第二十二章 二次函数 专项综合测试卷求二次函数解析式类型一 利用“一般式”求二次函数解析式1.（2018福建龙岩上杭月考）已知二次函数的图象经过点（0，3）、（-3，0）、（2，-5）.（1）试确定此二次函数的解析式；（2）请你判断点P （-2，3）是否在这个二次函数的图象上.2.（2020广东惠州博罗期中）已知抛物线2y ax bx c =++经过A （0，2），B （4，0）， C （5，-3）三点，当x ≥0时，图象如图所示.（1）求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点坐标；（2）画出抛物线2y ax bx c =++在y 轴左侧的部分.3.（2019广东广州越秀月考）已知抛物线2y ax bx c =++过点A （-1，1），B （4，-6）， C （0，2）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）该抛物线的对称轴是_________，顶点坐标是__________；（3）选取适当的数据，并在直角坐标系内描点画出该抛物线.类型二 利用“顶点式”求二次函数解析式4.（2019四川广安月考）某抛物线的对称轴为直线3x =，y 的最大值为-5，且与212y x =的图象开口大小相同，则这条抛物线的解析式为（ ）A. 21(3)52y x =-++B. 21(3)52y x =--- C. 21(3)52y x =++ D. 21(3)52y x =-- 5.（2020山东济宁任城期中）已知一个二次函数有最大值4.当x >5时，y 随x 的增大而减小，当x <5时，y 随x 的增大而增大，且该函数图象经过点（2，1），求该函数的解析式.6.（2020浙江宁波鄞州期中）已知二次函数2y ax bx c =++的图象顶点坐标为（1，4），且经过点C （3，0）.（1）求该二次函数的解析式；（2）当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？（3）当3y x ≤-+时，直接写出x 的取值范围.7.（2019安徽合肥包河月考）已知二次函数图象经过A（-5，0），B（3，0），C（-1，16）三点，求该抛物线的解析式.8.（2020浙江湖州长兴期中）如图，已知抛物线2=++与x轴交于点A（1，0）和B（3，y x bx c0），与y轴交于点C.（1）求b和c的值；（2）求直线AC的解析式.9.（2020四川南充阆中期中）如图，已知二次函数2=++的图象过点A（1，0），B（-y ax bx c3，0），C（0，-3）三点.（1）求这个二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，求点P的坐标.10.（2017江苏盐城中考）如图，将函数21(2)12y x =-+的图象沿y 轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点A （1，m ）、B （4，n ）平移后的对应点分别为A'、B'.若曲线段AB 扫过部分（图中的阴影部分）的面积为9，则新图象的函数表达式是（ ）A. 21(2)22y x =--B. 21(2)72y x =-+ C. 21(2)52y x =-- D. 21(2)42y x =-+ 11.（2016黑龙江绥化中考）将抛物线23(4)2y x =-+向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是_____________.12.如图，抛物线2y x =沿直线y x =向上平移2个单位后，顶点在直线y x =上的M 处，则平移后抛物线的解析式为______________.13.（2018北京朝阳月考）图为二次函数2y x bx c =-++图象的一部分，它与x 轴的一个交点为A （-1，0），与y 轴的交点为B （0，3）.（1）求这个二次函数的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式.14.如图所示，直线l 经过点A （4，0）和B （0，4）两点，它与二次函数2y ax =的图象在第一象限内交于P 点，若△AOP 的面积为4.（1）求点P 的坐标；（2）求二次函数的解析式；（3）能否将抛物线2y ax =上下平移，使平移后的抛物线经过点A ？如果能，请求出平移后抛物线的解析式；如果不能，请说明理由.参考答案1.解：（1）设此二次函数的解析式为2y ax bx c =++，将（0，3）、（-3，0）、（2，-5）代入2y ax bx c =++，得3,930,425,c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=-⎩，解得1,2,3,a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴此二次函数的解析式是223y x x =--+.（2）当2x =-时，2(2)2(2)33y =---⨯-+=，∴点P （-2，3）在这个二次函数的图象上.2.解：（1）依题意，得2,1640,2553,c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩解得13222a b c =-==，，， ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++. ∴234252248b ac b h k a a -=-===，， ∴顶点坐标为（32，258）. （2）令2132022x x -++=， 解得1214x x =-=，，∴图象与x 轴的另一个交点为（-1，0），依题意画图象如图.3.