十．研究创新题解：1.分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换与初等矩阵吴云在1997年8月的《工科数学》上的《分块矩阵的初等变换》一文中提到 定义1 分块矩阵的行(列)初等变换是指: （1）交换两行(列)的位置;（2）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)该行(列)的一个）（i h 阶）阶）（（i l 左(右)保秩因子Ｈ;（3）第ｉ行(列)的各个元素分别左乘(右乘)一个）（i h 阶）阶）（（i l 矩阵Ｋ后加到第ｊ行. 定义2 对应于分块矩阵t s ij A ⨯）（的初等分块矩阵是指:（1）))((k j i P i +=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ss llii E E K E E11或ijk P =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ii lliijj E OE E O E（2） )(H P il =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ss ll E H E 或)(H P ik =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ii E H E 11其中Ｈ为第ｉ行(列)的一个左(右)保秩因子；(1) ))((k j i P i +=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ss llii E E K E E11(2) 或))((k j i P k +=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ll llii E E K E E11 初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、右两种.直接验算可得:定理1 (1)交换t s ij A ⨯）（的第ｉ行与第ｊ行,相当于左乘一个ｍ阶初等分块矩阵ijL P,其中ijL P 中的元素ii E 为ｈ(i)阶单位矩阵, jj E 为ｈ(j)阶单位矩阵,当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时, rr E 为ｈ(ｒ)阶单位矩阵;交换t s ij A ⨯）（的第ｉ列与第ｊ列相当于右乘一个ｎ阶初等分块矩阵ijk P ,其中ii E 为ｌ(i)阶单位矩阵, jj E 为ｌ(j)阶单位矩阵, 当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时, rr E 为ｌ(ｒ)阶单位矩阵；(2) t s ij A ⨯）（的第ｉ行的每一个元素左乘一个矩阵Ｈ相当于t s ij A ⨯）（左乘一个ｍ阶分块矩阵）（H P iL 中Ｈ为ｈ(ｉ)阶方阵; t s ij A ⨯）（的第ｉ列的每一个元素右乘一个矩阵Ｈ,相当于t s ij A ⨯）（右乘一个ｎ阶初等到变换矩阵）（H P ik ,其中Ｈ为ｌ(ｉ)阶方阵； (3) t s ij A ⨯）（的第ｊ行的每个元素分别左乘一个ｈ(ｉ)×ｈ(ｊ)矩阵Ｋ后加到第ｉ行,相当于t s ij A ⨯）（左乘一个初等分块矩阵））（（k j i P L +;第ｊ列的每一个元素分别右乘ｌ(ｊ)×ｌ(ｉ)矩阵Ｋ后加到第ｉ列,相当于t s ij A ⨯）（右乘））（（k j i P k +. 定理2设Ａ为方阵,则分块矩阵t s ij A ⨯）（施行第一种行初等变换后,对应的行列式为A j i h ），（）（1-,其中h(i,j)=h(i)h(j)-l+h(i+l)]+…+h(j)[h(i)+h(i+j)+…+h(j-l)], l(i,j)=l(i)h(j)-l+l(i+l)]+…+l(j)[l(i)+l(i+j)+…+l(j-l)],施行第二种初等变换后,对应的行列式为|Ｈ|·|Ａ|;施行第三种初等变换后,对应的行列式的值不变.证明: H H P i =）（,A k j i P =+））（（显然成立. 下证），（）（j i h irL P 1-=,ii E 所在的第1行逐次与它相邻的行交换,移至jj E 前,共进行ｈ(ｉ)-1+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)次交换两行,第2行逐次与它相邻的行交换,移至jj E 前,同样进行相同次交换两行,依此类推,把ii E 所在的行移至jj E 所在的行前,共进行ｈ(ｉ)[ｈ(ｉ)-1+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)]次交换两行,然后把jj E 移至适当的位置,同理共进行ｈ(ｊ)[ｈ(ｉ)+ｈ(ｉ+1)+…+ｈ(ｊ-1)]次交换两行,所以交换两行的总次数为ｈ(ｉ,ｊ),故），（）（j i h irL P 1-=;同理），（）（j i l irR P 1-=. 所以有A P ilj =ilj P ∙A =(-1)),(l i h A 或ilk AP =A ∙ilkP =（-1）),(j i l AA H P il )(=)(H P il A =H ∙A 或A )(H P ik =H ∙AA k j i p l ))((+=)((k j i P l +A ∙=A ))((k j i AP K +=A ))((k j i P k +=A定理3 分块矩阵进行初等变换后,秩不变.