x(0) , 变化相当于 x(0) 在 x 轴上滑动。
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例2 求解线性方法柯西问题
ut (x cos t)ux 0,t 0, x
(6)
数
u(x,
0)
1 1 x2
,
x
(7) 第
学 物 理 方
解 方程(6)式的特征方程为
的特征线就是下面问题的解
dx dt
x cos t
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99
u(x,t) 2 x2 1 (x 3t)x g(x 3t), 99
由方程（2）
u(x, 0) x2
数得
学 物
x2 2 x2 1 x2 g(x),
理
99
第 六 章
方程即
8 x2 g(x),
特 征
所以
9
线 法
u(x,t) 2 x2 1 (x 3t)x 8 (x 3t)2,
(x t)ux
dU
dx
dt ut ux dt ut (x t)ux
则
数
数和求解方法。
第
学 物
例1
求解线性方法Cauchy问题
理 方 程
uut(
3ux x t, 0 t, x, 0) x2, x
x
六
章
(1)
特
(2)
征
组合解。特方征程线（方1）法的的左基端本思ut 想 就3u是x 是将其u(转x,化t)为的一u(阶x,偏t)导关数于的t线的性全线 法
99
9
2 x2 1 x2 3 tx 8 (x2 6x 9t2 ), 9 9 99
x2 5tx 8t2.
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定义1 考虑下面一阶线性微分方程
aut bux cu f
4
其中 a 、b、c 和 f 均为自变量 x 、t 的函数。
数 学
方程
物
a dx b 0
章
方 程
u 2t2 (x 3t)t (x 3t)2
特 征
2t2 xt 3t2 x2 6xt 9t2
线
x2 8t2 5xt
法
此解法关键之处是找到直线 x 3t c ，偏微分方程转化为
常微分方程。直线 x 3t c 称为一阶偏微分方程（1）的特征线
uut(
3ux x t, 0 t, x, 0) x2, x
,
x
六 章
(1)
特 征
(2) 线
法
也可以用变量代换方法求解。具体做法是，做变换
x 3t, x.
则 ut u t u t u (3) u 0 3u ,
ux u x u x u 1 u 1 u u
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即 ut 3u , ux u u , t , x .
8
数 最后，由特征线方程 x esint解出 xesint , 将其代入到 第
学
物(8)式中便得(6)式-(7)式的解为
理 方 程
u(x,
t)
1
1 x 2e2 sin t
六 章 特 征
线
法
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练习
求下列Cauchy问题的解
数 学
uut|t0(x
x
t)ux
u
x,
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R, t
第6章 特征线法
数
第
学
六
物 理
章
方 程
特 征
线
法
本章中心内容
特征线法求解一阶偏微分方程以及一维波动方程
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Method of characteristics 一种基于特征理论的求解双
数学物理曲为一人 维型们不偏所定微用常分。流方电和程子二组计维的算定似机常方出流法现等。以问它后题产，中生又得较得到早到了，了广19进泛世一 的纪步用末的。已发经展有，效在地第 六 章
0,
程
dx
x
cos t
0, t
0
dt
而过点
(
,
0)
六 章
特 征 线
x(0)
法
解之可得 x esint。沿此特征线原定解问题(6)-(7)简化为
du dt
ut
(x cos t)ux
0, t
0
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数学与统计u学(院0)
u(
,
0)
1
1
2
易得该问题的解为
1
u 常数 u(0) 1 2
代入
3
ut 3ux x t
有
数学3u 3(u u ) ut 3ux x t
物
理 方
程所以
3u
3u
4
3
.
43 .
3
即
u
4
9
1.
9
对 两边积分，可得
第 六 章 特 征 线 法
u 22 1 g( ),
99
其中，g() 为一个可微函数。
由
u( ,) 2 2 1 g( ),
5
理
dt
第 六 章
方
程 称为(4)式的特征方程，其积分曲线称为(4)式的特征曲线。
特 征
注1 给出例1求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数线
c，即为特征线的初始值x(0) 。当参数 c x(0) 在x 轴滑动时，法
(3)式的解曲线就织成了(1)式--(2)式的解曲面。
为了避免和常数c混淆，下面用变量 代替参数c。请记住：
方 特征线法也是求解偏微分方程的一种基本方法。其实质 程是沿偏微分方程的特征线积分以使方程的形式简化，从而使
特 征
其求解称为可能。它不仅适用于线性偏微分方程，而且也是 线
求解非线性方程的一种有效方法。
法
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第一节、一阶偏微分方程特征线法
一、特征线法
结合一些具体的定解问题的求解，说明特征线方法的基本思想
导数。
du dt
ut
uxx
x
t
在这条直线 x 3t c 上，即 x c 3t ，在这个直线上，上述
定解问题转化为
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du 4t c, 0 t dt
(3)
u(0) u(x(0), 0) x2 (0) c2
数解之，得
第
学
u 2t2 ct c2
六
物理又 x 3t c ，则
0
(9)
第 六
物 解 第一步 求特征线。 特征线方程
理
章
方 程
dx x t
dt
特
(10)
征
x(0) c
线 法
的解为
x(t) et t 1 cet
(11)
第二步 化偏微分方程为常微分问题并求解。令
U (t) u(x(t),t)
西 则安交通大学dd数Ut学与统u计t 学院ux
dx dt
ut
x
(1) (2)
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特征线 x 3t c 是方程 dx 3 0 的解，方程
dx 3 0
dt
称为（1）的特征方程，其解就是（1）的特征线。
dt
数 沿一阶偏微分方程的特征线将方程化为常微分方程，便是特 第
学物征线法的基本思想。
理 方
对定解问题（1）（2）
程
uut(
3ux x t, 0 t x, 0) x2, x