新
新与旧是相对的
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三、换面法的四个基本作图 1. 把一般位置直线变为投影面平行线 2. 把一般位置直线变为投影面垂直线 3. 把一般位置平面变为投影面垂直面 4. 把一般位置平面变为投影面平行面
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1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析： 用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。 b 作图： P1 a a a1
第三章 投影变换——换面法
一、投影变换及换面法的基本概念
二、点的换面作图规则 三、换面法的四个基本作图 四、应用及举例
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求解距离、夹角、实形、交点的最佳投影分析
b’ a’
c’ b’
a’
c’ b’ a’ d’ d c
c’ d’
a’
a b c
b’
c d b
a
b
a
两平面夹角
b
a
两点之间距离
三角形实形
直线 与平面的交点
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第一节 概述
特殊位置的直线：可直接反映实长、倾角问题
a X a 实长 b O X b
a(b)
O

b
实长
a
特殊位置的平面： 可直接反映实形、倾角问题
c 实形 b b
c
a
X a
X
O b c 正垂面 a
O
c
b
正平面
特殊位置的几何元素：可直接反映度量、定位问题
a e b d m 距离 e a(b) f c(d) c f a c b m c
X1
V/H 体系变为V1/H 体系
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面 来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利 解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
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二、点的换面及规律
1. 点的一次变换
a1 '
V1
X1
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2. 点的两次变换
a'
旧
水平书写好
不变 a2 X2 旧 不变 X2 新 V1 H2 a2
功用：可求解平面与投影面的倾角， 点与平面的距离， 两平行面间的距离等。
问题的关键：在平面上作一条投影面平行线，新 轴必须垂直与该平行线反映实长的那个投影。
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
空间分析： 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 作图方法：
例 3 已知直线AB与CDE平面平行，且相距20mm， 求直线AB的 a 1 b 1 水平投影。 c
1
e1 d1 e'
V XH d' c
c' a'
b'
e
d
a
b
求C点到直线AB的距离， c 就是求垂线CD的实长。 如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平 行于投影面，其投影反映 实长。
AD C B abd P c
V
b
A
B
b1
X
V
H
b a
H
.
a
X1 H
b
P1
a1
●

b1
●
换H面行吗？ 不行！
新投影轴的位置？
与ab平行。
2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线；
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
X2
作图：
b
X V H
V
b P2
a2b2

ax2 b1
例4：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。 空间及投影分析： 作图:
b a d b a
H X1 P 1
.
X
V H
c
d
1 . a1 d
距离 b2d2 b1 . a2
P1 P2 X2
c 2

c1

过c1作线平行于x2轴。
例7:求两交叉直线的公垂线.
四、换面法的应用
求C点到直线AB的距离， c 就是求垂线CD的实长。

c
如何确定d1 c1 ' 点的位置？ 过c1作线平行于x2轴。
例2.
1'
求两直线AB与CD的公垂线 。
b' 2'
1 2 c1' 21 ' 11'
X2 V1 H2 d2 22
c2
12
d 1'
a 2b 2
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例3: 过C点作直线CD与AB相交成60º 角。
空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影
b
a
点到直线的距离
一、基本概念
改变空间几何元素与投影面的相对位
置，使它们相互之间处于某一特殊位置的
情况，从而使问题简化、得到解决——投
影变换。
二、投影变换的方法 1. 辅助投影面法（换面法） 2. 旋转法
一. 换面法的基本概念
新面 V1 新轴 a1' b1' c1'
旧面
c1 ' b1'
a1' 旧轴 不变面 X1
P1
a
b
a b a
.
B A
a1
X
a H
H1 X1 P1a1● X1
●
b1 a2 b2
与a1 b1 垂直
X2轴的位置？
例1 已知等腰三角 形ABC的底边 为AB，试用 换面法求出等 腰三角形ABC 的正面投影。
c'
b'
V X H
a'
c
a
b
e
e1´ a1'
b1'
c1'
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平 行于投影面，其投影反映 实长。
AD C B abd P X V H
例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。 空间及投影分析： 作图:
b
a
d b
距离 b2d2 b1'. a2
V1 H2 X2
c 2
c a
H X1 V 1
.
d
1' . a1' d
空间分析：
一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。
作 图：
a
X V H
c
AB是水平 线 b
b2●
● ●
a2
a
●
. b . a1 b1
c2
c
H P1 X1
平面的实形
c1
●
X2轴的位置？ 与其平行
例：用换面法求出△ABC平面的实际形状。 作图分析：由于△ABC平面为一 铅垂面 ，则O1X1轴应平行于平面的 积聚性投影。 作 图 过 程 如 图 所 示：
在平面内取一条 投影面平行线，经一 次换面后变换成新投 影面的垂直线，则该 平面变成新投影面的 垂直面。 一般位置直线变换成 投影面垂直线，需经 几次变换？能否只进 行一次变换？ c V a
A
P1
C
c1
d b
D BXa源自思考： 若变换H面，需在面内取 什么位置直线？正平线！
b H
d
c
a1 d1 b1
X1
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
a
V X H
b
d
c b c
H X 1 P1
a d
.
作 图 过 程： ★ 在平面内取一条水平 线AD。 ★ 将AD变换成新投影 面的垂直线。
● ●
α c1 a1 d1 b1
●
反映平面对哪 个投影面的夹角？
4. 把一般位置平面变换成投影面平行面