土木工程专业——工程数学作业工程数学作业（第一次）（满分100分）第2章 矩阵（一）单项选择题（每小题2分，共20分） ⒈设a a ab b bc c c 1231231232=，则a a a ab a b a bc c c 123112233123232323---=（ ）．A. 4B. －4C. 6D. －6 ⒉若000100002001001a a=，则a =（ ）．A. 12 B. －1 C.-12D. 1⒊乘积矩阵1124103521-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎡⎣⎢⎤⎦⎥中元素c 23=（ ）．A. 1B. 7C. 10D. 8⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ ）．A. A B A B +=+---111B. ()AB BA --=11C. ()A B A B +=+---111D. ()AB A B ---=111⒌设A B ,均为n 阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式正确的是（ ）．A. A B A B +=+B. AB n A B =C. kA k A =D. -=-kA k A n() ⒍下列结论正确的是（ ）．A. 若A 是正交矩阵，则A -1也是正交矩阵 B. 若A B ,均为n 阶对称矩阵，则AB 也是对称矩阵C. 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则AB 也是非零矩阵D. 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则AB ≠0⒎矩阵1325⎡⎣⎢⎤⎦⎥的伴随矩阵为（ ）． A. 1325--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ B. --⎡⎣⎢⎤⎦⎥1325 C.5321--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ D.--⎡⎣⎢⎤⎦⎥5321⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）．A.A ≠0B.A ≠0C. A *≠0D. A *>0⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则()ACB '=-1（ ）． A. ()'---B A C 111B. '--B C A 11C. A C B ---'111()D. ()B C A ---'111⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）．A. ()A B A AB B +=++2222B. ()A B B BA B +=+2C. ()221111ABC C B A ----= D. ()22ABC C B A '=''' （二）填空题（每小题2分，共20分）⒈210140001---= ．⒉---11111111x 是关于x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 ．⒊若A 为34⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，切乘积AC B ''有意义，则C 为 矩阵．⒋二阶矩阵A =⎡⎣⎢⎤⎦⎥=11015． ⒌设A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎤⎦⎥124034120314,，则()A B +''=．⒍设A B ,均为3阶矩阵，且A B ==-3，则-=2AB ．⒎设A B ,均为3阶矩阵，且A B =-=-13,，则-'=-312()A B ．⒏若A a =⎡⎣⎢⎤⎦⎥101为正交矩阵，则a = ．⒐矩阵212402033--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥的秩为 ．⒑设A A 12,是两个可逆矩阵，则A O O A 121⎡⎣⎢⎤⎦⎥=- ．（三）解答题（每小题8分，共48分）⒈设A B C =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥123511435431,,，求⑴A B +；⑵A C +；⑶23A C +；⑷A B +5；⑸AB ；⑹()AB C '． ⒉设A B C =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥121012103211114321002,,，求AC BC +．⒊已知A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥310121342102111211,，求满足方程32A X B-=中的X ．⒋写出4阶行列式1020143602533110-- 中元素a a 4142,的代数余子式，并求其值．⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵： ⑴122212221--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥； ⑵1234231211111026---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥； ⑶1000110011101111⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥．⒍求矩阵1011011110110010121012113201⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥的秩．（四）证明题（每小题4分，共12分）⒎对任意方阵A ，试证A A +'是对称矩阵． ⒏若A 是n 阶方阵，且AA I '=，试证A =1或-1． ⒐若A 是正交矩阵，试证'A 也是正交矩阵．工程数学作业（第二次）(满分100分)第3章 线性方程组（一）单项选择题(每小题2分，共16分) ⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（ ）．A. [,,]102-'B. [,,]--'722C. [,,]--'1122D. [,,]---'1122 ⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（ ）．A. 有无穷多解B. 有唯一解C. 无解D. 只有零解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（ ）．