的第一个非零元素.
行最简形矩阵：
4. 非零行的第一个非零元为1; 5. 这些非零元所在的列的其它
元素都为零.
1 0 1 0 4
0
0
1 0
1 0
0 1
3 3
B5
0
0
00
0
c3 c4
c4 c1 c2 c5 4c1 3c2 3c3
1 0 0 0 0
0
0
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
2 -1 -1 1 2 1 1 -2 1 4 (A b)= 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9
1 1 -2 1 4 2 -1 -1 1 2 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9
交换(A b) 的第1行与第2行
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
00
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
例 1 用初等行变换化为行简化阶梯形
12 3 45
12 3 45
~ A= 2 4 6 8 10
例2 阶梯形,行简化阶梯形，标准形
1 A 0
0
0 1 0
8 1 0
0 0 1
1
B
0 0 0
0 1 0 0
2 0 0 0
1 0 0 0
0 0 10
0 1 1 0 C 0 0 0 1
0 0 0 0
0 1 2 0 3 D 0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
例 3 阶梯形,行简化阶梯形，标准形
0 -3 3 -1 -6 1 1 -2 1 4 2 -3 1 -1 2
3 6 -9 7 9
(A b) 第2行乘以(2)加到第1行
定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：
✓对调两行，记作 ri rj ； ✓以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ri k ； ✓某一行加上另一行的 k 倍，记作 ri krj .
2 -1 -1 1 2 1 1 -2 1 4 (A b)= 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9
2 -1 -1 1 2 1 1 -2 1 4 2 -3 1 -1 2
3 6 -9 7 9
(A b)第3行乘以1/2
例如
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
F
0
0
0
0
0
行最简形矩阵： 4. 非零行的第一个非零元为1; 5. 这些非零元所在的列的其它
元素都为零.
标准形矩阵：
6. 左上角是一个单位矩阵，其 它元素全为零.
结论
任何矩阵 有限次初等行变换
行阶梯形矩阵
有限次初等变换
行最简形矩阵
有限次初等行变换
有限次初等列变换 标准形矩阵
例1 阶梯形,行简化阶梯形，标准形
例1
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
③2
③2
2x1 x2 x3 x4 2
23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
x4 x4 7 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
初等变换
初等行变换 初等列变换
把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定 义． 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．
1 5 1 1
1 5 1 1
例1
1 2 1 3 r2r4 1 9 3 7 ———
3 8 1 1
3 8 1 1
1 9 3 7
1 2 1 3
r1×2
———
2 10 -2 -2
x4 2x4 7 x4
4 4 9
①2②
①2②
43xxx111
3x2 x2 6x2 6x2
3x3 2x3 2x3 9x3
x4 x4 2x4 7x4
6 4 4 9
增广矩阵的比较
2 -1 -1 1 2 1 1 -2 1 4 (A b)= 4 -6 2 -2 4 3 6 -9 7 9
1 A 0
0
5 3 0
8 1 0
3 0 1
1 1 2 1 0
B
0 0 0
2 0 0
0 0 2
0 0
0 0
1 0
1 6 1 4 C 0 0 0 3
0 1 2 0
0 1 2 1 3 D 0 0 0 0 0
0 0 0 1 2
例1 阶梯形,行简化阶梯形，标准形
25 1 3 8 4 7 2 00 2 5 687 5 E= 0 0 3 4 5 2 6 9 00 0 0 042 8 00 0 0 000 0
(2) 把某个方程乘以一个非零数
(3) 某个方程的非零倍加到另一个方程上
例1
2x1 x2 x3 x4 2
43xxx111
x2 6x2 6x2
2x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
00000
00 0 0 2
00 0 0 2
r2 2r1
~ ~ 1 2 3 4 5 00002
第五讲 矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运 算 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探 讨中都起重要的作用
本讲主要讨论两个问题 一 三种初等变换
二 用初等变换化简矩阵为阶 梯形、行最简形
一 三种初等变换 1 方程组的同解变换与增广矩阵的关系 在解线性方程组的过程中 我们可以把 一个方程变为另一个同解的方程 这种变换 过程称为同解变换 同解变换有 (1) 交换两个方程的位置
2. 每个台阶只有一行； 3. 阶梯线的竖线后面是非零行
的第一个非零元素.
1 1 2 1 4
0
0
1 0
1 0
1 1
0
3
B4
0
0
00
0
r1 r2
r2 r3
1 0 1 0 4
0
0
1 0
1 0
0 1
3
3
B5
0
0
00
0
行阶梯形矩阵： 1. 可画出一条阶梯线，线的下
方全为零； 2. 每个台阶只有一行； 3. 阶梯线的竖线后面是非零行
1 -9 3 7
3 8 -1 1
1 -2 1 3
r1-r4×2
———
0 14 -4 -8
1 -9 3 7 3 8 -1 1 1 -2 1 3
二 阶梯形、行简化阶梯形、标准形矩阵 1 行阶梯形
1 1 2 1 4
0
0
1 0
1 0
1 1
0 3
B4
0 0 0 0 0
行阶梯形矩阵：
1. 可画出一条阶梯线，线的下 方全为零；