3-1. 用截面法求图示各杆在截面1-1、2-2、3-3上的扭矩。

并于截面上有矢量表示扭矩，指出扭矩的符号。

作出各杆扭矩图。

解: (a)(1) 用截面法求1-1截面上的扭矩110 202 .xmT T kN m=-+=∴=∑(2) 用截面法求2-2截面上的扭矩220 202 .xmT T kN m=--=∴=-∑(3) 画扭矩图(b)(1) 用截面法求1-1截面上的扭矩110 53204 .xmT T kN m=--+-=∴=-∑(2) 用截面法求2-2截面上的扭矩(a)xxxxx220 3201 .xmT T kN m=-+-=∴=∑(3) 用截面法求3-3截面上的扭矩330 202 .xmT T kN m=--=∴=-∑(4) 画扭矩图3.3. 直径D =50 mm 的圆轴受扭矩T =2.15 kN.m 的作用。

试求距轴心10 mm 处的切应力，并求横截面上的最大切应力。

解: (1) 圆轴的极惯性矩4474320.05 6.1410 3232P D I m π-⨯===⨯点的切应力372.15100.0135.0 6.1410p T MPa I ρτ-⨯⨯===⨯(2) 圆轴的抗扭截面系数7536.1410 2.45610 /20.05/2pt I W m D --⨯===⨯截面上的最大切应力3max52.151087.5 2.45610t T MPa W τ-⨯===⨯ 注：截面上的切应力成线性分布，所以也可以用比例关系求最大切应力。

max /20.05/235.087.5 0.01D MPa ττρ=⨯=⨯= 3.4. 发电量为1500 kW 的水轮机主轴如图示。

D =550 mm ，d =300 mm ，正常转速n =250 r/min 。

材料的许用剪应力[τ]=500 MPa 。

试校核水轮机主轴的强度。

x解：(1) 计算外力偶矩15009549954957.29 .250P m kN m n ==⨯= (2) 计算扭矩57.29 .T m kN m ==(3) 计算抗扭截面系数4433()29.810 16t W D d m Dπ-=-=⨯(4) 强度校核3357.291019.2[]29.810t T MPa W τσ-⨯===⨯强度足够。

注：强度校核类问题，最后必需给出结论。

3-5. 图示轴AB 的转速n =120 r/min ，从B 轮输入功率P =44.1 kW ，功率的一半通过锥形齿轮传送给轴C ，另一半由水平轴H 输出。

已知D 1=60 cm ，D 2=24 cm ，d 1=10 cm ，d 2=8 cm ，d 3=6 cm ，[τ]=20 MPa 。

试对各轴进行强度校核。

解：（1）计算外力偶矩1244.1954995493509 .12011755 .244.12295499549701.9 .6012024H C P m N m n m m N m P m N mD n D ==⨯======⨯⨯（2）计算内力扭矩3509 . 1755701.9.AB H H C C T m N m T m Nm T m N m======（3）计算抗扭截面系数3363133632336330.119610 16160.0810010 16160.0642.410 1616tAB tH tC W d m W d m W d m ππππππ---==⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯ （4）强度校核max 6max 6max 6350917.9[]19610175517.55[]10010701.916.55[]42.410AB AB tAB H H tH C C tC tCT MPa W T MPa W T MPa W ττττττ---===⨯===⨯===⨯ 强度足够。

3-6. 图示阶梯形圆轴直径分别为d 1=40 mm ，d 2=70 mm ，轴上装有三个带轮。

已知由轮3输入的功率为P 3=30 kW ，轮1输出的功率为P 1=13 kW ，轴作匀速转动，转速n =200 r/min ，材料的许用剪应力[τ]=60 MPa ，G=80 GPa ，许用扭转角[θ]=2 o /m 。

试校核轴的强度和刚度。

解：(1) 计算外力偶矩11331395499549620.720030954995491432.4200P m Nm n P m Nmn ==⨯===⨯=(2) 计算扭矩121233620.7 . 1432.4 .T m N m T m N m =-=-=-=-(3) 计算抗扭截面系数3363113363220.0412.561016160.0767.31101616t t W d m W d m ππππ--==⨯=⨯==⨯=⨯(4) 强度校核[][]12max16123max 262620.749.4212.56101432.421.2867.3110t t T MPa W T MPa W ττττ--===≤⨯===≤⨯强度足够。

(5) 计算截面极惯性矩6841116732220.0412.561025.1210 220.0767.311023.5610 22p t p t d I W m d I W m ----=⨯=⨯⨯=⨯=⨯=⨯⨯=⨯(6) 刚度校核12max198123max 2972180620.7180 1.77/[]801025.12101801432.41800.435/[]801023.5610o oo p o oop T m GI T m GI θθππθθππ--=⨯=⨯=⨯⨯⨯=⨯=⨯=⨯⨯⨯刚度足够。

