2018-2019学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）函数y＝3sin（2x+）的最小正周期是（）A．πB．C．D．2．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2} 3．（5分）幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，），则α等于（）A．2B．﹣2C．D．﹣4．（5分）角α的终边经过点（3，﹣4），则cosα等于（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知平面向量，的夹角为，||＝2，||＝1，则等于（）A．1B．C．﹣1D．﹣6．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y＝x﹣2B．y＝﹣2x C．y＝log D．y＝lgx7．（5分）设sinα＝，α∈（，π），则tanα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣8．（5分）已知向量＝（1，﹣2），＝（1，1），＝﹣，＝+λ，如果⊥，那么实数λ＝（）A．4B．3C．2D．19．（5分）2002年北京国际数学家大会会标，是以中国古代数学家赵爽的弦图为基础而设计的，弦图用四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），若大、小正方形的面积分别为25和1，直角三角形中较大锐角为θ，则cos2θ等于（）A．B．﹣C．D．﹣10．（5分）将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到g （x）的图象．若g（x1）•g（x2）＝9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则|x1﹣x2|的最大值为（）A．πB．2πC．3πD．4π11．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝，AB＝3，AC＝5，＝，＝，＝，则•的值为（）A．B．C．﹣2D．﹣12．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝[f（f（x））]2﹣（a+1）•f（f（x））+a（a∈R）恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．[0，1]C．（0，+∞）D．[0，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）函数f（x）＝log3（x﹣2）的定义域为．14．（5分）（1）0+（）+log2等于．15．（5分）与是夹角为120°的单位向量，则|+2|等于．16．（5分）已知函数f（x）＝x|x|+4x+1，x∈R，若f（a）+f（a2﹣1）＜2，则实数a的取值范围．三、解答题：本题共6小题，共80分．17．（12分）设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x﹣m＜5}，B＝{x|＜2x＜4}．（1）当m＝﹣1时，求A∩（∁U B）．（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．18．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0．|φ|＜π）在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调增区间．19．（12分）知点A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ），O为坐标原点．（1）若∥，求的值；（2）若（+2）•＝1，求sinθ•cosθ的值．（3）若||＝||，求的值．20．（12分）如图，OPQ是半径为2．圆心角为的扇形，点A在上（异于点P，Q），过点A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C，记∠AOB＝θ，四边形ACOB的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．21．（16分）已知函数f（x）＝a﹣为奇函数．（1）求a的值；（2）试判断函数f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意的t∈R，不等式f[t2﹣（m﹣2）t]+f（t2﹣m+1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．