平面直角坐标系，二元一次方程一．选择题（共6小题）1．若点P位于x轴上方，位于y轴的左边，且距x轴的距离为2个单位长度，距y轴的距离为3个单位长度，则点P的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（2，3） C．（3，﹣2）D．（﹣3，2）2．已知点A（3，﹣2）、B（1，﹣2），则直线AB（）A．与x轴垂直B．与x轴平行C．与y轴重合D．与x、y轴相交3．如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b 的值为（）A．2 B．3 C．4 D．54．一个两位数，交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来两位数的倍，则这样的两位数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．若方程组的解为，则被“☆”、“□”遮住的两个数分别是（）A．10，3 B．3，10 C．4，10 D．10，46．由方程组可得到x与y的关系式是（）A．x+y=7 B．x+y=3 C．x﹣y=﹣7 D．x﹣y=﹣3二．填空题（共6小题）7．P的坐标是（﹣2，a2+1），则点P一定在第______象限．8．如图，在一次军棋比赛中，若团长所在的位置坐标为（1，﹣4），工兵所在的位置坐标为（0，﹣1），则司令所在的位置坐标是_______．9．若线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，4）的对应点C（2，6），则点B（﹣3，1）的对应点D的坐标是__________．10．若（a﹣3）x+y|a|﹣2=1是关于x、y的二元一次方程，则a的值是__________．11．方程组中，则x+y=__________，10x﹣y=__________．12．如图，周长为68cm的长方形ABCD被分成7个相同的小长方形，则长方形ABCD的面积是__________．三．解答题（共11小题）13．在平面直角坐标系中，有点A（﹣2，a+3），B（b，b﹣3）．（1）当点A在第二象限的角平分线上时，求a的值；（2）当点B到x轴的距离是它到y轴的距离2倍时，求点B所在的象限位置．14．已知点A（﹣1，2）、B（3，2）、C（1，﹣2）．（1）求证：AB∥x轴；（2）求△ABC的面积；（3）若在y轴上有一点P，使S△ABP =S△ABC，求点P的坐标．15．在平面直角坐标系中，有点A（1，2a+1），B（﹣a，a﹣3）．（1）当点A在第一象限的角平分线上时，求a的值；（2）当点B在x轴的距离是到y轴的距离2倍时，求点B所在的象限位置；（3）若线段AB∥x轴，求三角形AOB的面积．16．如图，若用A（2，1）表示放置2个胡萝卜，1棵小白菜；点B（4，2）表示放置4个胡萝卜，2棵小白菜：（1）请你写出C、E所表示的意义．（2）若一只兔子从A顺着方格线向上或向右移动到达B，试问有几条路径可供选择，其中走哪条路径吃到的胡萝卜最多？走哪条路径吃到的小白菜最多？请你通过计算的方式说明．17．如图所示，△ABC在平面直角坐标系中，△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，将△ABC向右平移m个单位得到△A2B2C2，已知A（﹣3，4），B（﹣6，0），C（﹣2，0）．（1）在备用图1中画出△A1B1C1；（2）m为何值时，点A1与A2重合？并说明B2C1=B1C2；（3）m为何值时，△A1B1C1与△A2B2C2一边重合？若A1B1与A2B2并交于P点，请证明PA1=PA2；（4）m为何值时，B2、C2的横坐标是某正数的两个不同的平方根？18．（1）用代入法解方程组（2）用加减法解方程组．19．．20．食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？21．蔬菜零售业主小李在批发市场上了解到以下信息内容：他共用110元钱从批发市场上批发了辣椒和西红柿两种蔬菜共45千克，然后他到菜市场以建议零售价去卖，当天卖完，请你帮小李算一算他能赚多少钱？辣椒黄瓜西红柿茄子批发价（元•千克） 3.5 1.2 1.60.9建议零售价（元•千克）5 1.4 2.5 1.322．今年“五•一”黄金周期间，河池市某旅行社接待一日游和三日游的旅客共1600人，收取旅游费129万元，其中一日游每人收费150元，三日游每人收费1200元．该旅行社接待的一日游和三日游旅客各多少人？