C
D
2、欲测定图示梁端截面的转角θA，但只有 测量挠度的仪器，你怎样用改变加载方式的
方法达到此目的？
P
A θA
3、两相同的平面刚架受载如图，下列关系中 正确的是： 。
A：xB(a)=xC(b) B：yC(b)=θB(a) C：yB(a)=yC(b) D：yC(a)=θB(b)
B A
P=1 B C
Pi在Qj产生的位移 P i 做功
W12 P1 P 1 P2 P 2 Pm Pm
先加P后加Q时做功总和为：
V1 W1 W2 W12
将加载次序反过来，先加力Q后加力P，Qj在相应
位移 Qj 上做功为：
1 2
Q1 Q1
1 2
Q2
Q2
1 2
Qn
Qn
W2
再加Pi (i=1,2,…,m)力，Pi在其相应位移 Pi 做功
P
M L
2 刚度EI、GIP为常量。 求系统的应变能
P
§13-4 互等定理
考虑两组力P，Q作用于物体;
第一组力有m个载荷P1，P2，…，Pm; 第二组力有n个载荷Q1，Q2，…，Qn。
若先将第一组力Pi（i=1,2,…,m） 单独作用
P1
力做功
W1
1 2
P1 P1
1 2
P2
P2
1 2
Pm
Pm
δP1
杆的应变能
V W P L
2
V FN 2 L 2 EA
由拉压杆件组成的杆系的应变能：
2P
P
2
K
B
1
5
3
D
4
C
V n FN2i Li
i1 2Ei Ai
受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能
x dx
L
q
V dV FN 2( x )dx
L
L 2EA
2、圆截面杆的扭转应变能
m
Tl
GI P
3EI
A
a
P
L
δ1
R B 第二组力在第一组力引起
的位移上做功： 零
功互等定理
δ2
Pa2 ( 3l a ) R l 3 0
X=1 6 EI
3EI
RB
P 2
a2 l2
(3l
a)
1、已知梁在力偶M的单独作用下C截面的挠度为
yc＝3毫米，则在力P单独作用下D截面的转角为
θD=
。
C P=2KN
M=1KNm D
如果略去变形过程中的动能及其它能量的损失；
由能体都适用的普遍原理
弹性固体变形是可逆的；
当外力解除后，弹性体将恢复其原来形状，释放出 变形能而做功。
但当超出了弹性范围，具有塑性变形的固体， 变形能不能全部转变为功，
因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量， 留下残余变形。
随后作用上第二组力Qj（j=1,2,…,n）
Qj在其相应位移 Qj 上做功为
Pi Q1
Qj
δPi δQ1 δQj
W2
1 2
Q1
Q1
1 2
Q2
Q
2
1 2
Qn
Qn
第二组力Qj引起第一组力的作用点的位移 P i
P1
Pi Q1
Qj
δP1 δ’P1
δPi δQ1 δ’Pi
δQj
与此同时，因为Pi力的存在，且已达到终值且值不变；
L
EI
1.0c
M ( x )M ( x )dx
L
EI
1.0c
M ( x )M ( x )dx
L
EI
——莫尔积分法又称单位载荷法。
M(x) ：实际载荷引起的弯矩；
M ( x ) ： 单位载荷引起的弯矩。
求转角的莫尔积分
1.0 c
M( x )M ( x )dx
L
EI
在欲求截面处施加一单位力偶
有一增量dβ
力在位移增量上做功 Pi d i
力在位移增量上做总功
dW P11d P2 2 d Pn n d
β从0到1 外力做功
1
W
(P11
Pn n )
d
0
1 2
P11
1 2
P2 2
1 2
Pn n
物体的应变能为
V
W
1 2
P11
1 2
P2 2
1 2
Pn n
克拉贝依隆原理
组合变形时的变形能
L
EA
L
EI
L GI p
注意几点
1、施加单位力时所有的外载卸掉，支座保持不动； 2、外载作用下的内力方程与单位力作用下的内力 方程要求正方向与积分区间的严格一致；
3、求位移施加力，求转角施加单位力偶
4、结果为正，说明广义位移与单位力同向； 5、外载作用下分段，单位载荷作用下也必须分成相 应的段数；
L
2EI
F1
