故复数s也可用指数表示
s r e
j
(3)复变函数
有复数s j ,以s为自变量，按某一确定法则 构成的函数G(s)称为复变函数，G(s)可写成 G(s)=u+jv
U，v分别为复变函数的实部和虚部，在线性控制系 统中，通常遇到的复变函数G(s)是s的单值函数，对 应于s的一个给定值，G(s)就唯一地被确定。

式中：f
1
0 表示当t 0 时 f t dt的值
t 0
＝0 Ø 特别注意： 如果f 1 0
t F s 则：L f t dt 0 s
当是n重积分时，
t t F s L f t (dt ) n n 0 0 s
工程实际中的冲击等都可近似地看做脉冲函数
(2) 单位阶跃函数的拉普拉斯变换
阶跃函数的定义
0 t 0 r t A t 0 Ø 对系统输入阶跃函数就是在t=0时，给 系统加上一个恒值输入量。如左图所示
如果A＝1,称为单位阶跃函数,记为1（t），即
A
0 t 0 1t 1 t 0

L[ f 2 t ] s 2 F s sf 0 f 1 0




L[ f n t ] s n F s s n 1 f 0 s n 2 f 1 0 sf n 2 0 f n 1 0
d 2x dx dy 2 t dy t m 2 f k x a b c y t dt dt dt dt 2
u目的：将微分方程转换为代数方程（实质是将微积分 运算转换为乘除运算），使求解大大简化，是工程技术 人员常用的分析控制系统的数学方法——拉氏变换。
S j
幅角 arctan
r S 2 2
向量的长度－即模
3) 三角表示法和指数表示法
r cos r sin
因此，复数的三角表示法为： 利用欧拉公式
j
s r (cos j sin )
e cos j sin
e coswt
at
3.拉氏变换的性质
1）线性性质
Lk1 f1tk2 f2t k1L f1tk2L f2t k1F 1Sk2F 2S
例 已知 f (t ) 1 e 2t 求 f (t ) 的拉氏变换。 解：应用线性性质，则 1 1 2 F ( s ) L[ f (t )] s s 2 s ( s 2) Ø该定理表示：①常数与原函数乘积的拉氏变换等 于常数与该原函数的拉氏变换的乘积。②若干原 函数之代数和的拉氏变换等于各原函数拉氏变换 之代数和。
Ø t 函数的图形如图所示。脉冲
t
函数的积分就是阶跃函数
脉冲函数拉氏变换为:
Rs Lrt
0


0
A t e st dt
0
A t e dt A t e st dt
st
A
0
n 单位脉冲函数的拉氏变换为R(s)=1。
该函数的拉氏变换为：
A A Rs L f t A e st dt A e st | 0 ( ) 0 0 s s s

n 单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s。
(3)单位斜坡函数的拉普拉斯变换
斜坡函数也称速度函数，其定义
第二章 数学基础-拉普拉斯变换
拉氏变换与反变换
本节的重点： Ø 常见函数的拉氏变换 Ø 拉氏变换的运算规则 Ø 基于分部积分法的拉氏反变换
• 本节的难点： Ø 拉氏变换严格的数学推导与变换
问题的引入
d 2x dx m 2 f k x y t dt dt
如此时将y(t)改变为一时变作用力，那么运动状态时又如何分析呢？
脉冲函数的积分，即脉冲的面积为:
r t dt