证明: 对于(1),相当于对n m ij a A ⨯=)(进行若干次行(列)的交换,故命题成立;对于(2),根据定义1,显然成立;对于(3),相当于进行若干次把n m ij a A ⨯=)(行(列)乘以一个倍数后加到另一行(列),故命题成立.定理4 (1)设Ａ,Ｂ的行数均为ｍ,则矩阵方程ＡＸ=Ｂ,当rank (Ａ)= rank (Ａ,Ｂ)=ｍ时有唯一解,当rank (Ａ)= rank (Ａ,Ｂ)<ｍ时有无穷多解, 当rank (Ａ)< rank (Ａ,Ｂ)时无解;(2)设Ａ,Ｂ的列数均为ｎ,则矩阵方程ＸＡ=Ｂ,当rank (Ａ)= ）（TT B A rank ,=ｎ时有唯一解,当rank (Ａ)= ）（TTB A rank ,<ｎ有无穷多解, 当rank (Ａ)< ）（TTB A rank ,时无解.证明: (1)设rank (Ａ)= rank (Ａ,Ｂ)<ｍ,则存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使Q O O O I P A r⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤=，Q O O B B P B ⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤=21 其中r I 为ｒ阶单位矩阵, 1B 为ｒ阶方阵,设Q B B B B Q X o⎢⎣⎡⎥⎦⎤=-43211,则有: Q O O O I P AX r o ⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤= Q B B B B Q ⎢⎣⎡⎥⎦⎤-43211= []⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤4321B B B B O O O I P r = Q O O B B P ⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤21=B所以o X 为ＡＸ=Ｂ的解,其中3B , 4B 是任意的.当rank (Ａ)= rank (Ａ,Ｂ)=ｍ时,Ａ=Ｐ(m I Ｏ)Ｑ,Ｂ=( 1B 2B ),显然,ＡＸ=Ｂ有唯一解: Q B B Q X o ）（211-=;当rank (Ａ)< rank (Ａ,Ｂ)时,ＡＸ=Ｂ无解.同理可证(2)成立(当rank (Ａ)= rank ( tA , TB )<ｎ时,X=P ⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤O OO I r1-P ) 定义3 对于任意的ｕ,ｖ,如果rank ( ij A )= rank ( ij A ,iv A )= rank (T ij A ,Tiv A ),则称ij A 为极大元.定理5 分块矩阵22　ij A ⨯）（可以用分块矩阵的初等变换对角化的充要条件是:它有一个极大元.证明: 充分性.不妨设11A 为极大元(否则可以通过第一种分块矩阵的初等变换把极大元移到第一行,第一列交叉位置).由定理4,存在可逆矩阵Ｐ,Ｑ,使Q O O O I P A r⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤=11Q O B O A P A ⎢⎣⎡⎥⎦⎤=2121，Q O O A A P A ⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤=2'1'12,令Ｋ=-Ｐ⎢⎣⎡⎥⎦⎤4321A A A A 1-P ,其中3A , 4A 为适当阶数的任意矩阵.则 K 11A + 21A =P -⎢⎣⎡⎥⎦⎤4321A A A A 1-P P ⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤O O O I r Q ， 所以22　ij A ⨯）（ 第一行左乘Ｋ加到第二行,得⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤+22121211A KA O A A .同理,令Ｋ＇=-1-Q ⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤4231，，，，A A A A Q , 则11A Ｋ′+12A =0,所以⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤+22121211A KA OA A 的第一列右乘Ｋ′后加到第二列,得⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤+221211A KA OO A .(如先进行列变换,再进行行变换,得⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤+222111A K A O O A ，, 因为2221A KA +=⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤-2'21'22'11'1A A A A A A A A +22A =21'A K +22A ,故两种运算顺序结果相同) 必要性.