24.2 直角三角形的性质
知识点 1 直角三角形的两个锐角互余
1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )
A．120° B．90° C．60° D．30°
2．如图24－2－1，将一个矩形纸片剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( ) A．30° B．60° C．90° D．120°
图24－2－1
知识点 2 勾股定理
3．［2016·荆门］如图24－2－2，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
4．［2017·绍兴］如图24－2－3，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙上时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙上，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )
A．0.7米 B．1.5米
C．2.2米 D．2.4米
图24－2－3
知识点 3 直角三角形斜边上的中线的性质
5．如图24－2－4，在Rt△ABC中，E＝10，则CE＝________．
6．如图24－2－5，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于__________．
图24－2－5
7．如图24－2－6，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，E是BD的中点，连结AE.求证：∠AEC＝∠C.
知识点 4 直角三角形中30 °角的性质
8．［2016·百色］如图24－2－7，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝( ) A．6 B．6 2 C．6 3 D．12
9．如图24－2－8，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若线段DE＝1 cm，则BD的长为________ cm.
10．如图24－2－9，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则图中互余的角有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
11．［教材习题24.2第2题变式］如图24－2－10，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB于点E.若AE＝2，则BE＝( )
A．3 B．4 C．6 D．8
12．如图24－2－11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于点F.若∠F＝30°，DE＝1，求BE的长．
13．如图24－2－12，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝45°，∠C＝30°，AD＝1.
(1)求CD的长；
(2)求△ABC的面积．
14．如图24－2－13，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD
＝1
3
BD，连结DN，MN.
(1)求证：MN＝CD；
(2)若AB＝6，求DN的长．
15．如图24－2－14，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB.
(1)求∠B的度数；
(2)求证：CE是AB边上的中线，且CE＝
1
2
AB.
16．如图24－2－15所示，一根长2a的木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为
P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
(1)请判断在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否发生变化，并简述理由．
(2)
1．D 2．C 3.C 4．C 5．5 6．8
7．证明：∵AD ⊥AB ，∴△ABD 为直角三角形． ∵E 是BD 的中点，
∴AE ＝12BD ，BE ＝1
2BD ，
∴AE ＝BE ， ∴∠B ＝∠BAE .
∵∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ， ∴∠AEC ＝∠B ＋∠B ＝2∠B . 又∵∠C ＝2∠B ， ∴∠AEC ＝∠C . 8．A 9.4 10．C 11． C
12．∵AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ， ∴∠BDF ＝90°，AE ＝BE ， ∴∠ABE ＝∠A . ∵∠F ＝30°， ∴∠DBF ＝60°.
∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＝30°， ∴∠ABE ＝30°， ∴BE ＝2DE ＝2.
13．解：(1)∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°. ∵∠C ＝30°，AD ＝1， ∴AC ＝2AD ＝2，
∴CD ＝AC 2－AD 2＝22－12
＝ 3. (2)∵∠B ＝45°， ∴∠BAD ＝45°， ∴BD ＝AD ＝1，
∴BC ＝BD ＋CD ＝1＋3，
∴△ABC 的面积＝12AD ·BC ＝1＋3
2
.
14．
解：(1)证明：∵M ，N 分别是AB ，AC 的中点，
∴MN ＝1
2BC ，MN ∥BC .
∵CD ＝1
3BD ，
∴CD ＝1
2BC ，
∴MN ＝CD .
(2)连结CM ，∵MN ∥CD ，MN ＝CD ， ∴四边形MCDN 是平行四边形， ∴DN ＝CM .
∵∠ACB ＝90°，M 是AB 的中点，
∴CM ＝1
2
AB ，
∴DN ＝1
2
AB ＝3.
15(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ，∴∠ACD ＝∠DCE ＝∠BCE ＝30°， ∴∠BCD ＝60°. 又∵CD 为高，
∴∠B ＝90°－60°＝30°.
(2)证明：由(1)知，∠B ＝∠BCE ＝30°， 则CE ＝BE .
∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°， ∴∠A ＝60°.
又由(1)知，∠ACD ＝∠DCE ＝30°， ∴∠ACE ＝60°＝∠A ， ∴△ACE 是等边三角形，
∴AE ＝CE ＝BE ＝1
2
AB ，
∴E 是AB 的中点，
∴CE 是AB 边上的中线，且CE ＝1
2
AB .
16． (1)不变．
理由：由题意得OP ＝1
2
AB .
∵斜边AB 的长不变，
∴点P 到点O 的距离OP 不变．
(2)当△AOB 斜边上的中线OP 是斜边上的高h 时，△AOB 的面积最大．
理由：如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则h ＜OP ， 故根据三角形面积公式，知当h 与OP 相等时，△AOB 的面积最大，
此时，S △AOB ＝12AB ·h ＝12
·2a ·a ＝a 2
.
∴△AOB 的最大面积为a 2
.。