第12章：全等三角形12．1全等三角形1．了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的对应元素．(重点)2．理解并掌握全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．(重点)3．能熟练找出两个全等三角形的对应角和对应边．(难点)一、情境导入在我们的周围，经常可以看到形状、大小完全相同的图形，这类图形在几何学中具有特殊的意义．观察下列图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形．你能再举出一些例子吗？二、合作探究探究点一：全等形和全等三角形的概念及对应元素【类型一】全等形的认识2013年第十二届全运会在辽宁举行，下图中的图形是全运会的会徽，其中是全等形的是()A．(1)(2)B．(2)(3)C．(1)(3)D．(1)(4)解析：根据能够完全重合的两个图形是全等形进行判断．由此可以判断选项D是正确的．方法总结：判断两个图形是不是全等形，可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合起来观察，看其是否能完全重合，有时还可以借助网格背景来观察比较．【类型二】全等三角形的对应元素如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角．解析：结合图形进行分析，分别写出对应边与对应角即可．C E；ADO与△AEO的对应解：BOD与△COE的对应边为：BO与CO，OD与OE，BD与△△角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE.方法总结：找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形，另外记全等三角形时，对应顶点要写在对应的位置上，这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了．探究点二：全等三角形的性质【类型一】应用全等三角形的性质求三角形的角或边如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．解析：根据全等三角形对应边、对应角相等求∠DEF的度数和CF的长．解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，∴∠D EF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.方法总结：本题主要是考查运用全等三角形的性质求角的度数和线段的长，解决问题的关键是准确识别图形．【类型二】全等三角形的性质与三角形内角和的综合运用如图，△ABC≌△ADE，∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠ACB 的度数．解析：根据全等三角形的对应角相等可知∠EAB＝∠EAD＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，即∠CAB＝55°.然后在△ACB中利用三角形内角和定理来求∠ACB的度数．解：∵ABC≌△ADE，∴∠CAB＝∠EAD.∵∠EAB＝120°，∠CAD＝10°，∴∠EAB＝∠EAD △＋∠CAD＋∠CAB＝2∠CAB＋10°＝120°，∴∠C AB＝55°.∵∠B＝∠D＝25°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝180°－55°－25°＝100°，即∠ACB的度数是100°.方法总结：本题将三角形内角和与全等三角形的性质综合考查，解答问题时要将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来．三、板书设计全等三角形1．全等形与全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质：全等三角形的对应角、对应边相等．“首先展示全等形的图片，激发学生兴趣，从图中总结全等形和全等三角形的概念．最后 总结全等三角形的性质，通过练习来理解全等三角形的性质并渗透符号语言推理．通过实例 熟悉运用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题．12．2三角形全等的判定第 1 课时 “边边边”1．了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等．(重点)2．经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的 过程．(重点)3．在复杂的图形中进行三角形全等条件的分析和探索．(难点)一、情境导入问题提出：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图①所示的残片，你对图中的残片作哪 些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃，与同伴交流．学生活动：观察，思考，回答教师的问题．方法如下：可以将图①的玻璃碎片放在一块纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块 完整的三角形．如图②，剪下模板就可去割玻璃了．如果△ABC ≌ △A ′B ′△C ′，那么它们的对应边相等，对应角相等．反之，如果 ABC 与 △A ′B ′C ′满足三条边对应相等，三个角对应相等，即 AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C ′，CA ＝ C ′A ′，∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠△C ′这六个条件，就能保证 ABC ≌ △A ′B ′C ′. 从刚才的实践我们可以发现：只要两个三角形三条对应边相等，就可以保证这两块三角形全 等．这种说法对吗？二、合作探究探究点：三角形全等的判定方法——“边边边”【类型一】 利用 SSS ”判定两个三角形全等 如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，点 E 、C 在直线 BF 上，且 BE ＝CF △.求证： ABC ≌△DEF .“解析：已知△ABC与△DEF有两边对应相等，通过BE＝CF可得BC＝EF，即可判定△ABC≌△DEF.⎧⎪BC＝EF，证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝EC＋CF，即BC＝EF△.在ABC和△DEF中，∵⎨AB＝DE，∴⎪⎩AC＝DF，△ABC≌△DEF(SSS)．方法总结：判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【类型二】SSS”与全等三角形的性质结合进行证明或计算如图所示，△ABC是一个风筝架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证：AD⊥BC.