A. 3B. 2C. 4D. 5⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,，则（ ）是极大无关组．A. αα12, B. ααα123,, C. ααα124,, D. α1⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（ ）． A. 秩()A =秩()A B. 秩()A <秩()A C. 秩()A >秩()A D. 秩()A =秩()A -1 ⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（ ）．A. 可能无解B. 有唯一解C. 有无穷多解D. 无解⒎以下结论正确的是（ ）．A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,,Λs线性相关，则向量组内（ ）可被该向量组内其余向量线性表出．A. 至少有一个向量B. 没有一个向量C. 至多有一个向量D. 任何一个向量（二）填空题(每小题2分，共16分)⒈当λ= 时，齐次线性方程组x x x x 1212+=+=⎧⎨⎩λ有非零解．⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 ． ⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是 ．⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有 解，且系数列向量ααα123,,是线性 的．⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是 ．⒍向量组ααα12,,,Λs 的秩与矩阵[]ααα12,,,Λs的秩 ．⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有 个．⒏设线性方程组AX b =有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X X 12,，则AX b =的通解为 ．（三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分)1．设有线性方程组λλλλλ11111112⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x y zλ为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?2．判断向量β能否由向量组ααα123,,线性表出，若能，写出一种表出方式．其中βααα=---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥83710271335025631123,,,3．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关；（2）求出该向量组的一个极大无关组。

αααα1234112343789131303319636=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=----⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥,,,4．求齐次线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341243205230112503540-+-=-+-+=--+-=++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪的一个基础解系．5．求下列线性方程组的全部解．x x x x x x x x x x x x x x x 12341234124123452311342594175361-+-=-+-+=----=++-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 6．求下列线性方程组的全部解．x x x x x x x x x x x x x x x x 123412341234123432638502412432---=-++=-+-+=--+--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （四）证明题(本题4分)⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解．工程数学作业（第三次）(满分100分)第4章 随机事件与概率（一）单项选择题(每小题2分，共16分) ⒈A B ,为两个事件，则（ ）成立． A. ()A B B A +-= B. ()A B B A +-⊂ C. ()A B B A -+= D. ()A B B A -+⊂ ⒉如果（ ）成立，则事件A 与B 互为对立事件． A. AB =∅ B. AB U =C. AB =∅且AB U =D. A 与B 互为对立事件⒊袋中有5个黑球，3个白球，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（ ）．A. 584C B. ()38583C. C 8433858() D. 38⒋10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（ ）．A. C 10320703⨯⨯.. B. 03. C. 07032..⨯ D. 307032⨯⨯..⒌同时掷3枚均匀硬币，恰好有2枚正面向上的概率为（ ）．A. 0.5B. 0.25C. 0.125D. 0.375⒍已知P B A A (),>=∅012，则（ ）成立． A. P A B ()10> B. P A A B P A B P A B [()]()()1212+=+C. P A A B ()120≠D. P A A B ()121= ⒎对于事件A B ,，命题（ ）是正确的． A. 如果A B ,互不相容，则A B ,互不相容 B. 如果A B ⊂，则A B ⊂C. 如果A B ,对立，则A B ,对立D. 如果A B ,相容，则A B ,相容⒏某随机试验每次试验的成功率为p p ()01<<，则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（ ）．A. ()13-pB. 13-p C. 31()-p D. ()()()111322-+-+-p p p p p（二）填空题(每小题2分，共18分) ⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为 ．⒉从n 个数字中有返回地任取r 个数（r n ≤，且n 个数字互不相同），则取到的r 个数字中有重复数字的概率为 ．