第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念1、 平面点集、n 维空间、多元函数的概念，这些你如果不知道就看看。

我下面的资料是从P7开始的。

2、 在数轴上（一维空间），当0x x →时，只有两种趋近方式：一是x 从左边趋近于0x ，即0x x -→；二是x 从右边趋近于0x ，即0x x +→。

在平面直角坐标系中（二维空间），点(,)x y 趋近于点00(,)x y 时，即00(,)(,)x y x y →的方式有无穷多种，例如，当(,)(0,0)x y →时，点(,)x y 既可以沿x 正半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0)lim(,)x y f x y →便可写成0lim (,0)x f x +→，也可以沿x 负半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0)lim(,)x y f x y →便可写成0lim (,0)x f x -→；点(,)x y 既可以沿y 正半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0)lim(,)x y f x y →便可写成0lim (0,)y f y +→，也可以沿y 负半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0)lim(,)x y f x y →便可写成0lim (0,)y f y -→；同时点(,)x y 也可以沿直线3y x =趋于点(0,0)——这时(,)(0,0)lim (,)x y f x y →便可以写成0lim (,3)x f x x →；也可以沿正弦函数图象sin y x =趋于点(0,0)——这时(,)(0,0)lim (,)x y f x y →便可以写成0lim (,sin )x f x x →。

我们应该意识到，点(,)x y 还可以沿着一些不规则的路径趋于点(0,0)。

这里说了这么多，就是要让你明白P7第二段中的“这里0P P →表示点P 以任何方式趋于点0P ”这句话的涵义。

3、 对于多元函数的极限，特别是二元函数的极限，只需要了解它的定义，并且会求简单的二元函数的极限，如本节例5、7、8这些题型。

考研中，二元函数的极限的计算应该不会考到，重点是一元函数的极限的计算题。

但是要会判断(,)(0,0)lim (,)x y f x y A →≠这类题型，就是通过找一条特殊路径求出它的极限不等于A 。

如P8页给出的那个例题：222222,00,0(,){xyx y x yx y f x y +≠++==4、 了解多元函数（二元函数）连续性的定义，后面的间断点、最大值最小值定理、介值定理看看就行了。

5、 习题8——1第6、7题，结合答案看看就行了。

第二节 偏导数1、 本节都是重点。

2、 由偏导数的定义，我们在求二元函数(,)f x y 在某一点00(,)x y 处对x 的偏导数时，可以先令二元函数中的0y y =，则二元函数(,)f x y 则变为一元函数0(,)f x y ，再求该一元函数在点0x x =处的导数值，那么就有000000|(,)(,)|x x x x x y y f d f x y f x y x dx===∂'==∂。

当然也可以先求出偏导（函）数(,)x ff x y x ∂'=∂，再把00x x y y ==带到该偏导函数中去，这种方法相对于上面那种来说，有点复杂。

3、 教科书上把偏导数写为(,)x f x y ，复习全书上是写为(,)x f x y '，这两种写法都可以，你不要纠结于这种无关紧要的细节问题。

4、 偏导数的几何意义：对于二元函数(,)z f x y =，偏导数00(,)x f x y '就是一元函数0(,)z f x y =，在点0x x =处的导数，也就是该点处的斜率。

（该一元函数0(,)z f x y =中x 为自变量，z 为因变量，这里强调这一点是因为教科书上P15倒数第二段中的“切线0x M T 对x 轴的斜率”就是表达这个意思）。

同理00(,)y f x y '也有相同的性质，我在这里不说了。

5、 强调偏导数的几何意义，主要是为了让你明确：对于二元函数(,)z f x y =来说，该函数在点00(,)x y 处的连续性，与该点处偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '的存在与否，没有联系。

回顾一下一元函数，函数()y f x =在点0x x =的导数0()f x '如果存在，那么函数()y f x =在点0x x =处必然连续；反之，如果函数()y f x =在点0x x =处连续，那么0()f x '不一定存在。

即00()()f x y f x x x '⇒==存在在点处必然连续。

对于二元函数的这种特殊性质的原因，书上解释的有，它是从几何角度解释的，我在这里严格清晰地解释一遍，下面只是对00(,)x f x y '为例解释偏导存在性与函数连续性的关系，对00(,)y f x y '来说是一样的，我不再赘述。