解析：要证AD⊥BC，根据垂直定义，需证∠1＝∠2，∠1＝∠2△可由ABD≌△ACD证得．⎧⎪AB＝AC，证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD△.在ABD和△ACD中，∵⎨BD＝△C D，∴ABD≌△⎪⎩AD＝AD，ACD(SSS)，∴∠1＝∠2(全等三角形的对应角相等)．∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝∠2＝90°，∴AD⊥BC(垂直定义)．方法总结：将垂直关系转化为证两角相等，利用全等三角形证明两角相等是全等三角形的间接应用．【类型三】利用“边边边”进行尺规作图已知：如图，线段a、b、c△.求作：ABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c.(保留作图痕迹，不写作法)解析：首先画AB＝c，再以B为圆心，a为半径画弧，以A为圆心，b为半径画弧，两弧交于一点C，连接BC，AC，即可得到△ABC.△解：如图所示， ABC 就是所求的三角形．方法总结：关键是掌握基本作图的方法，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．【类型四】 利用“SSS ”解决探究性问题如图，AD ＝CB ，E 、F 是 AC 上两动点，且有 DE ＝BF .(1)若 E 、F 运动至图①所示的位置，且有 AF ＝△C E ，求证： ADE ≌△CBF . (2)若 E 、F 运动至图②所示的位置，仍有 AF ＝△C E ，那么 ADE ≌△CBF 还成立吗？为什 么？(3)若 E 、F 不重合，AD 和 CB 平行吗？说明理由．解析：(1)因为 AF ＝CE ，可推出 AE ＝CF ，所以可利用 SSS 来证明三角形全等；(2)同样利用三边来证明三角形全等；(3)因为全等，所以对应角相等，可推出 AD ∥CB .⎧⎪AD ＝CB ，解：(1)∵AF ＝CE ，∴AF ＋EF ＝CE ＋EF ，∴AE ＝CF △.在 ADE 和△CBF 中，∵⎨DE ＝BF ，∴⎪⎩AE ＝CF ，△ADE ≌△CBF .⎧⎪AD ＝CB ，(2)成立．∵AF ＝CE ，∴AF －EF ＝CE －EF ，∴AE ＝CF △.在 ADE 和△CBF 中，∵⎨DE ＝BF ，⎪⎩AE ＝CF ，∴△ADE ≌△CBF .(3)平行．∵△ADE ≌△CBF ，∴∠A ＝∠C ，∴AD ∥BC .方法总结：解决本题要明确无论 E 、F 如何运动，总有两个三角形全等，这个在图形中 要分清．三、板书设计边边边1．三边分别相等的两个三角形全等．简记为“边边边”或“SSS ”． 2．“边边边”判定方法可用几何语言表示为：⎧⎪AB ＝A 1B 1，在△ABC 和 △A 1B 1C 1 中，∵⎨BC ＝B 1C 1，∴△ABC ≌ △A 1B 1C 1(SSS)． ⎪⎩AC ＝A C ，1 1“A D F B本节课从操作探究活动入手，有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂的教学效率，促进了学生对新知识的理解和掌握．从课堂教学的情况来看，学生对“边边边”掌握较好，达到了教学的预期目的．存在的问题是少数学生在辅助线的构造上感到困难，不知道如何添加合理的辅助线，还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练．第2课时“边角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边”．(重点)2．能运用“边角边”判定方法解决有关问题．(重点)3．“边角边”判定方法的探究以及适合“边角边”判定方法的条件的寻找．(难点)一、情境导入小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办？请你帮助小伟想一个办法，并说明你的理由．想一想：要画一个三角形与小伟画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件？只知道一个条件(一角或一边)行吗？两个条件呢？三个条件呢？让我们一起来探索三角形全等的条件吧！二、合作探究探究点一：应用“边角边”判定两三角形全等【类型一】利用SAS”判定三角形全等如图，、、、在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC△.求证：AEF≌△BCD.解析：由AE∥BC，根据平行线的性质，可得∠A＝∠B，由AD＝BF可得AF＝BD，又AE ＝BC，根据SAS，即可证得△AEF≌△BCD.⎧⎪AE＝BC，证明：∵AE∥BC，∴∠A＝∠B.∵AD＝BF，∴AF＝BD△.在AEF和△BCD中，∵⎨∠A＝∠B，⎪⎩AF＝BD，∴△AEF≌△BCD(SAS)．方法总结：判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【类型二】“边边角”不能证明三角形全等下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是()A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．探究点二：全等三角形判定与性质的综合运用【类型一】利用全等三角形进行证明或计算已知：如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝45°，求∠C的度数．解析：利用已知条定方法可证明件易证∠ABC＝∠FBE，再根据全等三角形的判△ABC≌△FBE，由全等三角形的性质即可得到∠C＝∠BEF.再根据平行，可得出∠BEF的度数，从而可知∠C的度数．⎧⎪BC＝BE，解：∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠FBE△.在ABC和△FBE中，∵⎨∠ABC＝∠FBE，∴△ABC⎪⎩AB＝FB，≌△FBE(SAS)，∴∠C＝∠BEF.又∵BC∥EF，∴∠C＝∠BEF＝∠1＝45°.方法总结：全等三角形是证明线段和角相等的重要工具．【类型二】全等三角形与其他图形的综合如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.求证：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG.解析：(1)因为已知条件中有两个正方形，所以AD＝CD，DE＝DG，它们的夹角都是∠ADG加上直角，可得夹角相等，所以△ADE△和CDG全等；(2)再利用互余关系可以证明AE⊥CG.证明：(1)∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，∴AD＝CD，GD＝ED.∵∠CDG＝90°＋∠ADG，⎧⎪AD ＝CD ，∠ADE ＝90°＋∠ADG ，∴∠CDG ＝∠ADE △.