第9章 真空中的静电场 习题解答9－5 一无限长均匀带电细棒被弯成如习题9－5图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆心O 点处的场强为零。

解： 设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强。

在圆弧上取一弧元 d s =R d φ 所带的电量为 d q = λd s在圆心处产生的场强的大小为2200d d d d 44q s E kr R Rλλϕπεπε=== 由于弧是对称的，场强只剩x 分量，取x 轴方向为正，场强为d E x = -d E cos φ 总场强为2/20/2cos d 4x E Rπθθλϕϕπε--=⎰2/20/2sin 4Rπθθλϕπε--=0sin 22R λθπε=方向沿着x 轴正向。

再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O 点产生的场强大小为`04E Rλπε=由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O 点产生的合场强为``02coscos 222x E E R θλθπε==方向沿着x 轴负向当O 点合场强为零时，必有`x x E E =，可得 tan θ/2 = 1因此 θ/2 = π/4，所以 θ = π/29－6 一宽为b 的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ，如习题9－6图所示。

试求平板所在平面内，离薄板边缘距离为a 的P 点处的场强。

解： 建立坐标系。

在平面薄板上取一宽度为d x 的带电直线，电荷的线密度为d λ = σd x根据直线带电线的场强公式02E rλπε=得带电直线在P 点产生的场强为00d d d 22(/2)xE rb a x λσπεπε==+-其方向沿x 轴正向。

由于每条无限长直线在P 点的产生的场强方向相同，所以总场强为/20/21d 2/2b b E x b a x σπε-=+-⎰ /2/2ln(/2)2b b b a x σπε--=+-0ln(12baσπε=+ ① 场强方向沿x 轴正向。

9－7 有一半径为r 的半球面,均匀地带有电荷,电荷面密度为σ,求球心处的电场强度。

解: 如图所示，在球面上任取一面元ϕθθd d s i n d 2r S =，其上带电量为ϕθθσσd d sin d d 2r S q =⋅=，电荷元q d 在球心处产生的场强的大小为22020d d sin 41d 41d rr r q E ϕθθσπεπε== 方向如图。

由对称性分析可知，球心处场强方向竖直向下，其大小为2024 d cos sin 4d cos d εσθθθπεσϕθππ====⎰⎰⎰E EE z9－10 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1和R 2(R 2 > R 1)，带有等量异号电荷，单位长度的电量分别为λ和-λ，求（1）r < R 1；（2） R 1 < r < R 2；（3）r > R 2处各点的场强。

解：由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性。

（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E = 0，（r < R 1）（2）在两个圆柱之间做一长度为l ，半径为r 的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = λl 穿过高斯面的电通量为 ⎰⎰==⋅=ΦSSe rl E EdS S d E π2根据高斯定理Φe = q /ε0，所以02E rλπε=， (R 1 < r < R 2) （3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以E = 0，（r > R 2）9－12 一个均匀带电圆盘，半径为R ，电荷面密度为σ，求： (1) 轴线上任一点的电势（用x 表示该点至圆盘中心的距离）； (2) 利用电场强度与电势的关系求轴线上的场强分布。

解：如图所示，将均匀带电圆盘视为一系列连续分布的同心带电细圆环所组成，距O 点r 处取一宽为dr 的细圆环，其带电量为rdr d dq 2S πσσ⋅==，dq 在P 点处产生的电势为22122212001d 12d d 4()4()q r rV r x r x σππεπε==++ 所以，整个带电圆盘在P 点产生的电势为2212002d d )4()2R r r V V x r x σπσπεε===+⎰⎰轴线上的场强分布为)1(2d d 220xR xx V E x +-=-=εσ9－20 电量q 均匀分布在长为2L 的细直线上，试求：（1）带电直线延长线上离中点为r 处的电势； （2）带电直线中垂线上离中点为r 处的电势； （3）由电势梯度算出上述两点的场强。

解：电荷的线密度为λ = q/2L（1）建立坐标系，在细线上取一线元d l ，所带的电量为d q = λd l101d d 4lU r lλπε=-总电势为10d 4L L l U r lλπε-=-⎰ 0ln()4Ll Lr l λπε=--=-0ln8q r LLr Lπε+=- （2）建立坐标系，在细线上取一线元d l ，所带的电量为d q = λd l ，在线的垂直平分线上的P 2点产生的电势为2221/20d d 4()lU r l λπε=+， 积分得2221/201d 4()LLU l r l λπε-=+⎰)4Ll Ll λπε=-=08q Lπε=0ln4q Lπε=（3）P 1点的场强大小为11U E r∂=-∂ 011()8qL r L r Lπε=--+22014qr Lπε=-， ① 方向沿着x 轴正向。

P 2点的场强为22U E r∂=-∂1[4qL r πε==②方向沿着y 轴正向。

9－21 如习题9－21图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为R 1和R 2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为ρ，试计算：（1）A ，B 两点的电势；（2）利用电势梯度求A ，B 两点的场强。