Fi Fn 1.0 C
δc
两种情况都是构件的总应变能
[ M ( x ) M ( x )]2 dx
V0 V 1.0 c L
2 EI
M 2( x )dx M ( x )M ( x )dx M 2( x )dx
L 2EI
L
EI
L 2EI
V V0
M ( x )M ( x )dx
一对力偶
一个线位移 一个角位移 相对线位移
注意几点
6、欲求的位移和施加的单位力应理解为广义力 和广义位移。
7、若为两点间的相对线位移，则单位力是施加在两 点上的 方向相反的一对单位力，
其作用线与两点的连线重合。 8、若为两截面间的相对转角，则单位力是
施加在两截面上的 方向相反的一对单位力偶；
广义力与广义位移的对应关系
一个力
一个力偶
一对力
强度理论 解决了组合变形的强度问题 组合变形的刚度问题怎么办？
能否避免组合变形的微分方程
弯曲变形 积分法求变形 得到整个挠曲线
能否只求出若干控制点的变形，避免求整 个变形曲线
§13-1 概述 §13-2 杆件应变能的计算 §13-3 应变能的普遍表达式 §13-4 互等定理 §13-7 莫尔积分 §13-5卡氏定理 §13-8 图形互乘法
W 1
2
P1
P1
1 2
P2
P2
1 2
Pm
Pm
1
同时物体上已作用有Qj且其值不变，
Qj在由于Pi引起的Qj作用点沿Qj方向的位移 Q j上做功 Q1 Q 1 Q2 Q 2 Qn Q n W21
两组力所做的总功为：
V2 W1 W2 W21
由于变形能只决定于力与位移的最终值，与加力次 序无关，故有V1=V2，
位移互等定理
例题：装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁， 如图，试用互等定理求解。
A B
a
P
L
A
a
P
L
δ1
R
第一组力： P、R
B
1
a2 6EI
(3l
a)
2
l3 3EI
δ2 X=1
第二组力 X=1
第一组力在第二组力引起的位移上做功
P 1 R 2
Pa 2 ( 3l a ) R l 3
6 EI
d( l ) FN ( x )dx
EA
d T (x)dx
GI
，
d M (x)dx
，
EI
dV 1 N( x )d( l ) 1 T( x )d 1 M( x )d
2
2
2
V
FN2( x )dx
T 2( x )dx
M 2( x )dx
L 2EA L 2GI p L 2EI
注意 1 以上计算公式仅适用于线弹性材料、
δ2 δn
相应地物体产生变形δ1，
δ1
δ2，…，δn，
对于线性弹性材料，则变形也将按相同比例β增加；
外力对物体做功，功以应变能储 藏在物体内；
Pi βPi (δi 、Pi)
如果外力在某一中间值βP1， βP2，…，βPn时
各点处的广义位移达到中间值
βδ1，β δ 2，…，β δ n时
δi βδi dβδi
P
45
L
L
2 同种材料，弹性模量E已知。求系统的应变能
2AL
AL
P
3 抗弯刚度EI为常量。求系统的应变能
M
2L/3
4 抗弯刚度EI为常量。 求系统的应变能
P
L/3
2L/3
5 抗弯刚度EI为常量。 求系统的应变能
P
6、已知杆件的抗拉压刚度为EI，在截面的下端与 刚性平面间有一间隙Δ，当A截面处有轴向力P，使
的点沿挠度方向加一单位力 P0 ；1
在单位力的作用下，梁的应变能为
M 2( x )dx
V0 L 2EI
F1
Fi Fn 1.0 C
再将原来一组载荷作用于梁上 。
fc
由于材料服从胡克定律,且变形很小,
外载在梁上作的功仍等于
M 2( x )dx
V L 2EI
由于外载的作用，在C点发生的挠度即为所求 c 。
C截面的位移等于Δ时，杆件的应变能为 。
a A
b C
7、直角折轴的抗弯刚度为EI抗扭高度为GIP，在 两个集中力P的作用下，AB杆的应变形能为 。
PL P
a
§13-3 应变能的普遍表达式
一、 克拉贝依隆原理
Pn P2
广义力P1，P2，…，Pn作用 于物体，且设按同一比例系 P1 数β从零增长到终值。
m=Pa
P
A B
C
a
a
M 2( x )dx