《基本不等式》一轮复习导学案2107.12【教学目标】Ⅰ.了解基本不等式的证明过程． Ⅱ.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【知识梳理】一、基本不等式：a ＋b2≤ab 1．基本不等式成立的条件：___________.2．等号成立的条件：当且仅当________时取等号． 3．其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的____________.二、基本不等式的变形1．a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．当且仅当a ＝b 时取等号． 2．ab ≤________ (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．a ＋1a ≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时取等号； a ＋1a ≤______ (a <0)，当且仅当a ＝－1时取等号． 4.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 三、利用基本不等式求最值 已知x ＞0，y ＞0，则1．如果积xy (积为定值)是定值p ，那么当且仅当______时，x ＋y 有最_____值是2p .(简记：积定和最小)2．如果和x ＋y (和为定值)是定值s ，那么当且仅当______时，积xy 有最____值是s 24.(简记：和定积最大) 一．基础练习1．函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．考向一 利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________．(2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． （4）若x>0,y>0且x+2y+2xy=8,则x+2y 最小值为（5）设x>0,y>0,z>0，且x-2y+3z=0,则2y xz的最小值为（6）若x,y 满足2241x y xy ++=，则2x+y 最小值为 （7）已知：a>b>c>0,则221121025(a b)a ac c ab a ++-+-最小值为 考向二 利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .【训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：1a＋1b＋1c≥9.考向三利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．【训练3】（1）已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．（2）若正数x,y满足x+y=1,且14ax y+≥恒成立，则正数a的最小值为（3）若正数x,y满足x+y=a, 且114x y+≥恒成立，则正数a的最大值为考向四利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？课后巩固练习1.(2016·四川资阳诊断)已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为()A.5＋22B.82C.5D.92.(2016·辽宁师大附中模拟)函数y＝log a(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则1m＋2n的最小值为()A.2B.4C.8D.163.(2015·北京海淀二模)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A.(-∞，-1)B.(-∞，22-1)C.(-1，22-1)D.(-22-1，22-1)4.(2016·山东泰安模拟)若直线l：xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________.参考答案1.D ．(2，＋∞) 答案 C2．解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B 3．解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.答案 A 4．解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x＝3，即a ＝3.答案 C5．解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案 －2【例1】解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号． (2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号． 答案 (1)3＋22 (2)1【训练1】．解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ， 即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2×4y x ·xy ＝18，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6， ∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15 (3)18【例2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋cab ≥2 bc a ·ca b ＝2c ；bc a ＋abc ≥2bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c ≥2ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 【训练2】证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋cb ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10.答案 10例3．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5800(0＜x ≤5)，则y ＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)，当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低． 【试一试】尝试解答 a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2a (a －b )·1a (a －b )＋2ab ·1ab ＝2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立．答案 D课后巩固练习1.D [∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab ，∴a ＝bb －2＞0，解得b ＞2.则a ＋2b ＝b b －2＋2b ＝1＋2b －2＋2(b －2)＋4≥5＋22b －2·2（b －2）＝9，当且仅当b ＝3，a ＝3时取等号，其最小值为9.]2.C [∵x ＝－2时，y ＝log a 1－1＝－1，∴函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A (－2，－1)， ∵点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1， ∵m >0，n >0，1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n ＋2≥4＋2·n m ·4mn ＝8，当且仅当m ＝14，n ＝12时取等号.故选C.]3.B [由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1.]4.3＋22[直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b .求直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值即求a ＋b 的最小值.由直线l 经过点(1，2)得1a ＋2b＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )×1＝(a ＋b )×⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b， 因为b a ＋2ab ≥2b a ×2ab＝22⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝2a b 时取等号.所以a ＋b ≥3＋2 2.]。