因式分解定义：把一个多项式在一个范围内化成几个最简整式乘积的的形式。

说明：
(1)因式分解是与整式乘法互逆的恒等变形。

(2)因式分解可以限定范用，有有理数范围内，实数范囤内，复数范围内。

(3)所有三次或三次以上的一元多项式在实数范用内都可以因式分解：所有二次或二次以
上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。

方法一、提取公因式法
若多项式的％项含有相同的因式，该因式为多项式的公因式，则可以直接提取公因式。

方法二、运用公式法
常用的公式有：平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式等。

方法三、分组分解法
若多项式的其中几项可以提取公因式或运用公式，则可适当的分组，使得分成的几组在分解之后能提取公因式或运用公式。

方法四、十字相乘法
形如ax1 +bx + c的二次多项式，如果有= pq = c ,且inq + np = b ,则有
说明：判别式△=庆一4血・2 0且△是一个完全平方数。

也就是方程ax2+bx + c有根。

图示为:
方法五、拆项、添项法
把多项式的某一项拆开成几项和的形式，也可以添加几项和为0的多项式，通过拆项和添项使原多项式可以利用公式或提取公因式。

(1)拆分含未知数的项，拆成的两部分分别和其余的项组合在一起，分别运用公式，在提
取公因式：
(2)拆分常数项，通过合理的拆分常数项，构造公式。

例题：分解因式»+兀+ 30
解：把30分成扌+3,再与其余项组合，有，
X'+X +3O=(X'+3')+(X+3)=(X+3)(F-3X+9)4-(X+3)=(X+3)(X2一3尤+10)。

类似的“疋+x + e ”的模型仃J?+;V +2, J?+X+9。

方法六.配方法
将一个多项式通过配方,添项减项处理，构造成完全平方式，剩下的部分再进行平方差公式。

说明：(1)为方便计算，可以先提取最髙次项系数，使最高次项系数为匕
对形如x 2 +bx + c 的二次三项式，有x 2 +bx + c = x 1 +bx+ —
⑵ (3) 对于齐次多项式x 2+hxy^cy 2,将其中之一当作常数处理。

(4) 对于形如x ^+bx n +c y x 2n +bx n y n '+cy 2fn 的髙次多项式，把F 看作是x (相当于是 换元)，按照上
而的方法处理即可。

2
(5) 对于形如x 3+ax 2+ — x + c 的三次多项式，先构造完全立方公式，在用立方和或立
3
2 2
x 3/,+av 2,,+ —Z+c,x 3/r +二0〉“ +c//r 的多项式，同上乜 例题：因式分解X 4+4
解：运用配方法：x 4 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4-4x 2 = (x 2 + 2)2 -(2x)2
=(工 +2x+2)(/ -2x+2)o
分析：解题思路为：先通过添项构造完全平方公式，再用平方差公式分解成两个因式相乘。

方法七、换元法
对于多项式的复杂部分通过换元，以简化汁算。

如+ e ”形式的多项式，先通过两两分组展开，再换元。

两两分组的原则，按照大 小顺序，最大和最小的一组，中间两项一组。

例题：(x+l)(x + 2)(x+3)(x+6) + ;^
解：原式= [(x+l)(x+6)][(x+2)(x+3)] + x 2 =(x 2 +7X +6)(F +5X + 6)+ F 令兀2 +5x+6 = t 贝ij
原式= /(/ + 2x) + x ，=x 2
+2tx + t~ =(x + r)" = (x 2 +6x + 6)
方法八、主元法
选泄一个字母为主元，然后把各项按这个字母降幕排列，再进行因式分解。

例题：分解因式：a 2
(b-c)+b 2
(c-a)+c 2
(a-h)
解：选泄d 为主元，则原式= (b-c 疋-(圧-心 +氏-加
(2) + c_ —
辽
方差公式，
r
a
3
+
( _
27丿
I 3丿
3 *>
X ： +OV +—X + C =
同理，对于髙次形如
= (b_c)[/ —(b+c)a+bc =(a-h)(b-c)(a—c)
方法九、待定系数法
首先判断出分解后因式的形式，然后设岀相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例题：分解因式x2+A>*-6y2+x + 13y-6
解：观察得知前三项可以因式分解为(x+3y)(x-2y)
设F +xy^-6y2 +x+13y-6 = (x+3y + a)(x-2y+/?)
展开后，对应各项的系数,得a = _2,b = 3.
方法十、因式定理法
余数左理：多项式/(X)被cix+b除，所得的余数为尺=/( —+ }
因式泄理：如果/(。