在 ADE 和△CDG 中，∵⎨∠ADE ＝∠CDG ，∴△ADE⎪⎩DE ＝GD ，≌△CDG (SAS)，∴AE ＝CG ；(2)设 AE 与 DG 相交于 M ，AE 与 CG 相交于 △N ，在 GMN 和△DME 中，由(1)得∠CGD ＝∠AED ， 又∵∠GMN ＝∠DME ，∠DEM ＋∠DME ＝90°，∴∠CGD ＋∠GMN ＝90°，∴∠GNM ＝90°，∴AE ⊥CG .三、板书设计边角边1．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简记为“边角边”或“SAS ”． 2．“边角边”判定方法可用几何语言表示为：⎧⎪AB ＝A 1B 1，在△ABC 和 △A 1B 1C 1 中，∵⎨∠B ＝∠B △1，∴ ABC ≌ △A 1B 1C 1(SAS)． ⎪⎩BC ＝B C ，1 13．“SSA ”不能判定两个三角形全等．本节课从操作探究入手，具有较强的操作性和直观性，有利于学生从直观上积累感性认 识，从而有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂的教学效率，促进了学生 对新知识的理解和掌握．第 3 课时 “角边角”“角角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“角边角”， 角角边”．(重点) 2．能运用“角边角”“角角边”判定方法解决有关问题．(重点)3．“角边角”和“角角边”判定方法的探究以及适合“角边角”判定方法的条件的寻 找．(难点)一、情境导入如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块 完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？学生活动：学生先自主探究出答案，然后再与同学进行交流．教师点拨：显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的，而仅仅带③则可以，为什么呢？本节课我们继续研究三角形全等的判定方法．二、合作探究探究点一：应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等【类型一】应用“ASA”判定两个三角形全等如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝△C F，求证：ADF≌△CBE.解析：根据平行线的性质可得∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC，再根据等式的性质可得AF＝CE，然后利用ASA可证明△ADF≌△CBE.证明：∵AD∥BC，BE∥DF，∴∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，∠A＝∠C，⎧⎪即AF＝CE△.在ADF和△CBE中，∵⎨AF＝CE，∴△ADF≌△CBE(ASA)．⎪⎩∠DFA＝∠BEC，方法总结：在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”．【类型二】应用“AAS”判定两个三角形全等如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E.AD与BE交于F，若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF.解析：先证明∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，再由BF＝AC，根据AAS即可得出两三角形全等．证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°.∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∠BDF＋∠BFD＋∠DBF＝180°，∴∠DAC＝∠DBF△.在ADC和△BDF∠DAC＝∠DBF，⎧⎪中，∵⎨∠ADC＝∠BDF，∴△ADC≌△BDF(AAS)．⎪⎩AC＝BF，方法总结：在“AAS”中，“边”是“其中一个角的对边”．【类型三】灵活选用不同的方法证明三角形全等如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件可以是______________．解析：由∠BAD＝∠CAE得到∠BAC＝∠EAD，加上AB＝AE，所以当添加∠C＝∠D时，根据“AAS”可判断△ABC≌△AED；当添加∠B＝∠E时，根据“ASA”可判断△ABC≌△AED；当添加AC＝AD时，根据“SAS”可判断△ABC≌△AED.方法总结：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．探究点二：运用全等三角形解决有关问题已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E△.求证：(1)BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.解析：(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AB＝AC，利用AAS即可得证；(2)△由BDA≌△AEC，可得BD＝AE，AD＝EC，根据DE＝DA＋AE等量代换即可得证．证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∠ADB＝∠CEA＝90°，⎧⎪∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE△.在BDA和△AEC中，∵⎨∠ABD＝∠CAE，⎪⎩AB＝AC，∴△BDA≌△AEC(AAS)；(2)∵△BDA≌△AEC，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．三、板书设计“角边角”“角角边”1．角边角：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．简记为“角边角”或“ASA”．2．角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简记为“角角边”或“AAS”．3．三角形全等是证明线段相等或角相等的常用方法．本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方法．在寻找判定⎧⎪BF ＝CE ，⎩方法证明两个三角形全等的条件时，可先把容易找到的条件列出来，然后再根据判定方法去 寻找所缺少的条件．从课堂教学的情况来看，学生对“角边角”掌握较好，达到了教学的预 期目的．存在的问题是少数学生在方法“AAS”和“ASA ”的选择上混淆不清，还需要在今后 的教学中进一步加强巩固和训练．第 4 课时 “斜边、直角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”．