23．琪琪、倩倩、斌斌三位同学去商店买文具用品．琪琪说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元．”倩倩说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元．”斌斌说：“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格．平面直角坐标系，二元一次方程参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．若点P位于x轴上方，位于y轴的左边，且距x轴的距离为2个单位长度，距y轴的距离为3个单位长度，则点P的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（2，3） C．（3，﹣2）D．（﹣3，2）【分析】根据x轴的上方，y轴的左边，可得第二象限，根据到x的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案．【解答】解：由点P位于x轴上方，位于y轴的左边，得点位于第二象限，由距x轴的距离为2个单位长度，距y轴的距离为3个单位长度，得点的坐标为（﹣3，2），故选：D．【点评】本题考查了点的坐标，利用到x的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题关键．2．已知点A（3，﹣2）、B（1，﹣2），则直线AB（）A．与x轴垂直B．与x轴平行C．与y轴重合D．与x、y轴相交【分析】由点A、B到x轴的距离相等可求得答案．【解答】解：∵A（2，﹣2）、B（﹣1，﹣2），∴A、B两点到x轴的距离相等且在x轴的下方，∴AB∥x轴，故选：B．【点评】题主要考查坐标与图形的性质，掌握点的坐标到坐标轴的距离是解题的关键．3．如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，所以点A、B均按此规律平移，由此可得a=0+1=1，b=0+1=1，故a+b=2．故选：A．【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．4．一个两位数，交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来两位数的倍，则这样的两位数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】设个位数为x，十位数为y，则这个两位数为10y+x，个位十位交换后两位数表示为10x+y，根据所得的数比原来的数大9列出方程，再根据未知数的取值确定符合质数的个数即可．【解答】解：设原两位数的个位数为x，十位数为y（x，y为自然数），原两伴数为10y+x，新两位数为10x+y，根据题意得：10x+y=（10y+x），化简得：x=2y，因为x，y为1﹣9内的自然数，故12、24、36、48，共4个．故选：D．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意不要漏解．5．若方程组的解为，则被“☆”、“□”遮住的两个数分别是（）A．10，3 B．3，10 C．4，10 D．10，4【分析】把x=6代入方程组中第二个方程求出y的值，确定出所求两个数即可．【解答】解：把x=6代入2x+y=16得：y=4，把x=6，y=4代入得：x+y=6+4=10，则被“☆”、“□”遮住的两个数分别是10，4，故选：D．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．6．由方程组可得到x与y的关系式是（）A．x+y=7 B．x+y=3 C．x﹣y=﹣7 D．x﹣y=﹣3【分析】方程组消去m即可得到x与y的关系式．【解答】解：，把②代入①得：x+y﹣2=5，整理得：x+y=7，故选：A．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．二．填空题（共6小题）7．P的坐标是（﹣2，a2+1），则点P一定在第二象限．【分析】根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案．【解答】解：﹣2＜0，a2+1＞1，的坐标是（﹣2，a2+1），则点P一定在第二象限，故答案为：二．【点评】本题考查了点的坐标，第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零．