)= 0,那么多项式/(x)必左含有因式x-d：反之，如果/(x)含有因式x — a,那么/(x) = 0o(此泄理为余数左理的推论，即为/(打被因式x —a整除)
(1)求根法：/(x)的最高次项的系数为1,找出常数项的各个因子分别代入x,找出所有满足/(x) = 0的因子，也就是说这些因子都是方程/(x) = 0的根。

如果所有根为斗,心,…，暫，且根的数量“等于/(兀)的最髙次数，即表明方程没有重根，则因式分解结果为：
/(x) = (x-^)(x-x>)...(x-x n),
(2)待定系数法：/(工)的最高次项的系数不为1或者通过常数项因子的方法只能找到英中一部分根，若已知d为方程/(") = 0的一个根，则把兀-d作为其中一个因式，用待泄系数法求其余的因式。

例题：分解因式x3-A-2-4x + 4
解：常数项4 的因数为：±1,±2,±4, id/(x) = x3-x2-4x+4
则，/(1) = 0;/(-1) = 6;/(2) = 0;/(-2) = 0;/(4) = 36;/(^) = ^60
所以，原式的因式分解结果=(x-l)(x+2)(x-2)
例题：若3X 3+/?IY 2-5A + /I 恰好能被x+3整除，除以x + 1余数为4,求加/的值，并将 多项式因式分解。

m = S
料=_6 知x+3为多项式的
一个因式，用待泄系数
法，有
3x' +8x 2 -5x-6 = (x + 3)(d +bx+c^ = ax s +(3d+b)x‘ +(3b+c)x + 3c
得，a = 3；b = -i ；c = _2。

i^3x 3+8x 2-5A-6 = (x+3)(3x 2-x-2)= (x + 3)(3^ + 2)(x-l)
说明：待立系数得出的多项式，如果能因式分解，一左要将其因式分解。

方法十_、特数值法
如下的特数值法分解因式，只适应于最高次项系数为1的情况。

(1) 将2或10代入未知数，求岀数值，并将该结果数值分解质因数：
(2) 如果质因数的数量等于原式最髙次数，进行下一步，如果质因数的数量超过原式最
高次数，还要把有的质因数适当的合并，最后质因数的数量必须等于原式最髙次数。

(3) 将这些质因数写成2或10的和与差的形式，然后将2或20还原成未知数，初步写 成
各个因式。

(4) 把各个因式的常数项的积与原式常数项对比验算，数值相等，则这些因式的乘积就 是
原式的因式分解，否则就回到第二步。

例题：分解因式x 3+9x 2+23X + 15
解：令x = 2,则原式=105.把105分解质因数，即105 = 3x5x7,则
3 = 2 + 1;5 = 2 + 3;7 = 2 + 5,把2还原成未知数，初步得到如下因式：x+1, x+3, x+5,
验证常数项的积为15,与原式常数项值相等，故，原式因式分解的结果为：
X” +9x 2 +23x+15 = (x+l)(x+3)(x+5)。

题型分析：
一、“A B C D + E”模型的因式分解
A BCD 四连乘，两两组合，一般情况为AD -组，BC —组，适当展开，再寻求与E 之 间的关
系。

例题：因式分解(x+l)(x+2)(x+3)(x+6)+x 2 解:原式= [(x+l)(x+6) (x+2)(x+3)J =[(十 +6)+ 7x][(x 2 + 6)+ 5X ] + F ：
=(十 +6)~ +5A -(X 2 +6)+ 7X ・(F +6) + 35” +x 2
:
=(F +6)' +12x-(x 2 +6)+ 36X 2=(X 2 +6 + 6X )°。

若因式分解的范用扩充到实数范囤内，得(x + 3 —(x + 3 +JT)，0
解：记 f (x) = 3x 3
+IT1X 2
—5x + /?,贝卜
/(-3) = 0
/ 带入解得
+ X 2：
(x + 3-的)(x + 3 + >/J)。