测绘工程专业基础核心课程
误差理论与测量平差基础
Error Theory and fundation of surveying Adjustment
韦建超 湖南科技大学建筑学院
第二章：误差分布与精度指标
1 §1 概述 2 §2 偶然误差的规律性 3 §3 随机变量的数字特征
4 §4 精度、准确度和精确度
8
§2.偶然误差的规律性
对闭合差结果作以下处理，以分析其规律：
误差区间( ″)
0.0～0.2 0.2～0.4 0.4～0.6 0.6～0.8 0.8～1.0 1.0～1.2 1.2～1.4 1.4～1.6 1.6″以上
Σ
负误差
个数
频率
45
0.126
40
0.112
33
0.092
23
0.064
17
0.047
Δ
13
i /n d
Δ
➢有界性 ➢渐降性 ➢对称性 ➢补偿性
14
1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.4 -1.6 -1.8
§2.偶然误差的规律性
⊿服从参数N(0,σ2)的正态分布。
偶然误差的四个特性
2 22 e
22
§5.精度评定
一. 衡量观测值精度 ➢组成误差分布表 ➢绘制直方图 ➢画出误差分布曲线
-1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 +0.4 +0.8 +1.2 +1.6
-2.4 -2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 +0.4 +0.8 +1.2 +1.6 +2.0 +2.4
23
0.072
11
0.031
6
0.017
0
0.000
358
1
9
§2.偶然误差的规律性
10
Δ 11
频率/组距
频率
i /n
d
§2.偶然误差的规律性
1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 - 0.2 - 0.4 - 0.6 - 0.8 -1 - 1.2 - 1.4 - 1.6 - 1.8
绝对值小的偶然误差比绝对值大的偶然误 差出现的可能性大（渐降性）;
绝对值相等而符号相反的偶然误差出现的 可能性大致相等（对称性）;
i /n
总误差的代数和趋于零（抵偿性）。
d
1
lim n n
n i1
i
0
偶然误差的四个特性
1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.4 -1.6 -1.8
ˆ 2 []
n
[ ] 2 1 2 2 2 n
27
§5.精度评定
二、方差和中误差
方差：ˆ 2 []
n
中误差：ˆ
n
①各真误差必须对应同一测量条件。
②可将表示测量条件的中误差附于观测值之后。
注 意
如：
5 3 0 4 3.6 2 1 .8 25 .48 m 52mm
“±”并不代表该误差范围，而是测量上约定
33
37
§5.精度评定
有关几种精度指标的小结
①用 ˆ 、ˆ 或 ˆ 估计精度，只有当观
测值较多时，结果才可靠。 ②由一系列观测结果所求得的中误差，反
映了该观测系列的测量条件，它是每一个 观测值的中误差，也是相同测量条件下其 它观测值的中误差。
38
§5.精度评定
③当观测值个数n不大时，用中误差估计精 度更为可靠、灵敏一些。
>2.60
和 和
1270
1136 6…… 4 1 0 1081 210
0.0487
00..003386 …0.…017 0.011 0.002 0 00.505 0.499
00..224305
1166
00..119800
1133
…0.…08. 5
…5…
0.055
2
0.010
2
0
0
0
0177
211
00.0.04435
§2.偶然误差的规律性 i /n
d Δ 12
1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 - 0.2 - 0.4 - 0.6 - 0.8 -1 - 1.2 - 1.4 - 1.6 - 1.8
§2.偶然误差的规律性
在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值（有限性）;
④中误0.差5 与0.平9 均1.1误差1.3和1或.4然2误.0差4之.0间存在着 确定的ˆ函1.3数关系ˆ 。1.2并且在ˆ 误1.2差曲线上中误 差具有明确的几何意义。 ˆ1.9 ˆ 1.6 ˆ 1.3
2
P f d
1
f
§2.偶然误差的规律性
15
§3.随机变量的数字特征
1.数学期望
总体分布
——反映随机变量集中位置 的数字特征
丙
数字特征
乙
甲
16
§3.随机变量的数字特征 2.方差
——反映随机变量偏离集中位置 的离散程度
➢数理统计定义随机变量X的方差
➢观测值L和偶然误差△均为随机变量，其方差为：
果 L 与其真值 L~ 的接近
程度；
丙
包含观测结果与其数 学期望接近程度和数学期 望与其真值的偏差。
甲
（2）特征：精确度反 映了偶然误差和系统误差 联合影响的大小程度。
乙
21
§5.精度评定
345281个 个三 三角 角形 形内 内角 角和 和闭 闭合 合差 差
误区误区一差间差间 、衡— 个— 个量数数△△KK观测频频值率率KK精//nn 度(K(K//nn))//dd△△
§5.精度评定
一. 衡量观测值精度
f(Δ)
f(Δ)
Δ
Δ
左图误差分布曲线陡峭，对应的精度高 右图误差分布曲线平缓，对应的精度低
24
§5.精度评定
一. 衡量观测值精度 给出确定的数值，用以表示一定测量条件下测量
结果的精度，即为精度评定。
注意:
①只有从误差的总体分布中，才能得出反映测量 结果精度的真实数据。
对值的数学期望称为平均误差，记作 。
E ( ) f( )dlim
n n
平均误差是一组独立偶然误差
ˆ
绝对值的算术平均值。
32
三、平均误差
§5.精度评定
平均误差与中误差的关系：
20.797954，
1.2535
2
4
可见，同一测量条件下， 与
有着完全确定的关系，对应着相同的误差
分布曲线。因此，也可用平均误差作为精
出两台经纬仪观测值的中误差并比较精度高低。
50o33'54.1''
30
§5.精度评定
二、方差和中误差
第一台经纬仪
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
观测值L 50°33′52.6″
54.8 53.6 55.0 52.2 53.8 54.7 58.1 56.2
Δ -1.5 +0.7 -0.5 +0.9 -1.9 -0.3 +0.6 +4.0 +2.1
00.0.04306 …0….014 0.006 0.005 0 00.495 0.501
(K/n)/d△ (K/n)/d△
00.4.64400 00.4.52755 00.3.44650
00.3.22905
00.2.21255 00.2.10800 …0….070 0.030 0.0025 0 0
度估计的标准。
33
§5.精度评定
三、平均误差
编号
第一台经纬仪
观测值L
Δ
例 2: 以 例 1 中 第 一台经纬仪数据
1 50°33′52.6″
2
54.8
3
53.6
-1.5 +0.7 -0.5
为例，求观测值
4
55.0
5
52.2
+0.9 -1.9
的平均误差。
6
53.8
7
54.7
-0.3 +0.6
8
58.1
编号 观测值L
1 50°33′52.6″
2
54.8
Δ
-1.5 +0.7
观测值的或然误差。
3
53.6
4
55.0
-0.5 +0.9
5
52.2
-1.90.3 0.5 0.6 0.7 0.9 781.5 1.55948..71 2.1 4.0++04..60
ˆ 0.9
ˆ2ˆ9 215.67.2 7 1.18+2.1
17
§4.精度、准确度与精确度 基本概念
精度： 观测值与其数学期望的接近程度
准确度： 观测值数学期望与其真值的接近程度
精确度： 观测值与其真值的接近程度
18
§4.精度、准确度与精确度
基本概念
1. 精度
（1）定义：描述误差分
布的密集或离散程度，即离
散度的大小；
丙
精度表示的是观测值
与其数学期望的接近程度。
3331
00..007942
00..347600
3333
00.0.06992
00..6600~~00..8800
235
0.05694
00..239250
2211