注：本题中扭矩的符号为负，而在强度和刚度计算中，扭矩用其数值代入。

3.9. 实心轴和空心轴由牙嵌式离合器连接在一起，如图所示。

已知轴的转速为n =100r/min ，传递的功率P =7.5 kW ，材料的许用剪应力[τ]=40 MPa 。

试选择实心轴直径d 1和内外径比值为1/2的空心轴外径D 2。

解：(1) 计算外力偶矩7.595499549716.2.100P m N m n ==⨯= (2) 计算内力-扭矩716.2.T m N m ==(3) 计算抗扭截面系数3113422161(1) 162t t W d W D ππαα==-=(4) 设计截面311342216[]45 (1)16[]46 T d d mm TD D mm πτπατ≥===-≥===注：也可以用比例关系求直径D 2。

12246 d D mm D ====3.11. 图示传动轴的转速为n =500 r/min ，主动轮1输入功率P 1=368 kW ，从动轮2、3分别输出功率P 2=147 kW ，P 3=221 kW 。

已知[τ]=70 MPa ，[θ]=1 o /m ，G =80 GPa 。

(1) 确定AB 段的直径d 1和BC 段的直径d 2；(2) 若AB 和BC 两段选用同一直径，试确定其数值。

(3) 主动轮和从动轮的位置如可以重新安排，试问怎样安置才比较合理？解：(1) 计算外力偶矩112233368954995497028 .500147954995492807.500221954995494221 .500P m N m n P m N m n P m N mn ==⨯===⨯===⨯=(2) 计算内力-扭矩1212337028 .4221.T m N m T m N m=-=-=-=-(3) 计算AB 段的直径d 1和BC 段的直径d 2 根据强度条件设计31211116[]80 t T W d d mm πτ=≥≥==32322216[]67 t T W d d mm πτ=≥≥==根据刚度条件设计41211118032[]84.6 p T I d G d mmπθπ=≥⨯∴≥==42322218032[]74.5 p T I d G d mm πθπ=≥⨯∴≥==综合强度和刚度条件，取mm d mm d 5.74 6.8421==(4) 若AB 和BC 两段选用同一直径，则取mm d d 6.84 21==(5) 将A 轮和B 轮对调位置，则T12=2807N.m ，最大扭矩减小，轴的扭转强度提高了，所以主动轮放在中间更合理。

3.13. 设圆轴横截面上的扭矩为T ，试求四分之一截面上内力系的合力的大小、方向及作用点。

解：(1) 取微元dA ，上面的切应力是τρ，则微力为τρdA ：4432 32T T T dA d d d I d ρρρρρϕρτππ====(2) 将四分之一截面上的力系向O点简化222400222400324sin sin3324cos cos33dxAdyAOT TQ dA d dd dT TQ dA d dd dRdπρπρτϕϕϕρρππτϕϕϕρρπππ========⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰322400324dOAT TM dA d ddπρτρϕρρπ===⎰⎰⎰⎰(3) R o与x轴之间的夹角4πQQarctgαxy==(4) 将R o和M o进一步简化为一合力R，即将R o向左方平移一段距离d：2163dπRMdoo==3.14. 图示圆截面杆的左端固定，沿轴线作用集度为t的均布力偶矩。

试导出计算截面B的扭转角的公式。

解：(1) 用截面法求x截面上的扭矩：()()T x t l x=-(2) dx微段的扭转角()()p pT x t l xd dx dxGI GIϕ-==(3) 截面B 的扭转角()22lBA ppt l x tl dx GI GI ϕ-==⎰3.15. 将钻头简化成直径为20mm 的圆截面杆，在头部受均布阻抗扭矩t 的作用，许用剪应力为[τ]=70 MPa ，G =80 GPa 。

(1)求许可的m ；(2)求上、下两端的相对扭转角。

解：(1) 画扭矩图由扭矩图知max 0.1T m t ==(2) 确定许可载荷：336max [][]0.027010110 .1616t m T W d N m ππττ=≤==⨯⨯⨯=(3) 求上、下两端的相对扭转角：()()0.20.100249100.1/20.20.250.251100.022 1.260.02801032p pp p pomtx dx dxGI GI m m m GI GI GI rad ϕπ=+⨯=+=⨯===⨯⨯⨯⎰⎰3.17. AB 和CD 两轴的B 、C 两端以凸缘相连接，A 、D 两端则都是固定端。

由于两个凸缘的螺钉孔的中心线未能完全生命形成一个角度为的误差。

当两个凸缘由螺钉联接后，试度求两轴的装配扭矩。

解：(1) 整体受力分析，列平衡方程：tT0D A m m -=这是一次静不定问题。