分式的化简与求值知识定位分式的化简与求值是竞赛部分重要内容，要掌握分式运算的基本性质，会灵活对分式作恒等变形，能利用参数对复杂的分式进行化简与求值，另外整体法的应用也要掌握，本节对常见的题型与方法做讲解知识梳理分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值 给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值。

而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略。

解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标。

又要抓住条件，既要根据目标变换条件。

又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧：1、恰当引入参数；2、取倒数或利用倒数关系；3、拆项变形或拆分变形；4、整体代入；5、利用比例性质等。

例题精讲◆专题一：恰当引入参数 【试题来源】“希望杯”邀请赛试题【题目】若，则的值是 。

【答案】0或2- 【解析】设k add c c b b a ====则432ak a ,ak ck b ,ak dk c ,ak d ======则14=k 则1±=k ，当1=k 时，原式等于0；当1-=k 时，原式等于2-。

【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】若，求x ,y ,z（甘肃升中题）。

【答案】【解析】解：设k（k≠0）, 那么x=2k、y=3k、z=4k 代入x+y－z=,得：2k＋3k－4k=,解得：k=，所以:x=，y=，z=.评注：引入参数，把三个未知数转化为关于‘参数’的一元方程问题。

【知识点】分式的化简与求值【适用场合】当堂练习【难度系数】2◆专题二：取倒数或利用倒数关系【试题来源】【题目】若，，求的值1【答案】6【解析】解,,,,,(1)得:,故,则.【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】【题目】已知 ,求.【答案】31 【解析】解:由整理变形,转化为21=+xx ,分式.因此，本题正确答案是31.【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】 求证 无论ａ为什么整数，分式均不可约。

【答案】 见解析【解析】分析：对于某些非零代数式来说，如果从取倒数的角度来分析，有可能揭示出一些内在的特征，从而找到解题的突破口。

证明：设和的公因子为p 那么又由于所以公因子为1或-1，也就是说原式不可约。

【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题三：拆项变形或拆分变形【试题来源】【题目】若x 取整数，则使分式1236-+x x 的值为整数的x 的值有 个 【答案】 4 【解析】，根据题意，得，， ， ，得，，，，，，，，取整数，，，，．共个．故本题答案为：4．【知识点】分式的化简与求值【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】化简分式：【答案】【解析】分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】化简分式：【答案】【解析】分析： 三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明：本题在将每个分式的分母因式分解后，各个分式具有()()11+++n x n x 的一般形式，与分式运算的通分思想相反，可以将上式分成相减的两项，可以消去一些项，这种方法叫“裂项相消”是分式化简中常用技巧。

【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】化简计算(式中a ，b ，c 两两不相等)：【答案】0【解析】分析：本题的关键是搞清分式bcac ab a cb a +----22的变形，其他两项是类似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a -b)(a -c)，而分子又恰好凑成(a -b)+(a -c)，因此有下面的解法．解说明 本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用的变形技巧。

【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3◆专题四：整体代入 【试题来源】【题目】若3819-=x ，求分式1582318262234+-++--x x x x x x 的值。

【答案】5【解析】分析：直接将x 的原值代入原式求值，计算繁琐，可将3819-=x 适当变形，化简分式后计算求值。

(x -4)2=3，即x 2-8x+13＝0．原式分子=(x 4-8x 3+13x 2)+(2x 3-16x 2+26x)+(x 2-8x+13)+10 =x 2(x 2-8x+13)+2x(x 2-8x+13)+(x 2-8x+13)+10 =10，原式分母=(x 2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．【知识点】分式的化简与求值【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求【答案】【解析】分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有【知识点】分式的化简与求值【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】 已知0=++c b a ，求⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+c b a a c b b a c 111111的值． 【答案】-3 【解析】 解:,,,,=()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-c bc b a cc a b ab a 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++--=c a b a c b bc a 6=-3.【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知abc ＝1，求：的值【答案】1【解析】分析 本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a ，b ，c 都不为零．解法2 因为abc=1，所以a ≠0，b ≠0，c ≠0．【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】化简分式：【答案】【解析】原式中只出现了x x 1+和221x x +的形式，而且211222-⎪⎭⎫⎝⎛+=+x x x x ，因此用换元法。

【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题五：利用比例性质【试题来源】 【题目】若a cb a bc b a c c b a ++-=+-=-+，求()()()abcc b c a b a +++的值。

【答案】-1【解析】 解法1 利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以 a+b-c=c ，a-b+c=b ，-a+b+c=a ， 于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以(a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．【知识点】分式的化简与求值【适用场合】当堂例题【难度系数】3习题演练【试题来源】【题目】求分式当a=2时的值．【答案】【解析】分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．【知识点】分式的化简与求值【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】已知满足，则的值为（）（2007）（A）1. （B）. （C）. （D）.【答案】B【解析】解由得，所以，故选（B）.注：本题也可用特殊值法来判断.【知识点】分式的化简与求值【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】已知，，，则的值为（）（2011）A．1. B．. C．2. D．.【答案】C【解析】解：由已知等式得，，，所以．于是，，，．所以，，，即。

代入，得，解得．所以．【知识点】分式的化简与求值【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】已知实数 c b,a,满足1=++c b a ，1111=-++-++-+ba c a cbc b a ，则abc=____．（2014） 【答案】0【解析】由题意知，所以整理得，所以0.【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4【试题来源】【题目】已知y ,x 为整数，且满足，则y x +的可能的值有（ ）（2014）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：由已知等式得，显然均不为0，所以＝0或.若，则.又为整数，可求得或所以或.因此，的可能的值有3个.【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4【试题来源】【题目】已知，，则的值为（）（2011）A．1. B．. C．. D．.【答案】B【解析】解：由可得，即，即，即，所以【知识点】分式的化简与求值【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】已知实数满足，，，则＝．（2012）33【答案】2【解析】因为，所以.同理可得，.结合可得，所以.结合，，可得.因此，.实际上，满足条件的可以分别为.【知识点】分式的化简与求值【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】若是两个正数，且则（）（2010）A．. B．. C．. D．【答案】C【解析】解：由可得，则①由于是两个正数，所以，所以，从而另一方面，由可得，结合①式可得，所以因此，.【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4 【试题来源】【题目】已知互不相等的实数c ,b ,a 满足t ac c b b a =+=+=+111，则___ ．（2012）【答案】1±【解析】解：由t ba =+1得，代入得，整理得①又由可得，代入①式得，即，又，所以，所以.验证可知：时；时.因此，【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4【试题来源】【题目】已知，求的值【答案】3【解析】解:根据题意可得,,,,同理可得:;,.【知识点】分式的化简与求值【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知x、y、z满足，求代数式的值。