反证法,不妨设rank (11A )≠rank (T A 11,T A 21)或rank (T A 11,TA 221)rank (21A ),则由定理4, X 11A =-21A 或X 21A =-11A 无解,从而不存在Ｋ,使22　ij A ⨯）（对角化.同理,当rank (11A )≠rank (11A ,12A )或rank (11A ,12A )≠rank (12A )时,不存在'K 使 -A 11K '=A 12或-'12K A =11A 成立.定理5表明:并不是所有的2×2分块矩阵都可以用分块矩阵初等变换对角化,如果分块矩阵没有极大元,则需分得更细,才能对角化.定理 6 矩阵n m A ⨯的一种分块方法t s ij A ⨯)(可以用分块矩阵的初等变换对角化的充分条件是:存在ｓ-1行且存在ｔ-1列有极大元.证明: 用数学归纳法.当ｓ=ｔ=1时,只有一块,命题成立;设ｓ ≤ｅ,ｔ≤ ｆ时命题成立.当ｓ=ｅ+1,ｔ=ｆ时,存在ｅ行且存在ｆ-1列有极大元,显然可以用第一种分块矩阵的初等变换,通过交换两行或两列的位置,使t s ij A ⨯）（的前ｅ行与前ｆ-1列都有极大元,再把前ｅ行,前ｆ-1列看成一块,得到一个新的2×2分块矩阵,记为22　ij B ⨯）（.显然11B 为极大元,根据定理4, 22　ij B ⨯）（可以化成对角形:⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2221B KB O O B ,又）（）（111-⨯=f e ij A B ,它的每行、列都有极大,故由假设11B 可以对角化,从而f e ij A ⨯=）（）（1可以对角化.同理可证当ｓ=ｅ,ｔ=ｆ+1时, ）（）（1+⨯f e ij A 可以对角化.由此命题成立.下面讨论对角化后的非零块ii A 进一步化简的方法.设Q O OO I P A i ii ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=,121-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=P B O B I L i i 与⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-211C C O I Q R Ri .根据定理1, i L ,i R 为ii A 的左(右)保秩因子,显然也是ii A 所在行(列)的左(右)保秩因子,故对角化后的分块矩阵第ｉ行、第ｉ列分别左乘i L ,右乘i R 后, ii A 可以化成⎥⎦⎤⎢⎣⎡O O O I i讨论分块方阵行列式的计算,先讨论分块初等阵的行列式. 设I 为S ×S 分块单位阵:I=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛s r r r r I I I I321 其中I r i 为r i 阶单位阵(1≤i ≤S),对I 施行一次初等变换可得定义2所述的三种分块初等阵,它们的行列式有下列计算公式.引理 分块初等阵的行列式有以下性质:(1)|I(i,j)|= τ)1(-,其中τ=r i (r i +1+…+r j )+ r j (r i +1+…+ r j -1)(i<j). 特别地,若j=i+1,则| I(i,j)|=(-1) r i r j ; (2)|I(i(K))|=|k|,其中K 是r i 阶可逆阵; (3)|I(j(K),i)|=1,其中K 是r i ×r j 矩阵.证(1)不难验证,将I(i,j)的元素行进行τ次相邻的对调可将I(i,j)变成I,由行列式的性质,|I(i,j)|= τ)1(-|I|=τ)1(-.(2),(3)由对角分块方阵及三角形分块方阵的行列式计算方法即知.由于对分块方阵A 施行一次初等行变换,相当于用相应的分块初等阵左乘A,由上述引理,我们有下列分块方阵的行列式计算性质. 定理7 设A 是一个分块方阵.(1)交换|A|的i,j 两行(列),行列式变为(-1)τ|A|,其中τ= r i (r i +1+…+ r j )+ r j (r i +1+…+ r j -1);特别地,交换|A|的相邻两行(列)(i 行和i+1行),行列式变为(-1) r i r i +1|A|; (2)用一个r i 阶可逆阵K 左(右)乘|A|的第i 行(列)的所有矩阵,等于用|K|乘以|A|; (3)用一个矩阵左(右)乘|A|的某一行(列)的所有矩阵再加到另一行(列)的对应元素上,行列式不变. 由定理7的(2)可得推论 分块行列式|A|的某一行(列)的所有矩阵的可逆左(右)因子K,可以行列式|K|的形式提到行列式符号外.2．分块矩阵初等变换的应用一、利用分块矩阵的初等变换求矩阵的逆.廖中行在2002年05期《四川教育学院学报》上的《初等变换在分块矩阵乘法》的一文中提到例1: 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C OD BP 其中Ｂ是ｒ×ｒ可逆阵,Ｃ是ｓ×ｓ可逆阵,求证:Ｐ可逆,并求1-P .分析:本题是一个分块阵的求逆问题,一般可用待定子块法,也可利用广义初等变换,还可用左乘分块初等阵的方法.解:因Ｂ、Ｃ可逆,故|Ｂ|≠0,|Ｃ|≠0.根据拉普拉斯展开,有C B CO D B P ·==≠0,故Ｐ可逆.求C 有三种办法:解法一:利用广义初等行变换法.⎪⎭ ⎝E C 0012⎪⎭ ⎝-100C E (B 1-D)2r ⨯+r 1 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1111000C DC B E B E 故P 1-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1111C DC B B 本题对分块矩阵进行广义初等变换是一般矩阵的初等变换的一种推广,其方法和一般矩阵相同.