22．（16分）若函数f（x）和g（x）满足：①在区间[a，b]上均有定义；②函数y＝f（x）﹣g（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上具有关系W．（1）若f（x）＝lnx，g（x）＝sin x，判断f（x）和g（x）在[]上是否具有关系W，并说明理由；（2）若f（x）＝2|x﹣2|和g（x）＝mx2﹣1在[1，4]上具有关系W，求实数m的取值范围．2018-2019学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．【解答】解：函数y＝3sin（2x+）的最小正周期是T＝＝π．故选：A．2．【解答】解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，∴A∩B＝{﹣1，0}，故选：A．3．【解答】解：幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，），∴2α＝，解得α＝﹣2．故选：B．4．【解答】解：∵角α的终边经过点（3，﹣4），则cosα＝＝，故选：C．5．【解答】解：由向量的数量积公式得：＝||||cosθ＝2×＝，故选：B．6．【解答】解：A中函数在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；B中函数在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；C中函数在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；D中函数y＝lgx在定义域（0，+∞）上单调递增；故D正确故选：D．7．【解答】解：sinα＝，∴cosα＝﹣，tanα＝＝﹣．故选：B．8．【解答】解：∵向量＝（1，﹣2），＝（1，1），＝﹣，＝+λ，∴＝（0，﹣3），＝（1+λ，﹣2+λ），∵⊥，∴＝0﹣3（﹣2+λ）＝0，解得λ＝2．故选：C．9．【解答】解：∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，∴大正方形边长为5，小正方形的边长为1．∴5sinθ﹣5cosθ＝1，∴sinθ﹣cosθ＝．∴两边平方得：1﹣sin2θ＝，∴sin2θ＝．∵θ是直角三角形中较小的锐角，∴＜θ＜．∴cos2θ＝﹣＝﹣．故选：B．10．【解答】解：将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到g（x）＝sin2（x+）+2＝sin（2x+）+2的图象，若g（x1）•g（x2）＝9，则g（x1）＝g（x2）＝3．∵x1，x2∈[﹣2π，2π]，∴2x+∈[﹣，]，∴2x1+＝+2kπ，2x2+＝+2nπ，k，n∈Z．故当2x1+＝﹣，2x2+＝时，|x1﹣x2|取得最大值为3π，故选：C．11．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则有A（0，0），B（0，3），C（5，0），由＝，＝，＝，可得：F（0，），E（3，0），D（，），所以＝（，﹣），＝（，），所以•＝﹣×+＝﹣，故选：D．12．【解答】解：由g（x）＝[f（f（x））]2﹣（a+1）•f（f（x））+a＝0得[f（f（x））﹣1][f（f （x）﹣a]＝0，则f（f（x））＝1或f（f（x））＝a，作出f（x）的图象如图，则若f（x）＝1，则x＝0或x＝2，设t＝f（x），由f（f（x））＝1得f（t）＝1，此时t＝0或t＝2，当t＝0时，f（x）＝t＝0，有两个根，当t＝2时，f（x）＝t＝2，有1个根，则必须有f（f（x））＝a，（a≠1）有5个根，设t＝f（x），由f（f（x））＝a得f（t）＝a，若a＝0，由f（t）＝a＝0得t＝﹣1，或t＝1，f（x）＝﹣1有一个根，f（﹣x）＝1有两个根，此时有3个根，不满足条件．若a＞1，由f（t）＝a得t＞2，f（x）＝t有一个根，不满足条件．若a＜0，由f（t）＝a得﹣2＜t＜﹣1，f（x）＝t有一个根，不满足条件．若0＜a＜1，由f（t）＝a得﹣1＜t1＜0，或0＜t2＜1或，0＜t2＜1，当﹣1＜t1＜0时，f（x）＝t1，有一个根，当0＜t2＜1时，f（x）＝t2，有3个根，当1＜t3＜2时，f（x）＝t3，有一个根，此时有1+3+1＝5个根，满足条件．故0＜a＜1，即实数a的取值范围是（0，1），故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．【解答】解：要使f（x）＝log3（x﹣2）有意义，则：x﹣2＞0；∴x＞2；∴f（x）的定义域为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．