基本不等式【知识梳理】1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．基本不等式（1）有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．（2）不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，a ＋b ≥2 ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)．【常考题型】题型一、利用基本不等式证明不等式【例1】 已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.[证明] 由基本不等式可得：a 4＋b 4＝(a 2)2＋(b 2)2≥2a 2b 2，同理：b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴(a 4＋b 4)＋(b 4＋c 4)＋(c 4＋a 4)≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2，从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.【类题通法】1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．【对点训练】1．已知a ，b 是正数，求证21a ＋1b ≤ab .证明：∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b ≥21ab ＞0， ∴21a ＋1b ≤221ab ＝ab ， 即21a ＋1b≤ab (当a ＝b 时取“＝”).题型二、利用基本不等式求最值【例2】 (1)已知m ，n ＞0，且m ＋n ＝16，求12mn 的最大值．(2)已知x ＞3，求f (x )＝x ＋4x －3的最小值； (3)设x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．[解] (1)∵m ，n ＞0且m ＋n ＝16，所以由基本不等式可得mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝64， 当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取到最大值64.∴12mn 的最大值为32.(2)∵x ＞3，∴x －3＞0，4x －3＞0， 于是f (x )＝x ＋4x －3＝x －3＋4x －3＋3≥2 (x －3)·4x －3＋3＝7， 当且仅当x －3＝4x －3即x ＝5时，f (x )取到最小值7. (3)法一：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2y x ·2x y＝3＋22， 当且仅当y x ＝2x y ，即y ＝2x 时，等号成立，解得x ＝1－22，y ＝2－1，∴当x＝1－22，y＝2－1时，1x＋1y有最小值3＋2 2.法二：1x＋1y＝⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1y·1＝⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1y(2x＋y)＝3＋2xy＋yx≥3＋2yx·2xy＝3＋22，以下同解法一．【类题通法】1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式a＋b2≥ab成立的前提条件，a>0，b>0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．【对点训练】2．(1)已知lg a＋lg b＝2，求a＋b的最小值；(2)已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值．(3)已知x＞0，y＞0，1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．解：(1)由lg a＋lg b＝2可得lg ab＝2，即ab＝100，且a＞0，b＞0，因此由基本不等式可得a＋b≥2 ab＝2 100 ＝20，当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20.(2)∵x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，∴xy＝16(2x·3y)≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x＋3y22＝16·⎝⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x＝3y，即x＝32，y＝1时，xy取到最大值32.(3)∵1x＋9y＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9x y ＋10，又∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＋9x y ＋10≥2y x ×9xy ＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，1x ＋9y＝1， 得⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16. 题型三、利用基本不等式解应用题【例3】 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[解] (1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18，设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .由于2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝2 6xy ，∴2 6xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立，由⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝4.5，y ＝3，故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大．(2)法一：由条件知S ＝xy ＝24，设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .∵2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝2 6xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎨⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m 时，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．法二：由xy ＝24，得x ＝24y .∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y ＋y ≥6×2 16y ·y ＝48，当且仅当16y ＝y ，即y ＝4时，等号成立．此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．【类题通法】在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)根据实际背景写出答案．【对点训练】3．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16 万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式；(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？解：(1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元，总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x )＝200＋12x (x ＋1)·16(万元)．∴y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x (x ＋1)·16 ＝16(－2x 2＋23x －50)．(2)年平均利润为y x ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2x －50x ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x . 又x ∈N *，∴x ＋25x ≥2 x ·25x ＝10，当且仅当x ＝5时，等号成立，此时y x ≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元．【练习反馈】1．已知f (x )＝x ＋1x －2(x ＜0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( )A ．a ＞b ＞a ＋b 2＞abB ．a ＞a ＋b 2＞ab ＞bC ．a ＞a ＋b 2＞b ＞abD ．a ＞ab ＞a ＋b 2＞b解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b 2＞ab ＞b ·b ＝b ，因此只有B 项正确．3．若x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则x ·y 的最大值为________． 解析：1＝x ＋4y ≥2 4xy ＝4 xy ，∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y 时等号成立．答案：1164．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y 的最小值为________．解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10.则2x＋5y≥210xy＝2，故⎝⎛⎭⎪⎫2x＋5y最小值＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立．答案：25．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：bca＋acb＋abc＞a＋b＋c.证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴bca＋acb≥2abc2ab＝2c，ac b＋abc≥2a2bcbc＝2a，bc a＋abc≥2bca·abc＝2b.又a，b，c不全相等，故上述等号至少有一个不成立．∴bca＋acb＋abc＞a＋b＋c.。