8．如图，在一次军棋比赛中，若团长所在的位置坐标为（1，﹣4），工兵所在的位置坐标为（0，﹣1），则司令所在的位置坐标是（3，﹣1）．【分析】根据工兵所在的位置坐标得出原点的位置，进而得出答案．【解答】解：根据题意可建立如图所示的平面直角坐标系：则司令所在的位置坐标是（3，﹣1），故答案为：（3，﹣1）．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．9．若线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，4）的对应点C（2，6），则点B（﹣3，1）的对应点D的坐标是（0，3）．【分析】直接利用平移的性质得出平移规律进而得出答案．【解答】解：如图所示：（0，3）即为所求．故答案为：（0，3）．【点评】此题主要考查了平移变换，正确得出平移规律是解题关键．10．若（a﹣3）x+y|a|﹣2=1是关于x、y的二元一次方程，则a的值是﹣3．【分析】依据二元一次方程的定义可得到a﹣3≠0，|a|﹣2=1，从而可确定出a 的值．【解答】解：∵（a﹣3）x+y|a|﹣2=1是关于x、y的二元一次方程，∴a﹣3≠0，|a|﹣2=1．解得：a=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．11．方程组中，则x+y=202，10x﹣y=3210．【分析】用方程②减去方程①可得到22x+22y=4444，然后可解得x+y=202，最后用②﹣①×2可求得10x﹣y的值．【解答】解：②﹣①得；22x+22y=4444，∴22（x+y）=4444．∴x+y=202．②﹣①×2得：10x﹣y=3210．故答案为：202，3210．【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的解法，利用加减消元法整体求解是解题的关键．12．如图，周长为68cm的长方形ABCD被分成7个相同的小长方形，则长方形ABCD的面积是280cm2．【分析】设小长方形的长和宽分别为x、ycm，根据周长为68cm可以列出方程4x+7y=68，根据图中信息可以列出方程2x=5y，联立两个方程组成方程组，解方程组即可求出结果．【解答】解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，则可列方程组，解得：，则长方形ABCD的面积=2x×（x+y）=2×10×（10+4）=280cm2．故答案为：280cm2．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组，弄清小长方形的长、宽与大长方形ABCD 长、宽的关系．三．解答题（共11小题）13．在平面直角坐标系中，有点A（﹣2，a+3），B（b，b﹣3）．（1）当点A在第二象限的角平分线上时，求a的值；（2）当点B到x轴的距离是它到y轴的距离2倍时，求点B所在的象限位置．【分析】（1）根据第二象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数列方程求解即可；（2）根据题意列出绝对值方程，求出b的值，再求出点B的坐标，然后根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：（1）由题意，得a+3=2，解得a=﹣1；（2）由题意，得|b﹣3|=2|b|，解得b=﹣3或b=1，当b=﹣3时，点B（﹣3，﹣6）在第三象限，当b=1时，点B（1，﹣2）在第四象限．【点评】本题考查了点的坐标，主要利用了第二象限角平分线上点的坐标特征以及点到坐标轴的距离的表示．14．已知点A（﹣1，2）、B（3，2）、C（1，﹣2）．（1）求证：AB∥x轴；（2）求△ABC的面积；（3）若在y轴上有一点P，使S△ABP =S△ABC，求点P的坐标．【分析】（1）由A、B的纵坐标直接证得；（2）作CD⊥AB，根据题意求得AB和CD的长，然后根据三角形面积公式即可求得；（3）设AB与y轴交于E点，则E（0，2），根据S△ABP =S△ABC，即可求得PE，进而求得P的坐标．【解答】（1）证明：∵A（﹣1，2）、B（3，2），∴A、B的纵坐标相同，∴AB∥x轴；（2）解：如图，作CD⊥AB，∵A（﹣1，2）、B（3，2）、C（1，﹣2）．∴AB=1+3=4，CD=2+2=4，∴△ABC的面积==×4×4=8；（3）解：设AB与y轴交于E点，则E（0，2），∵S△ABP =S△ABC，∴PE=CD=2，∴P（0，4）或（0，0）．