行列式按行列展开定理
一、 余子式的定义：
在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M
二、 代数余子式：
在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)
i j +-，称作ij a 的代数
余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-
三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ij a 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积： ij ij D a A =⋅
四、 行列式按行（列）展开法则：
定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：
1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅
1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）
推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：
1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅
1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）
五、 克拉默法则：
如果含有n 个未知数的n 个线性方程组： 11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=
21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=
31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=
…………………………………
…………………………………
…………………………………
1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=
其系数行列式不等于0，即：1111......
......0...n
n nn
a a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：
11D x D =,22D x D =,…n N D x D
= 1111,1122,1
1,1............
.......
...j n
j j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=
① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。

② 定理4'：如果含n 个未知数的n 个线性方程组无解或
者有两个不同的解，则它的系数行列式必然为0 ③ 定理5：上述方程对应的齐次线性方程组：
11112210n n a x a x a x ++⋅⋅⋅+=
21122220n n a x a x a x ++⋅⋅⋅+=
31132230n n a x a x a x ++⋅⋅⋅+=
…………………………………
…………………………………
…………………………………
11220n n nn n a x a x a x ++⋅⋅⋅+=
120n x x x ==⋅⋅⋅==一定是它的解，这个解叫做齐次线性方程组的0解，如果是一组不全为0的数是齐次线性方程组的解，叫做齐次线性方程组的非0解，齐次线性方程组一定有0解，但是不一定有非0解。

定理5：如果齐次线性方程组有非0解，则它的系数行列式必然等于0
定理5'：如果齐次线性方程组的系数行列式等于0，则它一定没有非0解
六、 求解行列式的基本方法:
① 利用初等变换
② 利用性质
③特殊规律行列式解法。