(重点)2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解 决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每 个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是 他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段 BC 上，DE 与 AF 交于点 O ，且 AB ＝CD ，BE ＝CF .求证：△R t ABF ≌△R t DCE .解析：由题意可得△ABF △与 DCE 都为直角三角形，由 BE ＝CF 可得 BF ＝CE ，然后运用“HL ”即可判定 △R t ABF 与 △R t DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即 BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝△90°，∴ ABF 与△DCE都为直角三角形．在 △R tABF 和 Rt △DCE 中，∵⎨⎪AB ＝CD ，∴△R t ABF ≌△R t DCE (HL)．方法总结：利用“HL ”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后 找出对应的斜边和直角边相等即可．⎧⎪AB＝AD，AC＝AC，⎩探究点二：“斜边、直角边”判定三角形全等的运用【类型一】利用“HL”判定线段相等如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.解析：根据“HL”证△R t ADC≌△R t AFE，得CD＝EF，再根据“HL”证△R t ABD≌△R t ABF，得BD＝BF，最后证明BC＝BE.证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴△R t ADC ≌△R t AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴△R t ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD －CD＝BF－EF.即BC＝BE.方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．【类型二】利用“HL”判定角相等或线段平行如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证△R t ABC≌△R t ADC，进而得出角相等．证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝△90°，∴ABC与△ACD为直角三角形．在Rt△ABC和△R t ADC中，∵⎨∴△R t ABC≌△R t ADC(HL)，∴∠1＝∠2.⎪方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型三】利用“HL”解决动点问题如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌△R t CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的⎪⎩PQ＝AB，∴Rt△ABC≌△Rt QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；⎧⎪AP＝AC，⎧⎪⎩“位置．(2)Rt△QAP≌△R t BCA，此时AP＝AC，P、C重合．解：根据三角形全等的判定方法HL可知：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在△R t ABC与△R t QPA中，∵⎨AP＝BC，(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在△R t ABC与△R t QPA中，∵⎨∴△R t QAP⎪PQ＝AB，≌△R t BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型四】综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.解析：已知BE⊥AC，CD⊥AB可推出∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°，由AO平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS△证得AOD≌△AOE，根据ASA△证得BOD≌△COE，即可证得OB＝OC.证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.∵AO平分∠BAC，⎧⎪∠ADC＝∠AEB，∴∠△1＝∠2.在AOD和△AOE中，∵⎨∠1＝∠2，⎪⎩OA＝OA，⎧⎪∠BDC＝∠CEB，∴△AOD≌△AOE(AAS)．∴OD＝OE△.在BOD和△COE中，∵⎨OD＝OE，∴△BOD≌⎪⎩∠BOD＝∠COE，△COE(ASA)．∴OB＝OC.方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL”外，还有：SSS、SAS、ASA、AAS.三、板书设计“斜边、直角边”1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL”．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL”，除此之外，还可以选用“SAS”ASA”．两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD “AAS”以及“SSS”(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识．12．3角的平分线的性质第1课时角平分线的性质1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．(重点)2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的作法如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F12于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB＝∠CAB＝30°.⎧⎪DF＝BD，⎧⎪CD＝DE，⎩DE⎩解析：根据AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°，再根据AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．