●知识模块4：几何综合
1．（昌平18期末27）已知，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D 为BC 边上的一点. （1）以点C 为旋转中心，将△ACD 逆时针旋转90°，得到△BCE ，请你画出旋转后的图形； （2）延长AD 交BE 于点F ，求证：AF ⊥BE ； （3）若
，BF =1，连接CF ，则CF 的长度为
.
2．（朝阳18期末25）△ACB 中，∠C =90°，以点A 为中心，分别将线段AB ，AC 逆时针旋转
60°得到线段AD ，AE ，连接DE ，延长DE 交CB 于点F . （1）如图1，若∠B =30°，∠CFE 的度数为 ； （2）如图2，当30°<∠B <60°时，
①依题意补全图2；
②猜想CF 与AC 的数量关系，并加以证明.
图1 图2
备用图
A
A
C
D
B D
C
C B
3．（西城18期末27）如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB
上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 满足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）得到△OC D ''，C ，D 两点的对应点分别为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ． （1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为 ； （2）画图探究线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．
4．（丰台18期末27）如图，∠BAD=90°，AB=AD ，CB=CD ，一个以点C 为顶点的45°角绕
点C 旋转，角两边与BA ，DA 交于点M ，N ，与BA ，DA 延长线交于点E ，F ，连接AC . （1）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA =∠ECA 时，如图1，求证：AE =AF ； （2）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA ≠∠ECA 时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用
等式表示线段AE ，AF 之间的数量关系，并证明.
E M N
F A C E
M
N F A
C
图1
图2
B
5．（怀柔18期末27）在等腰△ABC 中，AB =AC ，将线段BA 绕点B 顺时针旋转到BD ，使
BD ⊥AC 于H ，连结AD 并延长交BC 的延长线于点P . （1）依题意补全图形；（2）若∠BAC =2α，求∠BDA 的大小（用含α的式子表示）； （3）小明作了点D 关于直线BC 的对称点点E ，从而用等式表示线段DP 与BC 之间的数量关系.请你用小明的思路补全图形并证明线段DP 与BC 之间的数量关系.
6．（平谷18期末27）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB=AC ．在平面内任取一点D ，
连结AD （AD ＜AB ），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连结DE ，CE ，BD ． （1）请根据题意补全图1；（2）猜测BD 和CE 的数量关系并证明； （3）作射线BD ，CE 交于点P ，把△ADE 绕点A 旋转，当∠EAC =90°，AB =2，AD =1时，补全图形，直接写出PB 的长．
B 图
1 B 备用图
D C
B A E 7．（密云18期末27）如图，已知Rt AB
C ∆中，90ACB ∠=︒，AC=BC ，
D 是线段AB 上的一
点（不与A 、B 重合）. 过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E.将线段CE 绕点C 顺时针旋转90︒，得到线段CF ，连结EF.设BCE ∠度数为α.
（1）①补全图形； ②试用含α的代数式表示CDA ∠.
（2
）若
EF AB = ，求α的大小. （3）直接写出线段AB 、BE 、CF 之间的数量关系.
8．（石景山18期末27）在正方形ABCD 中，点P 在射线AC 上，作点P 关于直线CD 的对称点Q ，作射线BQ 交射线DC 于点E ，连接BP ． （1）当点P 在线段AC 上时，如图1． ①依题意补全图1；
②若EQ =BP ，则∠PBE 的度数为 ，并证明；
（2）当点P 在线段AC 的延长线上时，如图2．若EQ =BP ，正方形ABCD 的边长为1，
请写出求BE 长的思路．
图2
图1
9．（东城18期末27）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC
=B
为圆心，P为e B上的动点，连接PC，作P C PC
'⊥，使点P'落在直线BC的
上方，且满足:
P C PC
'=BP ，AP'．
（1）求∠BAC的度数，并证明△AP C'∽△BPC；
（2）若点P在AB上时，
①在图2中画出△AP’C；
②连接BP'，求BP'的长；
图1
图2
（3）点P在运动过程中，BP'是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP'取得最大值或最小值时∠PBC的度数；若没有，请说明理由．
备用图
10．（顺义18期末27）综合实践课上，某小组同学将直
角三角形纸片放到横线纸上（所有横线都平行，且
相邻两条平行线的距离为1），使直角三角形纸片的顶点恰巧在横线上，
发现这样能求出三角形的边长． （1）如图1，已知等腰直角三角形纸片△ABC ，
∠ACB =90°，AC =BC ，同学们通过构造直角三角形
的办法求出三角形三边的长，则AB = ；
（2）如图2，已知直角三角形纸片△DEF ，∠DEF =90°，EF =2DE ，求出DF 的长；
（3）在（2）的条件下，若橫格纸上过点E 的横线与DF 相交于点G ，直接写出EG 的长． 11．（门头沟18期末27）如图1有两条长度相等的相交线段AB 、CD ，它们相交的锐角中有
一个角为60°，为了探究AD 、CB 与CD (或AB )之间的关系，小亮进行了如下尝试： （1）在其他条件不变的情况下使得AD BC ∥，如图2，将线段AB 沿AD 方向平移AD 的长度，得到线段DE ,然后联结BE ,进而利用所学知识得到AD 、CB 与CD (或AB )之间的关系：____________________；(直接写出结果)
（2）根据小亮的经验，请对图27-1的情况（AD 与CB 不平行）进行尝试， 写出AD 、CB 与CD (或AB )之间的关系，并进行证明；
（3）综合（1）、（2）的证明结果，请写出完整的结论: __________________________.
图2
D
E
F
图1 图2 图1E
D C A
B
12．（通州18期末24）如图1，在矩形ABCD 中，点E 为AD 边中点，点F 为BC 边中点；点
G ，H 为AB 边三等分点，I ，J 为CD 边三等分点.小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示.那么，图2中四边形GKLH 的面积与图3中四边形KPOL 的面积相等吗？
（1）小瑞的探究过程如下
在图2中，小瑞发现， ABCD GKLH S S _______=；
在图3中，小瑞对四边形KPOL 面积的探究如下. 请你将小瑞的思路填写完整： 设a S DEP =△，b S AKG =△ ∵AF EC ∥
∴DAK DEP ∽△△，且相似比为2:1，得到a S DAK 4=△ ∵BI GD ∥
∴ABM AGK ∽△△，且相似比为3:1，得到b S ABM 9=△ 又∵ABCD DAG S b a S 614=+=△，ABCD ABF S a b S 4
1
9=+=△ ∴a b b a S ABCD
436624+=+=
∴b a ____=，b S ABCD _____=，b S KPOL _____=
∴ABCD KPOL S S _____=，则GKLH KPOL S S ____（填写“>”，“<”或“=”）
（2）小瑞又按照图4的方式连接矩形ABCD 对边上的点.则ABCD ANML S S _____=.
13．（海淀18期末28）在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ．
（1）如图1，△ABC 的角平分线BD ，CE 交于点Q ，请判断
“QB =”是否正确：_______
（填“是”或“否”）；
（2）点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接P A ，PB ，且PB
=P A ．
①如图2，点P 在△ABC 内，∠ABP =30°，求∠P AB 的大小；
②如图3，点P 在△ABC 外，连接PC ，设∠APC =α，∠BPC =β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．
图1 图2 图3
P
P
E
D
Q
B C
A
B C
A
B C
A。