解析几何解答题1、椭圆G ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25（1）求此时椭圆G 的方程；（2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于过点P （0，33）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由．解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心 …………………1分 故该椭圆中,22c b a ==即椭圆方程可为22222b y x =+ ………3分设H （x,y ）为椭圆上一点，则b y b b y y x HN ≤≤-+++-=-+=其中,182)3()3(||22222…………… 4分若30<<b ，则2||,HN b y 时-=有最大值962++b b…………………5分由25350962±-==++b b b 得（舍去）(或b 2+3b+9<27,故无解)…………… 6分若182||,3,322+-=≥b HN y b 有最大值时当…………………7分由165018222==+b b 得∴所求椭圆方程为1163222=+y x ………………… 8分 （1） 设),(),,(),,(002211y x Q y x F y x E ，则由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+116321163222222121y x y x 两式相减得0200=+ky x ……③又直线PQ ⊥直线m ∴直线PQ 方程为331+=x k y 将点Q （00,y x ）代入上式得，33100+-=x k y ……④…………………11分 由③④得Q （33,332-k ）…………………12分而Q 点必在椭圆内部116322020<+∴y x ， 由此得29400294,0,2472<<<<-∴≠<k k k k 或又,故当 )294,0()0,294(⋃-∈k 时，E 、F 两点关于点P 、Q 的直线对称 14分2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆221x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y .（Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值；（Ⅱ）记直线11PA 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ⋅是定值吗？证明你的结论.解：（Ⅰ）l 与圆相切,1∴=221m k ∴=+ ……①由221y kx m x y =+⎧⎨-=⎩ , 得 222(1)2(1)0k x mkx m ---+=, 222222221221044(1)(1)4(1)80101k m k k m m k m x x k ⎧⎪-≠⎪⎪∴∆=+-+=+-=>⎨⎪+⎪⋅=<⎪-⎩, 21,k ∴<11k ∴-<<,故k 的取值范围为(1,1)-.由于122221mk x x x x k +=∴-===-， 201k ≤<∴当20k =时，21x x -取最小值. 6分（Ⅱ）由已知可得12,A A 的坐标分别为(1,0),(1,0)-，121212,11y y k k x x ∴==+-， 121212(1)(1)y y k k x x ∴⋅=+-1212()()(1)(1)kx m kx m x x ++=+- 2212121221()()1k x x mk x x m x x x x +++=+--2222212m mkk mk m +⋅-⋅+=22222222=22=， 由①，得 221m k -=，12(3k k ∴⋅==-+为定值. 12分3、已知抛物线2:C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线C 的方程。

（2）证明：点F 在直线BD 上；（3）设89FA FB ∙=，求BDK ∆的面积。

．解：（1） 24y x = 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，11(,)D x y -，l 的方程为1(0)x my m =-≠． （2）将1x my =-代人24y x =并整理得2440y my -+=， 从而 12124, 4.y y m y y +==直线BD 的方程为 212221()y y y y x x x x +-=⋅--，即 222214()4y y y x y y -=⋅--令120, 1.4y y y x ===得所以点(1,0)F 在直线BD 上（3）由①知，21212(1)(1)42x x my my m +=-+-=-1212(1)(1) 1.x x my my =--=因为 11(1,),FA x y =-uu r 22(1,)FB x y =-uu r， 212121212(1)(1)()1484FA FB x x y y x x x x m ⋅=--+=-+++=-uu r uu r故 28849m -=，解得 43m =± 所以l 的方程为3430,3430x y x y ++=-+=又由①知 121643y y m +==故1211161622233S KF y y ∆=∙+=∙∙=4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ∆面积的最大值．解：（I ）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2212491a b =⎨⎪+=⎪⎩，得216a =，212b =. 所以椭圆的方程为2211612x y +=.…………………3分 设直线AB 的方程为y kx t =+(依题意可知直线的斜率存在)，设1122(,),(,)A x y B x y ，则由2211612x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484480k xktx t +++-=,由∆>，得221216b k <+，122212283444834kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，设()00,T x y 002243,3434kt tx y k k =-=++,易知00x ≠，由OT 与OP 斜率相等可得0032y x =，即12k =-，所以椭圆的方程为2211612x y +=，直线AB 的斜率为12-.……………………6分（II ）设直线AB 的方程为12y x t =-+，即220x y t +-=， 由2212 1.1612y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 得22120x tx t -+-=，224(12)0t t ∆=-->，44t -<<.………………8分12212,12.x x t x x t +=⎧⎨⋅=-⎩.||AB === 点P 到直线AB的距离为d =.于是PAB ∆的面积为122PAB S ∆==……………………10分 设3()(4)(123)f t t t =-+，2'()12(4)(2)f t t t =--+，其中44t -<<.在区间(2,4)-内，'()0f t <，()f t 是减函数；在区间(4,2)--内，'()0f t >，()f t 是增函数.所以()f t 的最大值为4(2)6f -=.于是PAB S ∆的最大值为18.…………………12分 5、设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，直线l ：2a x =交x 轴于点A ，且122AF AF =． （Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过1F 、2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），若四边形D M E N 的面积为277，求DE 的直线方程．