【点评】本题考查了坐标和图形的性质，平行线的判定，三角形面积等，利用数形结合是解题关键．15．在平面直角坐标系中，有点A（1，2a+1），B（﹣a，a﹣3）．（1）当点A在第一象限的角平分线上时，求a的值；（2）当点B在x轴的距离是到y轴的距离2倍时，求点B所在的象限位置；（3）若线段AB∥x轴，求三角形AOB的面积．【分析】（1）根据在第一象限的角平分线上时横纵坐标相等求得a值即可；（2）根据题意得到|a﹣3|=2|﹣a|，求得a值后即可确定点B的坐标；（3）根据线段AB∥x轴求得a的值后即可确定点A和点B的坐标，从而求得线段AB的长，利用三角形的面积公式求得三角形的面积即可．【解答】解：（1）由题意，得2a+1=1，解得a=0．（2）由题意，得|a﹣3|=2|﹣a|，解得a=﹣3或a=1．当a=﹣3时，点B（3，﹣6）在第四象限．当a=1时，点B（﹣1，﹣2）在第三象限．（3）∵AB∥x轴，∴2a+1=a﹣3．解得a=﹣4．∴A（1，﹣7），B（4，﹣7）．∴AB=3．过点O作OC⊥AB交BA的延长线于点C，则OC=7．∴△ABC的面积为：AB•OC=×3×7=10.5．【点评】本题目考查了点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，各个象限的点的特征，第一、三象限的角平分线上的点的特征．16．如图，若用A（2，1）表示放置2个胡萝卜，1棵小白菜；点B（4，2）表示放置4个胡萝卜，2棵小白菜：（1）请你写出C、E所表示的意义．（2）若一只兔子从A顺着方格线向上或向右移动到达B，试问有几条路径可供选择，其中走哪条路径吃到的胡萝卜最多？走哪条路径吃到的小白菜最多？请你通过计算的方式说明．【分析】（1）从题干可知，数对中的两个数，前一个表示放置胡萝卜的数量，后一个数表示放置白菜的数量，据此即可写出C、E所表示的意义；（2）观察图形即可得出路径的条数；先求出走每条路径所吃到的胡萝卜与白菜的数量，再比较即可．【解答】解：（1）点D表示放置2个胡萝卜，2棵小白菜，点E表示放置3个胡萝卜，1棵小白菜，（2）从A到达B，共有3条路径可供选择，其中路径①A吃到11个胡萝卜，7棵小白菜，路径A吃到12个胡萝卜，6棵小白菜，路径③A吃到13个胡萝卜，5棵小白菜，∴走路径③A吃到胡萝卜最多，走路径①A吃到小白菜最多．【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣平移，由已知条件正确确定数对所表示的实际意义是解决本题的关键．17．如图所示，△ABC在平面直角坐标系中，△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，将△ABC向右平移m个单位得到△A2B2C2，已知A（﹣3，4），B（﹣6，0），C（﹣2，0）．（1）在备用图1中画出△A1B1C1；（2）m为何值时，点A1与A2重合？并说明B2C1=B1C2；（3）m为何值时，△A1B1C1与△A2B2C2一边重合？若A1B1与A2B2并交于P点，请证明PA1=PA2；（4）m为何值时，B2、C2的横坐标是某正数的两个不同的平方根？【分析】（1）让各点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得到A1，B1，C1的坐标，顺从连接即可；（2）让点A1的横坐标减去点A的横坐标即可求得m的值；（3）让点B1的横坐标减去点B的横坐标即可求得m的值；可证得PA1和PA2所在的三角形全等，那么可求得两边相等；（4）B2C2之间相隔4，要想为一个正数的两个平方根，那么B2的横坐标应为﹣2，减去B的横坐标即为m的值．【解答】解：（1）画图如下图：（2）当点A1与点A2重合时，A2（3，4）∵A2（﹣3+m，4）∴m=6（4分）由B2C2=B1C1∴B2C1=B1C2（5分）（3）如右图，当m=8时，△A1B1C1与△A2B2C2一边重合，则B2C2与B1C1重合；（6分）∵△A1B1C1≌△A2B2C2在△A1C1P和△A2C2P中∴△A1C1P≌△A2C2P∴PA1=PA2；（9分）（4）当m=4时，B2、C2的横坐标是正数4的两个不同的平方根．（10分）∵B2（﹣6+m），C2（﹣2+m）∴（﹣6+m）+（﹣2+m）=0∴m=4（12分）．【点评】用到的知识点为：图形的平移要归结为对应点的平移；两个点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．