作初等行(列)变换时,对矩阵Ｐ应左(右)乘相应的分块单位阵.上述分块初等变换的过程也可用分块阵左乘相应的分块初等阵,可表示如下: 解法二: 可用左乘分块初等阵的方法求1-P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1100C B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D B 0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--110C D B E 有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--E D B E 01⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-E D B E 01=⎪⎪⎭⎫⎝⎛E E 00 即：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--E D B E 01⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-C B 001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D B 0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛E E 00=E 故有P 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D B 01-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--E D B E 01⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1100C B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11110C DC B B 例2：已知A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1001000000643521100010001，求A 1-.分析:本题是一个矩阵的求逆问题,一般可用公式法,矩阵的初等变换法求;可以用分块矩阵初等变换法求1-A .利用分块矩阵初等变换法先A 化分成分块矩阵，即A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1001000000643521100010001=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D B 0 其中B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001，C=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1001，D=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛654321 从而求得B 1-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001，C 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1001然后对A 进行广义初等变换，即：⎪⎭ ⎝E C 0012⎪⎭⎝-100C E(B 1-D)⨯r 2+r 1 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----111100C DC B E B E ∴A 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11110C DCB B =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1000001000651004201031001如果用其它方法来求解将会变得很繁琐，用分块矩阵的初等变换发来求解就显的比较简单.二、利用分块矩阵初等变换求行列式的值宋玉英在2002年04期的《兰州教育学院学报》上的《“用广义初等变换”法求“分块矩阵”的逆矩阵》一文中提到 例3 设P=⎪⎪⎭⎫⎝⎛D C B A 是一个分块方阵,其中A 是r 阶可逆阵,求|P|. 解: 由推论及定理7的(3):P =D CBA =A D CB A I r 1-=A BCA D B A Ir 110---=A B CA D 1--若A 与D 可乘,则|P|=|AD-ACAB|;又若A 与C 可交换(即AC=CA),则|P|=|AD-CB|.