解：（1）抛物线的解析式为2y ax bx c =++，将点A （-1，1），B （4，-6），C （0，2）分别代入，得1,1646,2,a b c a b c c -+=⎧⎪++=-⎨⎪=⎩解得3,52,52,a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩则此抛物线的解析式为232255y x x =-++. （2）对称轴为直线123b x a =-=； ∵2431415ac b a -=， ∴抛物线的顶点坐标为（13，3115）. （3）抛物线如图.4.答案：B解析：因为抛物线的对称轴为3x =，y 的最大值为5-，所以设抛物线解析式为2(3)5y a x =--，因为所求抛物线与212y x =的图象开口大小相同，而y 有最大值，所以12a =-，所以这条抛物线的解析式为21(3)52y x =---.故选B. 5.解：由题意得，二次函数图象的顶点坐标为（5，4）， 设解析式为21(3)52y x =---， 把（2，1）代入得1=9a +4，解得13a =-， ∴二次函数的解析式为21(5)43y x =--+. 6.解：（1）由题意知2(1)4y a x =-+，将C （3，0）代入得4a +4=0，解得1a =-，∴二次函数的解析式为2(1)4y x =--+，即223y x x =-++.（2）∵10a =-<，∴当x >1时，y 随x 的增大而减小.（3）把x =0代入223y x x =-++，得y =3，∴抛物线经过点（0，3）.由直线3y x =-+可知，直线经过点（3，0），（0，3），∴抛物线与直线3y x =-+的交点为（3，0），（0，3）.∵10a =-<，∴开口向下，∴当3y x <-+时，x 的取值范围是x ≤0或x ≥3.7.解：∵A （-5，0），B （3，0），∴设抛物线解析式为(3)(5)y a x x =-+，把C （-1，16）代入得·(13)(15)16a --⨯-+=，解得1a =-，∴抛物线的解析式为(3)(5)y x x =--+，即2215y x x =--+.8.解：（1）由题意知抛物线解析式为(1)(3)y x x =--，即243y x x =-+，∴43b c =-=，.（2）当0x =时，2433y x x =-+=，则C （0，3），设直线AC 的解析式为y mx n =+，把A （1，0），C （0，3）代入得0,3,m n n +=⎧⎨=⎩解得3,3,m n =-⎧⎨=⎩ ∴直线AC 的解析式为33y x =-+.9.解：（1）由题意知抛物线解析式为(1)(3)y a x x =-+，把C （0，-3）代入，得(1)33a ⨯-⨯=-，解得1a =，∴解析式为(1)(3)y x x =-+，即223y x x =+-.（2）∵A （1，0），B （-3，0），∴AB=4.设P （m n ，）∵△ABP 的面积为10， ∴1||102AB n ⨯=， 解得n =±5，当n =5时，2235m m +-=，解得4m =-或2，∴P （-4，5）或P （2，5）.当n =-5时，2235m m +-=-，即2220m m ++=.∵224120∆=-⨯⨯<，∴n =-5不合题意，舍去.故P （-4，5）或P （2，5）.10.答案：D解析：如图，连接AB 、A 'B'，则S 阴影=S 四边形AB B'A'由平移可知AA'=BB'，AA'∥BB'，∴四边形ABB'A '是平行四边形.分别延长A'A 、B'B 交x 轴于点M 、N.∵A （1，m ）、B （4，n ），∴MN=4-1=3∵S AB B'A'=AA '·MN ，∴9=3AA '，解得AA '=3，即原函数图象沿y 轴向上平移了3个单位， ∴新图象的函数表达式为21(2)42y x =-+.11.答案：23(5)1y x =--解析：抛物线23(4)2y x =-+的顶点坐标为（4，2），将其向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度所得点的坐标为（5，-1），所以平移后抛物线的解析式为23(5)1y x =--.12.答案：2(1)1y x =-+解析：抛物线2y x =沿直线y x =个单位后，顶点在直线y x =上的M 处，∴M （1，1），则平移后抛物线的解析式为2(1)1y x =-+.13.解：（1）把（-1，0）与（0，3）代人，得10,3,b c c --+=⎧⎨=⎩解得2,3,b c =⎧⎨=⎩则二次函数解析式为223y x x =-++.（2）∵2223(1)4y x x x =-++=--+，∴顶点坐标是（1，4），∴将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的顶点坐标为（-2，3），∴平移后抛物线的解析式为2(2)3y x =-++.11 / 11 14.解：（1）设直线l 的解析式为(0)y kx b k =+≠，∵直线l 过A （4，0）和B （0，4）两点，∴40,1,4,4,k b k b b ⎧+==-⎧∴⎨⎨==⎩⎩∴4y x =-+.设P （p p x y ，），∵△AOP 的面积为4， ∴1442P y ⨯⨯=， ∴=2p y∴24p x =-+解得2p x =，点P 的坐标为（2，2）.（2）把点P （2，2）代入2y ax =，得222a =⨯， 解得12a =， 故二次函数的解析式为212y x =. （3）能.设将抛物线212y x =上下平移后的解析式为212y x m =+，把点A （4，0）代人，得21042m =⨯+， 解得8m =-，故将抛物线2y ax =，向下平移8个单位长度时，平移后的抛物线经过点A ， 平移后抛物线的解析式为2182y x =-.。