14．【解答】解：原式＝．故答案为：3．15．【解答】解：＝1×1×cos120°＝﹣，∴（+2）2＝+4+4＝1﹣2+4＝3．∴|+2|＝．故答案为：．16．【解答】解：设g（x）＝x|x|+4x，x∈R，则g（x）＝，又g（﹣x）＝（﹣x）|﹣x|+4（﹣x）＝﹣（x|x|+4x）＝﹣g（x），∴g（x）为R上的奇函数，且为增函数；由f（x）＝g（x）+1，∴不等式f（a）+f（a2﹣1）＜2可化为g（a）+g（a2﹣1）＜0，即g（a2﹣1）＜﹣g（a），∴g（a2﹣1）＜g（﹣a），∴a2﹣1＜﹣a，a2+a﹣1＜0，解得＜a＜．∴a的取值范围是（，）．故答案为：（，）．三、解答题：本题共6小题，共80分．17．【解答】解：（1）当m＝﹣1时，可得：A＝{x|﹣2＜x＜4}，又B＝{x|2﹣1＜2x＜22}＝{x|﹣1＜x＜2}，所以∁U B＝，所以A∩（∁U B）＝．（2）由A∪B＝A，则B⊆A，又A＝{x|m﹣1＜x＜m+5}，则有，解得：﹣3≤m≤0，18．【解答】解：（1）从图象中可以得出，A＝2，周期为，从而可得T＝π，，得ω＝2，故f（x）＝2sin（2x+φ），………（2分）代入点，，由|φ|＜π，得，或，……（4分）由f（0）＝1，得，又由|φ|＜π，得，或，综上，得，从而．………………………（6分）（2）令，得：，…（10分）所以函数的单调增区间为．……………………………（12分）19．【解答】解：（1），因为，有（﹣1）cosθ﹣1×2sinθ＝0，得cosθ＝﹣2sinθ，则，（2），由，得2sinθ+2cosθ＝1，即，所以，所以，所以，（3）由，可得化简得：cosθ＝2sinθ，从而，可得：，，即＝，20．【解答】解：（1）因为AB⊥OP，所以在Rt△OAB中，AB＝OA sinθ＝2sinθ，OB＝OA cosθ＝2cosθ，，…………………………（2分）因为，所以；同理：；……………（4分）从而S关于θ的解析式为S＝S△ABO+S△ACO＝sin2θ+sin（﹣2θ），（0＜θ＜）；…（6分）（不写定义域扣1分）（2）化简函数＝＝＝＝＝，………………………………………（10分）因为，所以，故当，即时S有最大值，最大值为．答：当θ为时，面积S有最大值，最大值为．……………………（12分）21．【解答】解：（1）由于函数f（x）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x）；∴a﹣＝﹣a+；∴2a＝；∴a＝1．（2）任意x1，x2∈R，且x1＜x2；f（x1）﹣f（x2）＝1﹣﹣1+；＝＜0；∵x1＜x2∴0＜＜∴＞0，所以，f（x1）＜f（x2）；则f（x）为R上的单调递增函数．（3）因为f（x）＝1﹣为奇函数，且在R上为增函数；所以由f（t2﹣（m﹣2）t）+f（t2﹣m+1）＞0恒成立，得到：t2﹣（m﹣2）t＞m﹣1﹣t2对t∈R恒成立；化简后：2t2﹣（m﹣2）t﹣m+1＞0；所以△＝（m﹣2）2+8（m﹣1）＜0；∴﹣2﹣2＜m＜﹣2+2；故m的取值范围为：（﹣2﹣2，﹣2+2）．22．【解答】解：（1）函数f（x）和g（x）在[1，3]上具有关系W．理由如下：令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx﹣sin x，因为，……（2分）………………………………（4分）所以．又函数F（x）的图象在[1，3]上不间断，根据零点存在定理知，函数F（x）在[1，3]上至少有一个零点，所以函数f（x）和g（x）在[1，3]上具有关系W．……………………………………（6分）（2）令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝﹣mx2+2|x﹣2|+1，①当m≤0时F（x）＞0恒成立，所以F（x）＝f（x）﹣g（x）在[1，4]上不存在零点；…………………………………（8分）②当m＞0时，当x∈[1，2]，二次函数的对称轴为，且开口向下，二次函数在x∈[1，2]为减函数，要使函数在[1，2]上有零点，则解得．……………………………………………………………………（12分）若函数在[1，2]上没有零点，则，当x∈（2，4]时，函数F（x）＝﹣mx2+2x﹣3的对称轴，开口向下．若，则，函数F（x）在（2，4]上是增函数，又F（2）＝﹣4m+1＞0所以函数F（x）在（2，4]恒为正，则函数F（x）在（2，4]上无零点．…………………（14分）若，则函数F（x）在（2，4]上为减函数．此时F（2）＝﹣4m+1＜﹣11＜0，所以函数F（x）在（2，4]上恒为负，所以函数F（x）在（2，4]上无零点．综上，函数f（x）和g（x）在[1，4]上具有关系W，则………………（16分）。