2020高考数学必胜秘诀（八）圆锥曲线――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结八、圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：〔1〕第一定义中要重视〝括号〞内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的〝绝对值〞与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

假设2a ＝|F 1F 2|，那么轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，假设2a ﹥|F 1F 2|，那么轨迹不存在。

假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。

如〔1〕定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足以下条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF 〔答：C 〕；〔2〕方程8=表示的曲线是_____〔答：双曲线的左支〕〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且〝点点距为分子、点线距为分母〞，其商即是离心率e 。

圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P 〔x ,y 〕,那么y+|PQ|的最小值是_____〔答：2〕2.圆锥曲线的标准方程〔标准方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程〕：〔1〕椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x 〔0a b >>〕⇔{cos sin x a y b ϕϕ==〔参数方程，其中ϕ为参数〕，焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1〔0a b >>〕。

方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？〔ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 〕。

如〔1〕方程12322=-++ky k x 表示椭圆，那么k 的取值范畴为____〔答：11(3,)(,2)22---〕；〔2〕假设R y x ∈,，且62322=+y x ，那么y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___2〕〔2〕双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1〔0,0a b >>〕。

方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？〔ABC ≠0，且A ，B 异号〕。

如〔1〕双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，那么该双曲线的方程_______〔答：2214x y -=〕；〔2〕设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，那么C 的方程为_______〔答：226x y -=〕〔3〕抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

3.圆锥曲线焦点位置的判定〔第一化成标准方程，然后再判定〕：〔1〕椭圆：由x 2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么m 的取值范畴是__〔答：)23,1()1,( --∞〕〔2〕双曲线：由x 2,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；〔3〕抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

专门提醒：〔1〕在求解椭圆、双曲线咨询题时，第一要判定焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线咨询题时，第一要判定开口方向；〔2〕在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。

4.圆锥曲线的几何性质： 〔1〕椭圆〔以12222=+by a x 〔0a b >>〕为例〕：①范畴：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心〔0,0〕，四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a=，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。

如〔1〕假设椭圆1522=+my x 的离心率510=e ，那么m 的值是__〔答：3或325〕；〔2〕以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，那么椭圆长轴的最小值为__〔答：22〕〔2〕双曲线〔以22221x y a b -=〔0,0a b >>〕为例〕：①范畴：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心〔0,0〕，两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，专门地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a=，双曲线⇔1e >，等轴双曲线⇔e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a=±。

如〔1〕双曲线的渐近线方程是023=±y x ，那么该双曲线的离心率等于______〔答：2或3〕；〔2〕双曲线221ax by -=的:a b = 〔答：4或14〕；〔3〕设双曲线12222=-by a x 〔a>0,b>0〕中，离心率e ∈[2,2],那么两条渐近线夹角θ的取值范畴是________〔答：[,]32ππ〕； 〔3〕抛物线〔以22(0)y px p =>为例〕：①范畴：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点〔0,0〕；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a=，抛物线⇔1e =。

如设R a a ∈≠,0，那么抛物线24ax y =的焦点坐标为________〔答：)161,0(a 〕； 5、点00(,)P x y 和椭圆12222=+by a x 〔0a b >>〕的关系：〔1〕点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；〔2〕点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220by a x +＝1；〔3〕点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b +< 6．直线与圆锥曲线的位置关系：〔1〕相交：0∆>⇔直线与椭圆相交； 0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

如〔1〕假设直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点，那么k 的取值范畴是_______〔答：(-315,-1)〕；〔2〕直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，那么m 的取值范畴是_______〔答：[1，5〕∪〔5，+∞〕〕；〔3〕过双曲线12122=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，假设│AB ︱＝4，那么如此的直线有_____条〔答：3〕；〔2〕相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相切；〔3〕相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；0∆<⇔直线与双曲线相离；0∆<⇔直线与抛物线相离。

专门提醒：〔1〕直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。

假如直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；假如直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；〔2〕过双曲线2222by a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共点的情形如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分不与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在如此的直线；〔3〕过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

如〔1〕过点)4,2(作直线与抛物线x y 82=只有一个公共点，如此的直线有______〔答：2〕；〔2〕过点(0,2)与双曲线116922=-y x 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范畴为______〔答：4,3⎧⎪±⎨⎪⎪⎩⎭〕；〔3〕过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，假设=AB 4，那么满足条件的直线l 有____条〔答：3〕；〔4〕关于抛物线C ：x y 42=，我们称满足0204x y <的点),(00y x M 在抛物线的内部，假设点),(00y x M 在抛物线的内部，那么直线l ：)(200x x y y +=与抛物线C 的位置关系是_______〔答：相离〕；〔5〕过抛物线xy 42=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，假设线段PF 与FQ 的长分不是p 、q ，那么=+qp 11_______〔答：1〕；〔6〕设双曲线191622=-y x 的右焦点为F ，右准线为l ，设某直线m 交其左支、右支和右准线分不于R Q P ,,，那么PFR ∠和QFR ∠的大小关系为___________(填大于、小于或等于) 〔答：等于〕；〔7〕求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x ；〔8〕直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 两点。