⒊有甲、乙、丙三个人，每个人都等可能地被分配到四个房间中的任一间内，则三个人分配在同一间房间的概率为 ，三个人分配在不同房间的概率为 ．⒋已知P A P B ().,().==0305，则当事件A B ,互不相容时，P A B ()+= ，P AB ()= ．⒌A B ,为两个事件，且B A ⊂，则P A B ()+= ．⒍已知P AB P AB P A p ()(),()==，则P B ()= ．⒎若事件A B ,相互独立，且P A p P B q (),()==，则P A B ()+= ．⒏若A B ,互不相容，且P A ()>0，则P B A ()= ，若A B ,相互独立，且P A ()>0，则P B A ()= ．9．已知P A P B ().,().==0305，则当事件A B ,相互独立时，P A B ()+= ，P A B ()= ．（三）解答题(第1、2、3小题各6分，其余题目各8分，共66分)⒈设A,B 为两个事件，试用文字表示下列各个事件的含义：⑴ A B +； ⑵ AB ； ⑶A B -；⑷ A AB -； ⑸ AB ； ⑹AB AB +．⒉设A B C ,,为三个事件，试用A B C ,,的运算分别表示下列事件：⑴ A B C ,,中至少有一个发生；⑵ A B C ,,中只有一个发生；⑶ A B C ,,中至多有一个发生；⑷ A B C ,,中至少有两个发生；⑸A B C,,中不多于两个发生；⑹A B C,,中只有C发生．⒊袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率：⑴2球恰好同色；⑵2球中至少有1红球．⒋一批产品共50件，其中46件合格品，4件次品，从中任取3件，其中有次品的概率是多少? 次品不超过2件的概率是多少?⒌设有100个圆柱圆柱形零件，其中95个长度合格，92个直径合格，87个长度直径都合格，现从中任取一件该产品，求：⑴该产品是合格品的概率；⑵若已知该产品直径合格，求该产品是合格品的概率；⑶若已知该产品长度合格，求该产品是合格品的概率．⒍加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率．⒎市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率．⒏一批产品中有20%的次品，进行重复抽样检查，共抽得5件样品，分别计算这5件样品中恰有3件次品和至多有3件次品的概率．⒐加工某种零件需要三道工序，假设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%,3%,5%，并假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．工程数学作业（第四次）(满分100分)第5章 随机变量及其数字特征（一）单项选择题(每小题2分，共14分)⒈设随机变量X B n p ~(,)，且E X D X ().,().==48096，则参数n 与p 分别是（ ）．A. 6, 0.8B. 8, 0.6C. 12, 0.4D. 14, 0.2⒉设f x ()为连续型随机变量X 的密度函数，则对任意的a b a b ,()<，E X ()=（ ）．A. xf x x ()d -∞+∞⎰B. xf x x ab ()d ⎰C. f x x a b ()d ⎰D. f x x ()d -∞+∞⎰ ⒊在下列函数中可以作为分布密度函数的是（ ）．A.f x x x ()sin ,,=-<<⎧⎨⎪⎩⎪ππ2320其它 B. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪020π其它 C. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪0320π其它 D. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎩00π其它 ⒋设连续型随机变量X 的密度函数为f x ()，分布函数为F x ()，则对任意的区间(,)a b ，则P a X b ()<<=（ ）．A. F a F b ()()-B. F x x ab ()d ⎰C. f a f b ()()-D. f x x ab()d ⎰ ⒌设X 为随机变量，则D X ()23-=（ ）．A. 23D X ()+B. 2D X ()C. 23D X ()-D. 4D X ()⒍设X 为随机变量，E X D X (),()==μσ2，当（ ）时，有E Y D Y (),()==01．A. Y X =+σμB. Y X =-σμC. Y X=-μσ D. Y X=-μσ27. 设X 是随机变量，2)(σ=X D ，设Y aX b =+，则=)(Y D （ ）．(A)a b σ2+ (B) a 22σ (C) a σ2 (D) ba +22σ （二）填空题(每小题2分，共14分)⒈已知连续型随机变量X 的分布函数F x ()，且密度函数f x ()连续，则f x ()= ．⒉设随机变量X U ~(,)01，则X 的分布函数F x ()= ．⒊若X B ~(,.)2003，则E X ()= ．⒋若X N ~(,)μσ2，则P X ()-≤=μσ3 ． ⒌若二维随机变量(,)X Y 的相关系数ρX Y,=0，则称X Y , ．⒍E X E X Y E Y [(())(())]--称为二维随机变量(,)X Y的 ．7. 设连续型随机变量X 的密度函数是)(x f ，则=<<)(b X a P ．（三）解答题(每小题8分，共72分)⒈某射手连续向一目标射击，直到命中为止．已知他每发命中的概率是p ，求所需设计次数X 的概率分布．⒉设随机变量X 的概率分布为012345601015020301201003.......⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 试求P X P X P X (),(),()≤≤≤≠4253．⒊设随机变量X 具有概率密度f x x x (),,=≤≤⎧⎨⎩2010其它 试求P X P X (),()≤<<12142． ⒋已知随机变量X 的概率分布为P X k k ()(,,,,,)===1102461820Λ求E X D X (),()．⒌设X f x x x ~(),,=≤≤⎧⎨⎩2010其它，求E X D X (),()． ⒍已知100个产品中有5个次品，现从中任取1个，有放回地取3次，求在所取的3个产品中恰有2个次品的概率．⒎某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.8，该运动员投篮4次，求⑴投中篮框不少于3次的概率；⑵至少投中篮框1次的概率．⒏设X N ~(,.)20022，计算⑴P X (..)0218<<；⑵P X ()>0．9. 设X X X n12,,,Λ是独立同分布的随机变量，已知E X D X (),()112==μσ，设X n X i i n==∑11，求E X D X (),()．。