第十二章 不等式选讲 第 69 讲 绝对值不等式
考纲要求 1.理解绝对值的几何意义， 并能利用 含绝对值不等式的几何意义证明以下不 等式：
(1) |a＋ b|≤ |a|＋ |b|. (2) |a－ b|≤ |a－ c|＋ |c－ b|.
2．会利用绝对值的几何意义求解以 下类型的不等式：
|ax＋b|≤ c， |ax＋b|≥ c， |x－ a|＋ |x－ b|≥c.
当－ 1<x<1 时，不等式化为
3x－ 2>0，解得
2 3< x<1；
当 x≥ 1 时，不等式化为－ x＋ 2>0 ，解得 1≤ x<2.
所以 f(x)>1 的解集为
2 x|3<x<2 .
x－1－ 2a，x<－ 1， (2)由题设可得 f(x)＝ 3x＋ 1－ 2a，－ 1≤ x≤a，
－ x＋ 1＋ 2a， x>a.
所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为
C(a， a＋ 1)，△ ABC
的面积为
2 3
(a
＋
1)
2.
由题设得
2 3
(a
＋
1)
2>6
，故
a>2.
1．解不等式
|x＋
3|－
|2x－
1|＜
x＋ 2
1.
解析 ①当 x＜－ 3 时，原不等式化为－ (x＋ 3)－ (1－ 2x)＜ x＋ 1，解得 x＜ 10，∴ x＜－ 3. 2
②当－ 3≤ x＜ 12时，原不等式化为 (x＋ 3)－ (1－ 2x) ＜2x＋ 1，
解得
x＜－
25，∴－
3≤ x＜－
2 5.
由 f(x) ≥6? x≤ － 1 或 x≥ 2. 所以不等式的解集是 (－ ∞ ，－ 1]∪ [2，＋ ∞ )．
(2)因为 |2x＋ 1|＋ |2x－ 3|≥ |(2x＋ 1)－ (2x－ 3)|＝ 4. 所以 f(x) min＝ 4＋ a，要使 f(x)≥ 3a2 对一切实数 x 恒成立，
只要
4＋ a≥ 3a2，解得－
解析 将原不等式转化为 |x－1|＋ |x＋ 2|－ 5≥0，
令 f(x) ＝|x－ 1|＋ |x＋ 2|－ 5， － 2x－ 6， x≤ － 2，
则 f(x) ＝ － 2，－ 2＜ x＜ 1， 2x－ 4， x≥1.
作出函数的图象，如图所示． 由图可知，当 x∈ (－ ∞ ，－ 3]∪ [2，＋ ∞ )时， y≥ 0，∴原不等式的解集为 (－ ∞ ，－ 3] ∪[2 ，＋ ∞ )．
解不等式 |2x－ 2|＋ 2≤ 6 得－ 1≤x≤ 3.
因此 f(x)≤ 6 的解集为 { x|－ 1≤ x≤ 3} .
(2)当 x∈ R 时， f(x)＋ g(x)＝ |2x－ a|＋ a＋ |1－2x|≥ |2x－ a＋ 1－ 2x|＋ a＝ |1－ a|＋ a， 当 x＝ 12时等号成立，所以当 x∈ R 时，
1．思维辨析 (在括内打“√”或打“×” )．
(1)对 |a＋ b|≥|a|－|b|当且仅当 a＞ b＞ 0 时等号成立． ( × )
(2)对 |a|－ |b|≤ |a－ b|当且仅当 |a|＞|b|时等号成立． ( × )
(3)对 |a－ b|≤|a|＋|b|当且仅当 ab≤ 0 时等号成立． ( √ ) (4)|ax＋ b|≤ c 的解等价于－ c≤ ax＋ b≤c.( √ ) (5)不等式 |x－ 1|＋ |x＋ 2|＜ 2 的解集为 ?.( √ )
∵－ 1≤ x≤ 1，
当 x＝ ±1，即 x2－ 1＝ 0 时， |f(x)|＝ |g(a)|＝1≤ 5； 4
当－ 1<x<1，即 x2－ 1<0 时， g(a)＝ ax2＋ x－a 是单调递减函数．
∵ |a|≤ 1，∴－ 1≤ a≤1，
∴ g(a)max＝ g(－ 1)＝－ x2＋x＋ 1＝－
1 x－2
定理 2：如果 a，b，c 是实数， 那么 |a－ b|≤ |a－ c|＋ |c－ b|，当且仅当 __(a－ c)(c－ b)≥ 0__
时，等号成立．
2． 含绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式 |x|＜a， |x|＞ a 的解集
不 等式
a＞0
a＝ 0
a＜ 0
|x|
＜a
__{ x|－ a＜ x＜ a}__
【例 3】 已知函数 f(x)＝ |2x＋ 1|＋ |2x－ 3|＋ a. (1)当 a＝ 0 时，解不等式 f( x)≥ 6； (2)若不等式 f(x)≥ 3a2 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围．
解析 (1) 当 a＝ 0 时，求得 f(x)＝
－ 4x＋ 2， x＜－ 1， 2
4，－ 12≤ x≤32， 4x－ 2， x＞32，
2．设 ab＜ 0， a， b∈ R，那么正确的是 ( C )
A ． |a＋ b|＞ |a－b|
B ． |a－ b|＜ |a|＋ |b|
C．|a＋ b|＜ |a－ b|
解析 由 ab＜ 0，得 a， b 异号，
D ． |a－ b|＜ ||a|－ |b||
易知 |a＋b|＜ |a－ b|， |a－b|＝ |a|＋ |b|， |a－ b|＞ ||a|－ |b||，
≤
2|x－
y－
1|＋
|2y＋
1|≤
2×
13＋
16＝
5 6<1.
