())()()]([),()(20d t t tf t tg t g T t t f t g -==-=令,∞-≠-)()(00t t y t t T f f ,=-)(0t t y f)()(00t t f t t --。

(3))()(0t t f t g -=令，)()()]([0t t f t g t g T --=-=，≠-)(0t t T f )(0t t y f -，)()(00t t f t t y f +-=-线性时不变系统。

显然其不相等，即为非不失一般性，设可以表示为为系统运算子，则设解时不变系统？判断该系统是否为线性的关系为与输出已知某系统输入),()()()]([),()()]([)()()(,)()]([)()(T :)()()()(.2.12111121t y t f t f t f T t y t f t f T t f t f t f t f t f T t y t y t f t y t y t f =+===+====1.3判断下列方程所表示系统的性⎰+=t dx x f dtt df t y 0)()()(:)1()()()]([:)2(2't f t y t y =+（3）：)2()()(3)(2)(''''-+=++t f t f t y t y t y （4）：)(3)(2)('2)("t f t y t ty t y =++ 线性 非线性时不变 线性时不变 线性时变1.4。

试证明方程y'(t)+ay(t)=f(t)所描述的系统为线性系统。

证明：不失一般性，设输入有两个分量，且f 1(t)→y 1(t),f 2(t)→y 2(t) 则有y 1'(t)+ay 1(t)=f 1（t)，y 2'(t)+ay 2(t)=f 2(t) 相加得y 1'+ay 1(t)+y 2'(t)+ay 2(t)=f 1(t)+f 2(t) 即dtd[y 1(t)+y 2(t)]+a[y 1(t)+y 2(t)] =f 1(t)+f 2(t ）可见f 1(t)+f 2(t)→y 1(t)+y 2(t)即满足可加性，齐次性是显然的。

故系统为线性的。

1.5。

证明1.4满足时不变性。

证明 将方程中的t 换为t-t 0,t 0为常数。

即y'(t-t 0)+ay(t-t 0)=f(t-t 0) 由链导发则，有=-dtt t dy )(0 dt t t d t t d t t dy )()()(000-•--又因t 0为常数，故1)(0=-dtt t d 从而)()()(000t t d t t dy dt t t dy --=-所以有 )()()(000t t f t t ay dtt t dy -=-+-即满足时不变性f(t-t 0)→y(t-t 0) 1.6.试一般性地证明线性时不变系统具有微分特性。

证明 设f(t)→y(t),则f(t-Δt)→y(t-Δt)又因为tt t y t y t t t f t f ∆--→∆∆--)()()()(0所以 tt t f t y t t t t f t f t ∆--→∆→∆∆--→∆)()(0lim )()(0lim 0既有 )(')('t y t f →1.7 若有线性时不变系统的方程为y'(t)+ay(t)=f(t)在非零f(t)作用下其响应y(t)=1-e -t ,试求方程y'(t)+ay(t)=2f(t)+f'(t)的响应。

解：因为f(t)→y(t)=1-e -t ,又线性关系，则2f(t)→2y(t)=2(1-e -t ) 又线性系统的微分特性，有 f'(t)→y'(t)=e -t 故响应 2f(t)+f'(t)→y(t)=2(1-e -t )+e -t =2-e -t计算：2.1设有如下函数f( t )，试分别画出它们的波形。

(a) f( t ) = 2ε( t-1 ) - 2ε( t-2 )(b) f( t ) = sinπt[ε( t ) -ε( t-6 )]2-2试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。

解(a) f( t ) = ε( t ) - 2ε( t-1 ) + ε( t-2 )(b) f( t ) = ε( t ) + 2ε( t-T ) + 3ε( t-2T )2-5设有题2-6图示信号f( t )，对(a)写出f'( t )的表达式，对(b)写出f"( t )的表达式，并分别画出它们的波形。

解(a)2,21≤≤tf'( t ) = δ( t- 2 )，t = 2-2δ( t- 4 )，t = 4(b)f"( t ) = 2δ( t )- 2δ( t- 1 )- 2δ( t- 3 ) + 2δ( t- 4 )()()()()2()()(3)(3)(3);()()sin()()()22;()costa f t t f tb t t t tc e t td t t tδδδδδδδδδ--=-+•==•=2.6.化简下列信号：2-7 试计算下列结果。