0
如果A＝1，即面积为1的函数称为单位脉冲函数，记为 t ，即
A A lim dt lim t A 0 0 0
0 t 0 t t 0
Байду номын сангаас
(1) 单位脉冲函数的拉普拉斯变换
几个重要的拉氏变换（P34） 记住
f(t) δ(t) 1(t) t F(s) 1 1/s f(t) sinwt coswt
2
F(s) w 2 (s w 2 )
s
1s
at
e sinwt
at
e
w (s a)2 w 2
sa (s a)2 w 2
(s 2 w 2 )
1/(s+a)
2）延迟性质
如图所示，原函数沿时间轴平移a， 平移后的函数为f (t-a)。 若L[f(t)]= F(s)，则
L f (t a ) e as F ( s )
0 , 例1： 求函数 u (t ) 1 ,
解：由延迟性质得：
t t
s
的拉氏变换。
Lu (t ) e
t s 0
7）初值定理：若函数f(t)的拉氏变换为F(s)
lim f t lim sF s
t 0 s
例1： F (s)
1 s 5
5t
求 f ( )
lim f (t )不存在
t
f (t ) e
不能用终值定理
而 F (s) 1
s f () lim 0 s 0 s 5
s
L1(t ) e
s
例2：求图示方波的拉氏变换。 解：方波可表达为
例3 求右图所示函数的拉氏变换。
解：分步骤分析 （ 1）
（2 ）
（ 3）
（4）
进行拉氏变换，则有：
3）位移性质
Le
at
f t F s a

at e sin t 的拉氏变换。 例： 求 解：因为 L[sin t ] 2 s 2
1. 拉氏变换的定义
函数f(t)，t为自变量，如果线性积分 记为F(S)或L[f(t)]，即为：
L f t F S f t e st dt
0


0
f t e st dt
存在，则称其为函数 f(t)的拉普拉斯变换。
式中： S为复数，s j f(t)为原函数，F(S)为象函数
例：有复变函数G(s)=S2+1,当s＝ σ＋j ω， 求其实部u和虚部v。
G( s) s 1 ( j ) 1
2 2
j 2 1
2 2
( 2 2 1) j 2 u 1, v 2
2 2
例 已知 f (t ) sin ktdt
k 为实数，求 f (t ) 的拉氏变换。
解：根据拉氏变换的积分性质得
L f (t ) L sin ktdt


1 k L sin kt 2 2 s s(s k )
6）终值定理：若函数f(t)的拉氏变换为F(s)
lim f t lim sF s

e j cos j sin j e cos j sin
e j 2j e j 2
Lsin t sin te st dt 0 0

s Lcos t 2 s 2
e j e j st e dt 2 2j s 2
0 t0 r t At t 0 Ø 输入斜坡函数相当于对系统输入一个随 时间作等速变化的信号，如右图所示
如果A＝1，称为单位斜坡函数，如图所示 该函数的拉氏变换为：
分部积分法
1
Rs L f t

A 2 s
0
A st Ae st 1 st )dt 0 Ae dt At e dt t e | 0 0 ( s s s 0
拉式变换及反变换是线性工程系统动态分析的 基本数学方法
第一节 复数和复变函数
(1) 复数的概念
x2 1 0 由于解方程的需要，人们引进一个新数j, 称为虚单 位，并规定 2 j 1
从而j是方程 x 2 1 0 的一个根。
对于任意二实数σ, ω， s j 称为复数，其中 σ, ω分别称为s的实部和虚部，记作
Re ( z ) I m ( z )
当σ=0 时, s j 称为纯虚数； 当ω=0时, s 0 j s就是实数。
• 要注意复数与实数有一些不同, 如:两个复 数相等,必须它们的实部和虚部分别相等。 一般说来，任意两个复数不能比较大小。
共轭复数 • 实部相同而虚部正负号相反的两个复数称为 共轭复数。 s j 的共轭复数为 s j (2) 复数的表示方法： 1)点表示法 2)向量表示法



式中：f 0 , f 1 0 , , f n 1 0 为函数f t 及各阶导数在 t 0时的值。



Ø 特别注意： 如果f 0 ＝f


1
0 ＝＝f 0 ＝0
n 1
则：L f n t s n F s
由于 s ja 是 sF ( s) 的奇点，位于虚轴上，不能 应用终值定理，既 f ( ) 不存在。 注意：当 f (t ) 是周期函数，如正弦函数sinω t 时，由于它 没有终值，故终值定理不适用。
第三节 拉氏反变换及其数学方法
由象函数F(s)求原函数f(t)称拉氏反变换，用 L1[ F s ] 表示， 数学定义为：