2015年高考数学试题分类汇编-----专题九（导数及应用）答案解析1.（15北京理科）已知函数()1ln 1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值． 【答案】（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2.试题解析：（Ⅰ）212()ln,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x+''=∈-===--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y -=；（Ⅱ）当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即不等式3()2()03x f x x -+>，对(0,1)x ∀∈成立，设331()ln 2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-，则422()1x F x x'=-，当()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ∀∈，3()2()3x f x x >+成立；（Ⅲ）使()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，()01x ∈，，等价于31()ln ()013x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈，； 422222()(1)11kx k F x k x x x+-'=-+=--， 当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；当2k >时，令402()0,(0,1)k F x x k-'==∈，()(0)F x F <，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.2.（15北京文科）设函数()2ln 2x f x k x =-，0k >．（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(上仅有一个零点．【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；极小值(1ln )2k k f -=；（2）证明详见解析.所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x =(1ln )2k k f -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间上的唯一零点.当k e >时，()f x 在区间上单调递减，且1(1)02f =>，02e kf -=<，所以()f x在区间上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x在区间上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题.3．（15年安徽理科）设函数2()f x x ax b =-+.（1）讨论函数(sin )22f x ππ在(-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记20000(),(sin )(sin )f x x a x b f x f x =-+-求函数在22ππ(-,)上的最大值D ； （3）在（2）中，取2000,D 14a ab z b ===-≤求满足时的最大值。

【答案】（Ⅰ）极小值为；（Ⅱ）； （Ⅲ）1.试题解析：（Ⅰ），.24a b -00||||D a a b b =-+-2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+22x ππ-<<，.考点：1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.4.（15年安徽文科）已知函数（1）求的定义域，并讨论的单调性；（2）若，求在内的极值。

[(sin )]'(2sin )cos f x x a x =-22x ππ-<<)0,0()()(2>>+=r a r x axx f )(x f )(x f 400=ra)(x f ),0(+∞【答案】（1）递增区间是（-r,r ）;递减区间为（-∞，-r ）和（r ，+∞）；（2）极大值为100；无极小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 内的极大值为 内无极小值；所以内极大值为100，无极小值. 考点：1.导数在函数单调性中的应用；2.函数的极值.5.（15年福建理科）若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C）在（+∞,0)(x f 10044)(2===rar ar r f ）在（+∞,0)(x f ）在（+∞,0)(x f R ()f x ()01f =-()f x '()1f x k '>>11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭考点：函数与导数．6.（15年福建理科）已知函数，(Ⅰ)证明：当；(Ⅱ)证明：当时，存在,使得对(Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在，对任意的恒有．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ) ． 【解析】试题分析：(Ⅰ)构造函数只需求值域的右端点并和0比较即可；(Ⅱ)构造函数即，求导得 ，利用导数研究函数的形状和最值，证明当时，存在，使得即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当时，对于故，则不等式变形为，构造函数，只需说明，易发现函数在递增，而，故不存在；当时，由(Ⅱ)知，存在,使得对任意的任意的恒有，此时不等式变形为f()ln(1)x x (),(k),g x kx R 0xx x 时，f()1k 00x 0(0),x x 任意，恒有f()()x g x ；0t (0),x ，t 2|f()()|x g x x =1k ()f()ln(1),(0,),F x x x x x x G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x ()0G x >1()1+G x k x(1k)1+kx x()G x 1k 00x ()0G x >1k (0,),x +()f()g x x x ，()f()g x x 2|f()()|x g x x 2k ln(1)x x x 2M()k ln(1),[0)x x x x x ，+()0M x <()M x 22(k 2)8(k 1)0)k x （，(0)0M =1k 00x 0(0),x x ，f()()x g x，构造，易发现函数在递增，而，不满足题意；当时，代入证明即可．试题解析：解法一：(1)令则有当 ,所以在上单调递减；故当时，即当时，．(2)令则有当 ,所以在上单调递增,故对任意正实数均满足题意. 当时，令得． 取对任意恒有,所以在上单调递增, ,即 .综上，当时，总存在,使得对任意的恒有．