解：∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°，又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°，由作法12方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是∠BAC的角平分线是解题的关键．探究点二：角平分线的性质【类型一】利用角平分线的性质证明线段相等如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CDF≌△R t EDB，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC△和ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.∵在△R t DCF和△R tDEB中，∵⎨∴△R t CDF≌△R t EDB(HL)．∴CF＝EB；⎪DC＝DE，(2)∵AD是∠BAC的平分线，⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE△.在ADC与△ADE中，∵⎨⎪AD＝AD，∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等．【类型二】角平分线的性质与三角形面积的综合运用如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△SABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．6B．5C．4D．3解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD△是ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴△S ABC＝×4×2＋AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.⎧⎪CD＝CD，DE＝DF，“⎩1122方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】角平分线的性质与全等三角形综合如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.解析：由角平分线的性质可得DE＝DF，再利用HL”证明Rt△CDE和△R t CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和△R t CDF中，∵⎨∴△R t CDE≌△R t CDF(HL)，∴CE＝CF.⎪方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．三、板书设计角平分线的性质1．角平分线的作法；2．角平分线的性质；3．角平分线性质的应用．本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练．第2课时角平分线的判定1．掌握角平分线的判定定理．(重点)2．会用角平分线的判定定理解决简单的实际问题．(难点)一、情境导入⎧⎪中新网和田2015年2月25日电，新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止最早的园林之城．如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m.根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100000)二、合作探究探究点一：角平分线的判定定理【类型一】角平分线的判定如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．解析：先判定△R t BDE和△R t CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE与△CDF 是直角三角形．在△R t BDE和△R t CDF中，∵⎨BE＝CF，⎪⎩BD＝CD，∴△R t BDE≌△R t CDF，∴DE＝DF，∴AD是∠BAC的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．【类型二】角平分线性质和判定的综合如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有() A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE ＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；角平分线上的点到角的两边的距离相等，AO ，BO ，CO 都是角平分线，所以有∠CBO ＝∠ABO ＝ ∠ABC ，∠BCO ＝∠ACO ＝ ∠ACB ，∠ABC ＋故③正确；∴④到 AE 、AF 距离相等的点，到 DE 、DF 的距离也相等正确；①②③④都正确．故选 D.方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接 得到线段或角相等．【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题如图，已知：△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点 D .求证：AD 是∠BAC 的平分线．解析：分别过点 D 作 DE 、DF 、DG 垂直于 AB 、BC 、AC ，垂足分别为 E 、F 、G ，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知 DE ＝DG ，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上证明．证明：分别过 D 作 DE 、DF 、DG 垂直于 AB 、BC 、AC ，垂足分别为 E 、F 、G ，∵BD 平分∠CBE ， DE ⊥BE ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF .同理 DG ＝DF ，∴DE ＝DG ，∴点 D 在∠EAG 的平分线上，∴AD 是 ∠BAC 的平分线．方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利 用角平分线的判定或性质解决问题．探究点二：三角形的内角平分线【类型一】 利用角平分线的判定求角的度数在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A ＝40°，则∠BOC 的度数为( )A ．110°B ．120°C ．130°D ．140°解析：由已知，O 到三角形三边的距离相等，所以 O 是内心，即三条角平分线的交点，1 12 2∠ACB ＝180°－40°＝140°，∠OBC ＋∠OCB ＝70°，∠BOC ＝180°－70°＝110°，故选 A.。