因为00000000000(,)(,)(,)(,)(,)limlim x x x x f x x y f x y f x y f x y f x y x x x ∆→→+∆--'==∆-，所以当偏导数00(,)x f x y '存在时，极限00000(,)(,)limx x f x y f x y x x →--必然存在，又由于当0x x →时，该极限的分子趋于0，而该极限存在，那么当0x x →时，该极限的分母也必然趋于0，即000000lim (,)(,)0lim (,)(,)x x x x f x y f x y f x y f x y →→-=⇔=，注意：00lim (,)x x f x y →就表示点(,)x y 沿直线0y y =趋于点00(,)x y 时函数(,)f x y 的极限，即当点(,)x y 沿直线0y y =趋于点00(,)x y 时000000(,)(,)lim (,)lim(,)(,)x x x y x y f x y f x y f x y →→==。

故有当00(,)x f x y '存在时，点(,)x y 沿直线0y y =趋于点00(,)x y 时，0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=。

二元函数的连续性要求0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，这里00(,)(,)x y x y →的趋近方式是任意的，00(,)x f x y '存在时，只能保证点(,)x y 沿直线0y y =趋于点00(,)x y 时，0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，所以，由00(,)x f x y '存在不能得出函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续。

6、 本节所有例题、习题（除第5题）都要看，为了提高效率，加快进度，你结合答案看懂就行了，没必要自己一个一个做完，再对答案。

第三节 全微分1、 牢记全微分的定义，()ορ表示当0ρ→时的高阶无穷小，即0()lim lim 0x y ρορρ→∆→∆→==。

注意：对如下式子进行变形可得0000(,)(,)z f x x y y f x y A x B y ο∆=+∆+∆-=∆+∆+①等价于0000(,)(,)()()f x y f x y A x x B y y ο-=-+-+②等价于0000(,)(,)()()f x y f x y A x x B y y ο-----=③等价于00limlim0x x x x y y y y →→→→==④等价于000limlim0x x x x y y y y →→→→==⑤，注意到0000(,)Ax By f x y +-是一个定值，用C表示，那么⑤式又可以等价于000limlim0x x x x y y y y →→→→==⑥以上的00(,)x A f x y '=，00(,)y B f x y '=某年的一道考研真题是这样出的：已知函数(,)z f x y =在点(2,0)处可微分，且20x y →→=，那么(2,0)?f =，?dz =明显，220x x y y →→→→==，根据第⑥个等式我们可得(2,0)5f =，(2,0)1x f '=，(2,0)3y f '=，故(2,0)(2,0)3x y dz f dx f dy dx dy ''=+=+ 2、 偏导的连续性、函数的可微性、可偏导性与函数的连续性之间的关系：3、全微分在近似中的应用不用看，习题8——3第1、2题。

第四节 多元复合函数的求导法则1、 先给出一个原则——单程全导，岔路偏导，该原则的运用我给你手写算了，因为word 不好录入。

2、 P30页有一个非常重要的性质——全微分形式不变性，该性质的具体内容我在这里不多说了，我这里重点强调该性质的运用。

设(,)z f u v =，(,)u x y ϕ=，(,)v x y ψ=，在运用中，首先直接写出f fdz du dv u v∂∂=+∂∂，然后再计算出du 和dv 的表达式，注意：du 、dv分别表示函数⇓⇓⇓左右两者之间没有关系(,)u x y ϕ=、(,)v x y ψ=的全微分，把du 和dv 的表达式带入f fdz du dv u v∂∂=+∂∂，经过整理，在所得式中dx 的系数就是z x∂∂，dy 的系数就是z y ∂∂。

例如：若(,)z f u v ==xu y =，ln v xy =，求z x ∂∂及zy ∂∂。

首先写出f f dz du dv u v ∂∂=+=+∂∂，而1ln x x du y ydx xy dy -=+，11dv dx dy x y=+，把du 、dv 带入dz，并整理得：1122111ln ))x x x x x x dz y ydx xy dy dx dy xy dx dydx dy---=+++=++=++所以，2x z x ∂=∂，21x z y -∂=∂ 3、 本节例题例5不用看，例6重点掌握，上面给出的例题是我自己想的，可能有点复杂，书上的例6题很好，要掌握利用全微分形式不变性解题的方法。

习题8——4你自己都看看嘛，没必要每道题都认认真真的做完，结合答案看完就行了。

第五节 隐函数的求导公式1、 本节只需掌握“一个方程的情形”，习题自己看着做，总之懂了就行了，没必要花太多时间在上面。

2、 第六节、第七节、第九节、第十节均不考，不用看。

第八节 多元函数的极值及其求法1、 本节很重要，特别是用拉格朗日乘数法求条件极值，条件极值部分只需掌握二元函数在一个条件下的极值问题的求法就行了，三元函数在两个条件下的极值问题不需要掌握，数三是不会考到的。