18．（1）用代入法解方程组（2）用加减法解方程组．【分析】（1）应用代入法，求出方程组的解是多少即可．（2）应用加减法，求出方程组的解是多少即可．【解答】解：（1）由①，可得：x=2y﹣1③，把③代入②，解得y=1，∴x=2×1﹣1=1，∴原方程组的解是．（2）①+②，可得：4x=12，解得x=3，把x=3代入①，解得y=﹣1，∴原方程组的解是．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组问题，要熟练掌握，注意代入法和加减法的应用．19．．【分析】①+②能求出x的值，把x的值代入②得到一元一次方程，求出方程的解y即可【解答】解：，①+②得：7x=7，∴x=1，把x=1代入①得：2+3y=5，解得：y=1，∴方程组的解是．【点评】本题主要考查对解一元一次方程，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．20．食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？【分析】本题需先根据题意设出未知数，再根据题目中的等量关系列出方程组，求出结果即可．【解答】解：设A饮料生产了x瓶，B饮料生产了y瓶，由题意得：，解得：，答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，在解题时要能根据题意得出等量关系，列出方程组是本题的关键．21．蔬菜零售业主小李在批发市场上了解到以下信息内容：他共用110元钱从批发市场上批发了辣椒和西红柿两种蔬菜共45千克，然后他到菜市场以建议零售价去卖，当天卖完，请你帮小李算一算他能赚多少钱？辣椒黄瓜西红柿茄子批发价（元•千克） 3.5 1.2 1.60.9建议零售价（元•千克）5 1.4 2.5 1.3【分析】根据题意可知本题的等量关系有：西红柿的重量+辣椒的重量=45；1.6×西红柿的重量+3.5×辣椒的重量=110．根据这两个等量关系，可列出方程组．【解答】解：设小李在市场上批发了红辣椒x千克，西红柿y千克．（1分）根据题意得，（3分）解这个方程组得：，（6分）20×5+25×2.5﹣110=52.5（元）（8分）答：他卖完这些西红柿和红辣椒能赚52.5元．（9分）【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要弄清题意，找出等量关系，列出方程组．要注意题目给出的表格中的数据，要求小李卖完辣椒和西红柿所赚的钱，就要先求出辣椒和西红柿的重量，再求赚的钱．利润=卖价﹣进价．题目需要用到的数据只是红辣椒和西红柿那两列数据，其他都没有关系．要注意分清哪些数据是对解题有用，哪些没用．22．今年“五•一”黄金周期间，河池市某旅行社接待一日游和三日游的旅客共1600人，收取旅游费129万元，其中一日游每人收费150元，三日游每人收费1200元．该旅行社接待的一日游和三日游旅客各多少人？【分析】用二元一次方程组解决问题的关键是找到2个合适的等量关系．本题有包含两个等量关系：一日游旅客人数+三日游旅客人数=1600；一日游收入+三日游的收入=1290000，根据这两个等量关系可列出方程组．【解答】解：设接待1日游旅客x人，接待3日游旅客y，根据题意得解这个方程组得答：该旅行社接待1日游旅客600人，接待3日游旅客1000人．【点评】解题关键是弄清题意，合适的等量关系，一日游旅客人数+三日游旅客人数=1600；一日游收入+三日游的收入=1290000，列出方程组．本题还需注意细节问题；万元和元应统一单位．23．琪琪、倩倩、斌斌三位同学去商店买文具用品．琪琪说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元．”倩倩说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元．”斌斌说：“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格．【分析】设笔记本每本的价格是x元，水笔每支y元，练习本或作文本每本的价格为z元，根据条件可以建立三个方程，从而构成三元一次方程组，求出其解即可．【解答】解：设笔记本每本的价格是x元，水笔每支y元，练习本或作文本每本的价格为z元，由题意，得，解得：．答：笔记本每本的价格是4元，水笔每支1.5元，练习本0.5元．【点评】本题考查了列三元一次方程组解实际问题的运用，三元一次方程组的解法的运用，解答时找准等量关系建立方程是关键．。