(3)当时，由（1）知，对于故，，令，2ln(1)k x xx 2N()ln(1)k ,[0)x x x x x ，+()N x 2(+2(k +2)8(1k)0)k x ）（，(0)0N =1k ()f()ln(1),(0,),F x x x x x x 1()11+1+x F x x x(0,),x()0F x ()F x (0,)0x ()(0)0,F x F 0x x x f()G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x 1(1k)()1+1+kx G x k x x0kG ()0x G()x [0,)G()(0)0x G 0x 01k ()0,x G 11=10k x k k01=1x k，0(0,),x x G ()0x G()x 0[0,x )G()(0)0x G f()()x g x 1k 00x 0(0),x x ，f()()x g x 1k (0,),x +()f()g x x x ，()f()g x x |f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x 2M()k ln(1),[0)x x x x x ，+则有 故当时，,在上单调递增，故,即,所以满足题意的t 不存在.当时，由（2）知存在,使得对任意的任意的恒有．此时,令，则有 故当时，,在上单调递增，故,即,记与中较小的为，则当，故满足题意的t 不存在.当，由（1）知，，令，则有当时，,所以在上单调递减，故,故当时，恒有,此时，任意实数t 满足题意.综上，.解法二：（1）（2）同解法一. （3）当时，由（1）知，对于，21-2+(k-2)1M ()k2=,11x x k x x x x22(k 2)8(k 1)0)k x （，M ()0x M()x 22(k 2)8(k 1)[0)k ，M()M(0)0x 2|f()()|x g x x 1k 00x 0(0),x x ，f()()x g x |f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x 2N()ln(1)k ,[0)x x x x x ，+2'1-2-(k+2)1()2=,11x x k N x k x x x2(+2(k +2)8(1k)0)k x ）（，N ()0x M()x 2(2)(k 2)8(1k)[0)k ，N()(0)0x N 2f()()x g x x 0x 2(2)(k 2)8(1k)k 1x 21(0)|f()()|xx x g x x ，时，恒有=1k (0,),x当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x 2H()ln(1),[0)x x x x x ，+21-2H ()12=,11x xx x x x0x H ()0x H()x [0+，）H()(0)0x H 0x 2|f()()|x g x x =1k 1k (0,),x +()f()g x x x ，故，令，从而得到当时，恒有,所以满足题意的t 不存在.当时，取由（2）知存在,使得.此时, 令，此时 , 记与中较小的为，则当， 故满足题意的t 不存在. 当，由（1）知，，令，则有 当时，,所以在上单调递减，故,故当时，恒有,此时，任意实数t 满足题意综上，.考点：导数的综合应用．7.（15年福建文科）“对任意，”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B|f()()|()()k ln(1)k (k 1)x g x g x f x x x x x x 2(k 1),01xx x k 解得1k (0,1)x k 对于2|f()()|x g x x 1k 11k+1=12k k k ，从而00x 0(0),x x 任意，恒有1f()()x k x kxg x 11|f()()|f()()(k)2kx g x x g x k xx 21k 1k ,022x x x 解得2f()()x g x x 0x 1-k 21x 21(0)|f()()|x x x g x x ，时，恒有=1k (0,),x当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x 2M()ln(1),[0)x x x x x =-+-∈∞，+212M ()12,11x x x x x x--'=--=++0x M ()0x M()x [0+∞，）M()M(0)0x 0x 2|f()()|x g x x =1k (0,)2x π∈sin cos k x x x <1k <考点：导数的应用．8.（15年福建文科）已知函数．(Ⅰ)求函数的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）． 【解析】试题分析：(Ⅰ)求导函数，解不等式并与定义域求交集，得函数的单调递增区间；（Ⅱ）构造函数，．欲证明，只需证明的最大值小于0即可；（Ⅲ）由（II ）知，当时，不存在满足题意；当时，对于，有，则，从而不存在满足题意；当时，构造函数，，利用导数研究函数的形状，只要存2(1)()ln 2x f x x -=-()f x 1x >()1f x x <-k 01x >0(1,)x x ∈()()1f x k x >-⎛ ⎝⎭(),1-∞()21x x f x x-++'='()0f x >()f x ()()()F 1x f x x =--()1,x ∈+∞()1f x x <-()F x 1k =01x >1k >1x >()()11f x x k x <-<-()()1f x k x <-01x >1k <()()()G 1x f x k x =--()0,x ∈+∞()G x在，当时即可．试题解析：（I ），．由得解得．故的单调递增区间是．（II ）令，．则有．当时，， 所以在上单调递减，故当时，，即当时，． （III ）由（II ）知，当时，不存在满足题意．当时，对于，有，则，从而不存在满足题意．当时，令，，则有．由得，．解得，．当时，，故在内单调递增． 从而当时，，即，01x >0(1,)x x ∈()0G x >()2111x x f x x x x-++'=-+=()0,x ∈+∞()0f x '>2010x x x >⎧⎨-++>⎩102x +<<()fx 10,2⎛ ⎝⎭()()()F 1x f x x =--()0,x ∈+∞()21F x x x-'=()1,x ∈+∞()F 0x '<()F x [)1,+∞1x >()()F F 10x <=1x >()1f x x <-1k =01x >1k >1x >()()11f x x k x <-<-()()1f x k x <-01x >1k <()()()G 1x f x k x =--()0,x ∈+∞()()2111G 1x k x x x k x x-+-+'=-+-=()G 0x '=()2110x k x -+-+=10x =<21x =>()21,x x ∈()G 0x '>()G x [)21,x ()21,x x ∈()()G G 10x >=()()1f x k x >-综上，的取值范围是． 考点：导数的综合应用．9.（15年新课标1理科）设函数=,其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得0，则的取值范围是（ ） A.[-，1） B. [-，） C. [，） D. [，1） 【答案】D10.（15年新课标2理科）设函数f’(x)是奇函数的导函数，f （-1）=0，当时，，则使得成立的x 的取值范围是（A ） （B ）（C ） （D ）【答案】A 【解析】k (),1-∞()f x (21)x e x ax a --+0()f xa记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A ．11.（15年新课标2理科）设函数2()mx f x e x mx =+-。