0)(0)(0)(0)()()12()()()T T f X f X f X H X f X ∇∇∇∇-=下一迭代点 )1(X =-)0(X λ0)()0(X f ∇=1211121132⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭，(1)13()(,)22T f X ∇=λ1 =(1)(1)(1)(1)(1)1()()2()()()124T T f X f X f X H X f X ∇∇∇∇-=-=-(2)X =(1)X -λ1(1)()f X ∇=145118223113228⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(2)11()(,)88T f X ∇=-，λ2 =12(3)(0.5625,1.6875)T X =，(3)11()(,)88T f X ∇=-，λ2 =12(4)(0.5781,1.7031)T X =，(4)()(0.0625,0.0625)T f X ∇=，λ3 =14(5)(0.5703,1.7109)T X =，(5)()(0.01563,0.015625)T f X ∇=-，λ4 =12(6)(0.5723,1.7129)T X =，(6)()(0.00781,0.00781)T f X ∇=，λ5 =14(7)(0.5713,1.7139)T X =，(7)()(0.00196,0.001952)T f X ∇=-因为2(7)()0.002763f X ∇=已经很小，所以过程可以结束。

此时所得的近似极大点是(7)(0.5713,1.7139)T X =。

5、用牛顿法求解2121)(max ++=x x X f ，初始点T X)0,4()0(=，分别用最佳步长和固定步长0.1=λ进行计算。

6、用变尺度法求解22131)2()2()(min x x x X f -+-=，初始点T X )3,0()0(=，要求近似极小点梯度的模不大于5.0。

解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001)()0(XH ，(0)03X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T x x x x X f ),23()(1221---=∇于是(0)()(0,24)T f X ∇=(0)(0)(0)1000()()012424PH Xf X⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∇=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦利用一维搜索 λ0：+)0((min Xf λ))0(P ，可得 λ018=，于是：(1)(0)(0)10800(0,0)324T X X P λ⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦(1)()(12,0)T f X ∇= (0)(1)(0)(0,3)T X X X ∆=-=- (0)(1)(0)()()(12,24)T G f X f X ∆=∇-∇=-利用式（6-17）有：)0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()()()()()()()()0()1()()(G X H G X H G G X H X G X X T T T T X H X H ∆∆∆∆∆∆∆∆-+=11872010001442880101288576-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦14032161613⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485(1)(1)(1)140245321612()()16130PH X f X ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∇=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦再利用一维搜索 λ1：+)1((min Xf λ))1(P ，可得 λ1524=-，于是：(2)(1)(1)121X X P λ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦T X f )0,0()()2(=∇于是(2)(2,1)T X =即为极小点，函数)(X f 的极小为0。

7、写出下述非线性规划问题的K-T 条件（1） 1)(min x X f = （2） 2221)3()3()(min -+-=x x X f0)1(231≥--x x 0421≥--x x0,21≥x x 0,21≥x x（1）解：()(1,0)Tf X ∇=，211()[3(1),1]Tg X x ∇=---，2()[1,0]Tg X ∇=，3()[0,1]T g X ∇=。

对三个约束条件分别引入拉格朗日乘子*1γ、*2γ和3γ*，则有如下K －T条件：*211231103(1)00011x γγγ***⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3112[(1)]0x x γ***--=210x γ**= 320x γ**= *1γ，2γ*，30γ*≥即：*211213(1)0x γγ**+--= 130γγ**-=3112[(1)]0x x γ***--=210x γ**= 320x γ**= *1γ，2γ*，30γ*≥（2）解：12()(26,26)Tf X x x ∇=--，1()[1,1]Tg X ∇=--,2()[1,0]Tg X ∇=，3()[0,1]T g X ∇=。