解：（1）A 点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A点的电势就等于球心O 点的电势。

在半径为r 的球壳处取一厚度为d r 的薄壳，其体积为d V = 4πr 2d r包含的电量为d q = ρd V = 4πρr 2d r 在球心处产生的电势为00d d d 4O q U r r rρπεε==球心处的总电势为2122210d ()2R O R U r r R R ρρεε==-⎰ 这就是A 点的电势U A 。

过B 点作一球面，B 的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的。

球面外的电荷在B 点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得22120()2B U R r ρε=- 球面内的电荷在B 点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B 点产生的电势。

球壳在球面内的体积为3314()3B V r R π=-包含的电量为 Q = ρV这些电荷集中在球心时在B 点产生的电势为332100()43B BBQ U r R r r ρπεε==- B 点的电势为 U B = U 1 + U 2322120(32)6B BR R r r ρε=--．（2）A 点的场强为0AA U E r ∂=-=∂．B 点的场强为 3120()3B B B B BU R E r r r ρε∂=-=-∂讨论： 过空腔中A 点作一半径为r 的同心球形高斯面，由于面内没有电荷，根据高斯定理，可得空腔中A 点场强为E = 0， (r ≦R 1)过球壳中B 点作一半径为r 的同心球形高斯面，面内球壳的体积为3314()3V r R π=-包含的电量为 q = ρV 根据高斯定理得方程 4πr 2E = q/ε0 可得B 点的场强为3120()3R E r rρε=-， (R 1≦r ≦R 2) 这两个结果与上面计算的结果相同。

在球壳外面作一半径为r 的同心球形高斯面，面内球壳的体积为33214()3V R R π=- 包含的电量为 q = ρV根据高斯定理得可得球壳外的场强为33212200()43R R qE r r ρπεε-==，(R 2≦r ) A 点的电势为d d AAA r r U E r ∞∞=⋅=⎰⎰E l12131200d ()d 3AR R r R R r r r r ρε=+-⎰⎰2332120()d 3R R R r r ρε∞-+⎰ 22210()2R R ρε=-． B 点的电势为d d BBB r r U E r ∞∞=⋅=⎰⎰E l23120()d 3BR r R r r r ρε=-⎰2332120()d 3R R R r r ρε∞-+⎰ 322120(32)6B BR R r r ρε=--．A 和B 点的电势与前面计算的结果相同．第10章 静电场中的导体和电介质 习题解答10－1 点电荷q +处在导体球壳的中心，壳的内、外半径分别为1R 和2R 。

试求：（1）1R r <；（2）21R r R <<；（3）2R r >三个区域的电场强度和电势。

r 为观察点到q +的距离。

解：由高斯定理⎰∑=⋅SE εq S d得（1）当1R r <时，2014r q E πε=1120012111,()44q qE V rr R R πεπε==-+ 当21R r R <<时，02=E 22020,4q E V R πε==当2R r >时，2034rq E πε=33200,44q q E V rrπεπε==（2）当1R r <时，)111(421032112211R R r qr d E r d E r d E V R R R R R r+-=⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰∞πε当21R r R <<时，⎰⎰∞=⋅+⋅=R R R rR q r d E r d E V 22203224πε当2R r >时，⎰∞=⋅=R rrq r d E V 0334πε10－5 如习题10－5图所示，三块平行金属板A 、B 和C ，面积都是S = 100cm 2，A 、B 相距d 1 = 2mm ，A 、C 相距d 2 = 4mm ，B 、C 接地，A 板带有正电荷q = 3×10-8C ，忽略边缘效应．求（1）B 、C 板上的电荷为多少？（2）A 板电势为多少？ 解：(1)设A 的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2，所带电量分别为q 1 = σ1S 和q 2 = σ2S在B 、C 板上分别感应异号电荷-q 1和-q 2，由电荷守恒得方程q = q 1 + q 2 = σ1S + σ2S ①A 、B 间的场强为 E 1 = σ1/ε0 A 、C 间的场强为 E 2 = σ2/ε0设A 板与B 板的电势差和A 板与C 板的的电势差相等，设为ΔU ，则ΔU = E 1d 1 = E 2d 2， ②即 σ1d 1 = σ2d 2． ③解联立方程①和③得σ1 = qd 2/S (d 1 + d 2)所以 q 1 = σ1S = qd 2/(d 1+d 2) = 2×10-8(C)q 2 = q - q 1 = 1×10-8(C)B 、C 板上的电荷分别为q B = -q 1 = -2×10-8(C) q C = -q 2 = -1×10-8(C) (2)两板电势差为ΔU = E 1d 1 = σ1d 1/ε0 = qd 1d 2/ε0S (d 1+d 2)由于 k = 9×109 = 1/4πε0 所以 ε0 = 10-9/36π因此 ΔU = 144π = 452.4(V) 由于B 板和C 板的电势为零，所以U A = ΔU = 452.4(V)10－9 如习题10－9图所示，球形电容器的内、外半径分别为R 1和R 2，其间一半为真空，另一半充满相对介电常数为εr 的均匀电介质，求该电容器的电容。