2008年高考数学试题分类汇编数列一．选择题：1.（全国一5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ C ） A ．138B ．135C ．95D ．232.（上海卷14） 若数列{a n }是首项为1，公比为a －32的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（B ）A 3.（ C ）A ．4. )()1,+∞][)13,+∞5.23=，则7a （D ）6.1)，则n a 7.（ B ） A ．8. A.63B.64C.127D.1289.（广东卷2）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ D ） A ．16B ．24C ．36D ．4810.（浙江卷6）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =C （A ）16（n--41） （B ）16（n--21）（C ）332（n --41） （D ）332（n--21）11.（海南卷4）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（ C ） A. 2 B. 4 C.152D.172二．填空题：1.（四川卷16）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为______4_____。

安徽卷（14）在数列{}n a 在中，542n a n =-，212n a a a an bn ++=+，*n N ∈,其中,a b 为常数，则n nn 2.3.)4=,则10log ()]f a ⋅⋅4.……………………………………2k a -5.1.（全国一22）．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>． 解析：（Ⅰ）证明：()ln f x x x x =-，()()()'ln ,0,1'ln 0f x x x f x x =-∈=->当时， 故函数()f x 在区间(0,1)上是增函数；（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i ）当n=1时，101a <<，11ln 0a a <，由函数()f x 在区间(01)，是增函数，且函数()f x 在1x =处连续，则()f x 在区间(01]，是增函数，2a (f 1k a + 2.（Ⅰ）设3nn n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123nn n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． ······················ 4分因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ··················· 6分（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1223(3)2n n a --=⨯+-，22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当n ⇔又a 3. 即a 于是()()1122212nnnn n a n a n +-+⋅=+-+⋅又111210n a --⋅=≠，所以{}12n n a n --⋅是首项为1，公比为2的等比数列。

（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知1122n n n a n ---⋅=，即()112n n a n -=+当2b ≠时，由由①得 因此11112222n n n n a b a b b ++⎛⎫-⋅==-⋅ ⎪--⎝⎭得()121122222n n n n a b b n b -=⎧⎪=⎨⎡⎤+-≥⎪⎣⎦-⎩ 4.（天津卷20）（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠）．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；的等差中1n a +又1b,.1q n =⎪⎩上式对1n =显然成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠．由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-，由0q ≠得3611q q -=-， ① 整理得323()20q q +-=，解得32q =-或31q =（舍去）．于是q =另一方面，21133(1)11n n n n n q q q a a q q q+--+--==---，15166(1)11n n n n n q q q a a q q q-+-+--==---． 由①可得36n n n n a a a a ++-=-，*n N ∈．所以对任意的*n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项． 5.（安徽卷21）．（本小题满分13分）解 03C <<∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 21113n n a a --++≤ 且 110n a --≥ (3) 设 103c <<，当1n =时，2120213a c=>--，结论成立当2n ≥时，由（2）知11(3)0n n a c -≥->6.（山东卷19)。