例例4 设D n 2=dc d c ba ba, 其中a ≠0,求|A|解： D n 2=dcd c b a ba=DCB A由于A,C 可交换,所以D n 2=CB AD -=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∙⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛bc bc ad ad = =|(ad-bc)I|=(ad-bc)n例5 设A,B,C 和D 是n 阶方阵,试证明DC B A =AB CD证 两次利用定理4的(1),得DCB A =（-1）2n BAD C =（-1）2n （-1）2n ABC D =ABC D三、利用分块矩阵的初等变换求矩阵的秩史永铨在2002年02期《淮南师范学院学报》上的《分块矩阵初等变换及其应用》一文中提到：矩阵的秩有以下初等性质:设Ａ与Ｂ分别是ｒ×ｓ与ｐ×ｑ矩阵，则ｒBCA 0≥ｒ(Ａ)+ｒ(Ｂ) 并且当Ａ(或Ｂ)是方阵且非异时,或者Ｃ=0时上式的等号成立. 例6. 设Ａ是ｍ×ｎ阵DCB A 的非异顺序主子阵,则r DCB A =ｒ(Ａ)+ｒ(Ｄ-ＣＡ1-Ｂ)证： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---r m rI CA I 10∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--B CA D B A10而Ａ是非异阵,由以上性质知ｒ⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--B CA D B A 10≥ｒ(Ａ)+ｒ(Ｄ-CA 1-B) 例7. 设ｎ阶方阵Ａ=(Ｑij )为反对称矩阵,证明:ｒ(Ａ)必为偶数 证: 对ｎ用归纳法ｎ=1,2是命题显然成立设阶数小于ｎ时命题为真则对ｎ阶及对称矩阵Ａ,将Ａ分块成Ａ=DBC A 1,其中Ａ1=01212a a -不妨设12a ≠0.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I BA I 110⎥⎦⎤⎢⎣⎡D B C A 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I C A I 011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--C BA D A 111∴ｒ(Ａ)=ｒ⎥⎦⎤⎢⎣⎡D BC A 1=ｒ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--C BA D A 11100 =ｒ(Ａ1)+ｒ(Ｄ-ＢＡ11-Ｃ) =2+ｒ(Ｄ-ＢＡ11-Ｃ)但Ｄ-ＢA 11-Ｃ为阶数比Ａ低的反对称矩阵,由归纳假设ｒ(Ｄ-ＢＡ11-Ｃ)为偶数,故ｒ(Ａ)为偶数.四、分块矩阵的初等变换在矩阵分解中的应用例8. 设Ａ=(ａij )是ｎ阶方阵,它的顺序主子式全不为零,证明: 存在非异下三角形矩阵Ｂ与非异上三角形矩阵Ｃ,使Ａ=ＢＣ 证: 对ｎ用归纳法ｎ=1时显然成立设当ｎ-1时,结论成立,则对ｎ,将Ａ分块成Ａ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-nn n a A βα1由归纳假设对Ａ1-n =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1,11,11,11,1n n n n a a a a有Ａ1-n =Ｂ1Ｃ1其中Ｂ1Ｃ1分别是ｎ-1阶非异下三角形与上三角形矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡----10111n n A I β∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a A n 01,其中b=a nn -11--n A βa 上式两端取行列式有：A =1-n A ∙b, ∴ b ≠0∴ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b A n 001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡I C B 0011∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a B C 0111 于是得：A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-m n a A βα1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----10111n n A I β∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b B C 0111α=BC 其中B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----10111n n A I β1-∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10111n n A I β⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-10111C B β, C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b B C 0111αB =1B ≠0,C =b 1C 0≠∴B 与C 分别是非奇异的下三角与上三角形矩阵.类似的例子还可以举出很多,由于篇幅有限,不再赘述.总之,在矩阵乘法中,只要对矩阵进行恰当的分块,结合矩阵初等变换的方法,就能大大的简化其运算.。