(1) t δ( t - 1 ) (2) ⎰∞--0d )()3πcos(t t t δω (3)⎰+---003d )(e t t t δ (4)⎰∞∞--t t t d )1(δ (5)∞-∞⎰t δ( t - 1 )dt (6)()()2213tt t dt δ-+-⎰(7) ()2td δττ-∞⎰解 (1) t δ( t - 1 ) = δ( t - 1 ) (2)21d )()3πcos(d )()3πcos(00=-=-⎰⎰∞∞--t t t t t δδω(3)1d )(d )(e d )(e 00003003===-⎰⎰⎰+-+-+---t t t t t t tt δδδ (4) 1d )1(d )1(=-=-⎰⎰∞∞-∞∞-t t t t t δδ(5)∞-∞⎰t δ( t - 1 )dt=∞-∞⎰δ( t - 1 )dt=1 (6)=0 (7)=2()t ε3-1 如图2-1所示系统，试以u C ( t )为输出列出其微分方程。

解 由图示，有tu C R u i d d C C L +=又⎰-=tt u u L i 0C S L d )(1故CC C S )(1u C Ru u u L ''+'=-从而得 )(1)(1)(1)(S C C C t u LC t u LC t u RC t u =+'+''3-3 设有二阶系统方程0)(4)(4)(=+'+''t y t y t y 在某起始状态下的0+起始值为2)0(,1)0(='=++y y 试求零输入响应。

解 由特征方程λ2 + 4λ + 4 =0得 λ1 = λ2 = -2则零输入响应形式为te t A A t y 221zi )()(-+=由于y zi ( 0+ ) = A 1 = 1 -2A 1 + A 2 = 2所以A 2 = 4故有0,)41()(2zi ≥+=-t et t y t3-4 如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应i 和u L ，对(b)求冲激响应u C 和i C ，并画出它们的波形。

解 由图(a)有Ri t u t i L-=)(d d S 即)(1d d S t u Li L R t i =+当u S ( t ) = δ( t )，则冲激响应 )(e 1)()(t L t i t h t L R ε⋅==-则电压冲激响应)(e )(d d )()(L t L R t t i L t u t h tL R εδ⋅-===-对于图(b)RC 电路，有方程R u i t u CC S C d d -=即S C C 11i Cu RC u =+'当i S = δ( t )时，则)(e 1)()(C t Ct u t h RC t ε⋅==-同时，电流)(e 1)(d d C C t RC t t u C i RCtεδ⋅-==-3-5 设有一阶系统方程)()()(3)(t f t f t y t y +'=+'试求其冲激响应h ( t )和阶跃响应s ( t )。

解 因方程的特征根λ = -3，故有)(e)(31t t x tε⋅=-当h ( t ) = δ( t )时，则冲激响应)(e 2)()]()([)()(31t t t t t x t h t εδδδ⋅-=+'*=-阶跃响应)()e 21(31d )()(30t h t s t t εττ-+==⎰1012121122223.6,()()()()0(0),,(01),(2),(23),(2),(12),11(2),(34),0,(4)0,,12,1222tt t LTI f t y t h t f t t d t d d t d d t d t t t t t ττττττττττττ--=*=<≤≤+-≤≤+-≤≤-≤≤>=-+--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰系统的冲激响应如图(a)若输入信号如图（b)所示三角波，求零状态响应？本题用图形扫描计算卷积即2211,84,022t t t t --+()()()()()''''22223.10()()3()2()5()7()()2235p 723(32)()(57)()H(p)p 321223()()()23,0()(21)()(12t t h t y t y t y t f t f t b y t y t y t f t f t p p y t p f t p p p h t t e e t b p p y t p p δ--''''++=+++=++++=+==+++++=+=+≥++=++算子法求下列系统的冲激响应。

(a)解：(a)系统的算子方程从而从而22223)()2p 31212H(p)()()2,0p 211111t t p f t h t t te e t p p p p p δ--++==+=+=+≥++++++，从而【】（）（）3-11 试求下列卷积。

(a) ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) (b) δ( t ) * 2 (c) t e -t ⋅ε( t ) * δ' ( t ) 解 (a) 按定义ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) =⎰∞∞---+ττετεd )5()3(t 考虑到τ < -3时，ε( τ + 3 ) = 0；τ > t -5时，ε( t -τ - 5 ) = 0，故ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) =2,2d 53>-=⎰--t t t τ(b) 由δ( t )的特点，故δ( t ) * 2 = 2 (c) t e -t ⋅ε( t ) * δ' ( t ) = [t e -t ε( t )]' = ( e -t - t e -t )ε( t ) 3-12 对图示信号，求f 1( t ) * f 2( t )。