(本小题满分12分)将数列｛a n ｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a 1a 2 a 3a 4 a 5 a 6a 7 a 8 a 9 a 10……记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为｛b n ｝,b 1=a 1=1. S n 为数列｛b n ｝的前n 项和，且满足＝nN n nS S b b 22-1=（n ≥2）. (Ⅰ)证明数列｛nS 1｝成等差数列，并求数列｛b n ｝的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当4-=a 时，求上表中第k (k ≥3)行所有项和的和. 13.91q =- 1314⨯(12)1)12k -=-7.,,n a 是各项均不为零的等差数列（0，若将的数值；②求n 的所有可能值；,n b ，【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．（Ⅰ）①当n ＝4 时，1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d ＝0．若删去2a ，则有2314,a a a =即()()211123a d a a d +=+ 化简得214a d d +＝0，因为d ≠0，所以1a d=4 ； 若删去3a ，则有214a a a =，即()()21113a d a a d +=+，故得1a d=1．综上1a d=1或－4． ②当n ＝5 时，12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去首项或末项．若删去2a ，则有15a a ＝34a a ，即()()()1111423a a d a d a d +=++．故得1a d=6 ； 若删去3a ，则15a a ＝24a a ，即()()()111143a a d a d a d +=++． 化简得32d ＝0，因为d ≠0，所以也不能删去3a ； 若删去a ，则有a a ＝a a ，即42a a da da d ．故得1a = 2 ． 当n 32n a -去a 1a ∈{4，5}． 8.（江西卷19）．（本小题满分{}n a b （1（2134n S ++<的公差为d ，{3(1)n a n d =+-，1n n b q -=依题意有1363(1)22642(6)64n n nda d n d ab q q b q S b d q +++-⎧====⎪⎨⎪=+=⎩①由(6)64d q +=知q 为正有理数，故d 为6的因子1,2,3,6之一， 解①得2,8d q ==故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+9.（湖北卷21）.(本小题满分14分) 已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=,124,(1)(321),3n n n n n a a n b a n +=+-=--+其中λ为实数，n 为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}a 不是等比数列；a (又1n 31+n a b 故当λ≠-18时，数列｛b n ｝是以－（λ＋18）为首项，－32为公比的等比数列. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,b n =0,S n =0,不满足题目要求. ∴λ≠-18，故知b n = -（λ+18）·（－32）n -1，于是可得 S n =-.321·)18(53⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n）－（－　λ要使a <S n <b 对任意正整数n 成立， 即a <-53(λ+18)·［1－（－32）n ］〈b(n ∈N +) ，则令 得)2(1)()32(1)18(5332(1--=--<+-<--n f b a nnλ ①当n 为正奇数时，1<f (n ),1)(5;5<≤≤n f n 为正偶数时，当 ∴f 当a 当b . 10. 1,2,3,..n b ++证明：当 所以3(1a =+当*2(N )n k k =∈时，22222222(1cossin 2.22k k k k k a a a ππ+=++= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.kk a =故数列{}n a 的通项公式为**21,21(N ),22,2(N ).n n n n k k a n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩(Ⅱ)由(Ⅰ)知，2122,2n n n a n b a -==23123,2222n n nS =++++①2241112322222n n nS +=++++ ② ①-②得，23111111.222222n n n nS +=++++-所以11222.222n n n n n n S -+=--=-要证明当6n ≥时，12n S n -<成立，只需证明当6n ≥时，(2)12nn n +<成立. 证法一(1)当n = 6时，66(62)48312644⨯+==<成立.3)1.2)2k k+<n11.（Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n a x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n =，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+．解法一：（Ⅰ）1321n n n a a a +=+，112133n n a a +∴=+，1111113n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，又1213n a -=，11n a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭是以23为首项，13为公比的等比数列． ∴112121333n n n a --==，332n n n a ∴=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3032nn na =>+， 211n n a a ⎛⎫=--+ ⎪n a ≤，∴原不等式成立．3n nx =++-21233n ⎛- ⎫⎝++=⎪⎭1n n a ++≥原不等式成立．∴当23n x <时，()0f x '>；当23n x >时，()0f x '<，∴当23nx =时，()f x 取得最大值212313n n nf a ⎛⎫== ⎪⎝⎭+．∴原不等式成立．（Ⅲ）同解法一． 12.（重庆卷22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）设各项均为正数的数列{a n }满足321122,(N*)n a a a a aa n ++==∈.（Ⅰ）若214a =，求a 3，a 4，并猜想a 2cos 的值（不需证明）；（Ⅱ）记32(N*),n n n b a a a n b =∈≥若对n ≥2恒成立，求a 2的值及数列{b n }的通项公式.解：(Ⅰ)因2122,2,a a -==故由此有0223(2)(2)(2)(2)12342,2,2,2a a a a ----====，故猜想n a 的通项为 （Ⅱ）令log ,2.n Sx a S x n b ==表示的前项和，则 2n x ++≥211*12()(2)(N ).22n n n x x x n -+-=--∈ ⑤ 由④-⑤得1*221511(2)(2)(N ).222n n n S x x n --=+---∈ ⑥ 对n 求和得2*2215111(2)(2)(2)()(N ).2223n n x x x n ---=+---∈ ⑦由题设知21231,22k S x +≥>且由反证假设有即不等式22k +1＜22364112x x +--对k ∈N *恒成立.但这是不可能的，矛盾.因此x 2≤12,结合③式知x 2=12,因此a 2=2*2将x 2=12代入⑦式得S n =2－112n -(n ∈N*),13.2p q -，n x （3+==t pst q ，即{}11--n n x t x 、{}21--n n x t x 分别是公比为1=s α、2=s β的等比数列，由等比数列性质可得2121()---=-n n n x x x x ααβ,2121()---=-n n n x x x x ββα, 两式相减，得2212121()()()----=---n n n x x x x x βααββα 221,=-=x p q x p ，222∴=++x αβαβ，1=+x αβ22221()--∴-==n n n x x αββββ，22221()---==n n n x x βαααα1()-∴-=-nnn x βαβα，即1--∴=-n n n x βαβα，11++-∴=-n n n x βαβα②当=αβ时，即方程20x px q -+=有重根，240∴-=p q ， 即2()40+-=s t st ，得2()0,-=∴=s t s t ，不妨设==s t α，由①可知2121()---=-n n n x x x x ααβ，=αβ，2121()--∴-=-=n n n n x x x x αααα即1-∴=+n n n x x αα，等式两边同时除以nα，得111--=+nn nn x x αα，即111---=nn nn x x αα+n n α14.已．记． （Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．①当1n =时，因为2a 是方程210x x +-=的正根，所以12a a <． ②假设当*()n k k =∈N 时，1k k a a +<，因为221k k a a +-222211(1)(1)k k k k a a a a ++++=+--+-2121()(1)k k k k a a a a ++++=-++， 所以12k k a a ++<．即当1n k =+时，1n n a a +<也成立．根据①和②，可知1n n a a +<对任何*n ∈N 都成立．（Ⅱ）证明：由22111k k k a a a +++-=，121k n =-，，，（2n ≥）， 得22231()(1)n n a a a a n a ++++--=．因为10a =，所以21n n S n a =--．由a a <及22121a a a =+-<得1a <， 所以2S n >-． )(1)n a +≤)(1)n a +≤222n -++<15.（本小题满分12分）n ∈*N ）解：（Ⅰ）由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=，由此可得2233446912162025a b a b a b ======，，，，，． ············ 2分猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． ······················ 4分用数学归纳法证明：①当n =1时，由上可得结论成立． ②假设当n =k 时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，那么当n =k +1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，．所以当n =k +1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立． ·········· 7分（Ⅱ）11115612a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)a b n n n n +=++>+． ··········· 9分。