4．已知函数 f(x) ＝|x＋ 1|－ 2|x－ a|，a>0.
(1)当 a＝ 1 时，求不等式 f( x)>1 的解集； (2)若 f (x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围． 解析 (1) 当 a＝ 1 时， f(x)>1 化为 |x＋ 1|－ 2|x－ 1|－ 1>0. 当 x≤ －1 时，不等式化为 x－ 4>0，无解；
考情分析 2017 ·全国卷Ⅰ，
23 2016 ·全国卷Ⅰ，
24 2016 ·全国卷Ⅲ，24 201来自 ·江苏卷，21(D)
命题趋势
解绝对值不等式是本 部分在高考中的重点考查 内容，其中以解含有两个 绝对值的不等式为主 .
分值： 5～ 10 分
1． 绝对值三角不等式
定理 1：如果 a， b 是实数，那么 |a＋b|≤ |a|＋ |b|，当且仅当 __ab≥ 0__时，等号成立．
当 x>1 时，①式化为
x2＋ x－ 4≤0，从而
－ 1＋ 1<x≤ 2
17 .
所以 f(x)≥ g(x)的解集为
－1＋ x|－ 1≤ x≤ 2
17 .
(2)当 x∈ [－ 1,1]时， g( x)＝2. 所以 f(x)≥ g(x)的解集包含 [ － 1,1] ，等价于当 x∈ [－ 1,1] 时， f (x)≥ 2. 又 f(x) 在[ － 1,1]的最小值必为 f(－ 1)与 f(1) 之一， 所以 f(－ 1)≥ 2 且 f (1)≥ 2，得－ 1≤ a≤ 1. 故 a 的取值范围是 [－ 1,1] ．
二 绝对值不等式的证明
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．
(2)利用三角不等式 ||a|－ |b||≤ |a±b |≤ |a|＋ |b|进行证明．
(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．
【例
2】
设 a∈R，函数
f( x)＝ ax2＋ x－a(－ 1≤ x≤ 1)，若 |a|≤ 1，求证：
2＋ 5； 4
g(a)min ＝ g(1) ＝ x2 ＋x－ 1＝
1 x＋ 2
2－
5 4
.
∴－
54≤
g(a) ≤54，∴
|f(x)|
＝
|g(
a)|≤
5 4.
三 绝对值不等式的综合应用
对于求 y＝ |x－ a|＋ |x－ b|或 y＝ |x＋ a|－ |x－ b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方 便．形如 y＝ |x－ a|＋ |x－ b|的函数只有最小值，形如 y＝ |x－ a|－ |x－ b|的函数既有最大值又有 最小值．
|f
(
x)|≤
5 .
4
证明 方法一 ∵－ 1≤ x≤1，∴ |x|≤ 1.
又∵ |a|≤1，∴ |f(x)|＝ |a(x2－ 1)＋ x|≤ |a(x2－ 1)|＋ |x|≤ |x2－ 1|＋ |x|＝ 1－ |x |2＋ |x|＝－
1 |x|－ 2
2
＋5≤ 4
5 4.
方法二
设 g(a)＝ f(x)＝ax2＋ x－ a＝ (x2－ 1)a＋ x.
4＋ 3
b≤
4
4≤ b＜ 7，
?
∴ 5＜b＜ 7.
5＜ b≤8，
一 绝对值不等式的解法
解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中
x 的系数为 1(或可化为 1)，可选用几何法或
图象法求解较为简单．若 x 的系数不全为 1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值
的取舍．
【例 1】 解不等式 |x－ 1|＋ |x＋ 2|≥ 5.
(1)解不等式 f(x)<|x|＋ 1； (2)若对于 x， y∈ R ，有 |x－ y－ 1|≤ 13， |2y＋ 1|≤ 16，求证： f(x)<1. 解析 (1) f( x)<|x|＋1? |x|－ |2x－ 1|＋ 1>0，
当 x<0 时，－ x＋ (2x－1) ＋1>0 ，得 x>0，∴无解；
当 0≤x≤ 1时， x＋(2 x－ 1)＋ 1>0，得 x>0，∴ 0<x≤ 1；
2
2
当 x>12时， x－ (2x－ 1)＋ 1>0，得
x<2，∴