解：（Ⅰ）由题意，212||22,(,0)FF c A a ==∴ -------1分 1222 A F A F F =∴为1AF的中点------------2分2,322==∴b a即：椭圆方程为.12322=+y x ------------3分 （Ⅱ）当直线DE 与x 轴垂直时，342||2==a b DE ，此时322||==a MN ，四边形DMEN 的面积||||42DE MN S ⋅==不符合题意故舍掉；------------4分同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积||||42DE MN S ⋅==不符合题意故舍掉； ------------5分当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE :)1(+=x k y ，代入消去y 得：.0)63(6)32(2222=-+++k x k x k ------------6分设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+,3263,326),,(),,(222122212211k k x x k k x x y x E y x D 则 ------------7分所以 231344)(||222122121++⋅=-+=-k k x x x x x x ， ------------8分所以 2221232)1(34||1||kk x x k DE ++=-+=， ------------9分同理22211)1]1)||.1323()2k k MN k k -++==+-+ ------------11分所以四边形的面积222232)11(3432)1(34212||||k k kk MN DE S ++⋅++⋅=⋅=13)1(6)21(242222++++=k k k k由22727S k k =⇒=⇒= ------------12分所以直线0DE l y -=或0DE l y +=或20DE l y -=或20DE l y += ---------13分 6、已知抛物线P ：x 2=2py (p >0)．（Ⅰ）若抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离为3．（ⅰ）求抛物线P 的方程；（ⅱ）设抛物线P 的准线与y 轴的交点为E ，过E 作抛物线P 的切线，求此切线方程； （Ⅱ）设过焦点F 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，连接AO ，BO 并延长分别交抛物线的准线于C ，D 两点，求证：以CD 为直径的圆过焦点F ． 解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离与到准线距离相等，即(,2)M m 到2py =-的距离为3； ∴ 232p-+=，解得2p =． ∴ 抛物线P 的方程为24x y =． 4分（ⅱ）抛物线焦点(0,1)F ，抛物线准线与y 轴交点为(0,1)E -，显然过点E 的抛物线的切线斜率存在，设为k ，切线方程为1y kx =-．由241x y y kx ⎧=⎨=-⎩， 消y 得2440x kx -+=， 6分 216160k ∆=-=，解得1k =±． 7分∴切线方程为1y x =±-． 8分（Ⅱ）直线l 的斜率显然存在，设l ：2p y kx =+， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ 消y 得 2220x pkx p --=． 且0∆>． ∴ 122x x pk +=，212x x p ⋅=-； ∵ 11(,)A x y ， ∴ 直线OA ：11y y x x =， 与2p y =-联立可得11(,)22px pC y --， 同理得22(,)22px pD y --． 10分 ∵ 焦点(0,)2pF ， ∴ 11(,)2px FC p y =--，22(,)2pxFD p y =--， 12分 ∴ 1212(,)(,)22px px FC FD p p y y ⋅=--⋅--22212121212224px px p x x p p y y y y =+=+2442221222212120422p x x p p p p p x x x x p p p=+=+=+=- ∴ 以CD 为直径的圆过焦点F ． 14分7、在平面直角坐标系xOy 中，设点(,),(,4)P x y M x -，以线段PM 为直径的圆经过原点O .（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点(0,4)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ，点A 关于y 轴的对称点为'A ，试判断直线'A B 是否恒过一定点，并证明你的结论. 解：（I ）由题意可得OP OM ⊥， 2分 所以0OP OM ⋅=，即(,)(,4)0x y x -= 4分即240x y -=，即动点P 的轨迹W 的方程为24x y = 5分 （II ）设直线l 的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x y B x y ，则11'(,)A x y -.由244y kx x y=-⎧⎨=⎩消y 整理得24160x kx -+=， 6分 则216640k ∆=->，即||2k >. 7分12124,16x x k x x +==. 9分直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+212221222212212222121222112()1()4()41444 y 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x -∴=-++-∴=-++--∴=-+-∴=+12分即2144x x y x -=+ 所以，直线'A B 恒过定点(0,4). 13分8、已知椭圆2222:1x y M a b +=(0)a b >>的离心率为3，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为246+．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ， 求ABC ∆面积的最大值．解：（Ⅰ）因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为246+，所以24622+=+c a ， 1分又椭圆的离心率为3，即3c a =，所以3c a =， 2分所以3a =，c =分所以1b =，椭圆M 的方程为1922=+y x . 5分（Ⅱ）方法一：不妨设BC 的方程(3),(0)y n x n =->，则AC 的方程为)3(1--=x ny . 由22(3),19y n x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得0196)91(2222=-+-+n x n x n ， 6分 设),(11y x A ，),(22y x B ，因为222819391n x n -=+，所以19327222+-=n n x ， 7分 同理可得2219327nn x +-=， 8分 所以1961||22++=n n BC ，222961||nn n n AC ++=， 10分 964)1()1(2||||212+++==∆n n n n AC BC S ABC ， 12分 设21≥+=nn t ，则22236464899t S t t t==≤++， 13分当且仅当38=t 时取等号，所以ABC ∆面积的最大值为83. 14分方法二：不妨设直线AB 的方程x ky m =+.由22,1,9x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得222(9)290k y kmy m +++-=， 6分 设),(11y x A ，),(22y x B ，则有12229km y y k +=-+，212299m y y k -=+. ① 7分因为以AB 为直径的圆过点C ，所以 0CA CB ⋅=. 由 1122(3,),(3,)CA x y CB x y =-=-，得 1212(3)(3)0x x y y --+=. 8分 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得 221212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=.将 ① 代入上式，解得 125m =或3m =（舍）. 10分 所以125m =（此时直线AB 经过定点12(,0)5D ，与椭圆有两个交点），所以121||||2ABC S DC y y ∆=-12==分 设211,099t t k =<≤+，则ABC S ∆=所以当251(0,]2889t =∈时，ABC S ∆取得最大值83. 14分 9、过抛物线C:22(0)y px p =>上一点2(,)pM p 作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A 、B 两点。