（一）相似三角形1定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.①当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形对应边的比叫做相似比.①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 •所以全等三角形是相似三角形的特例•其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.②相似比具有顺序性.例如△ ABC A B，的对应边的比，即相似比为k，则△ A B' 0△ ABC的相似比「当它们全等时，才有k=k' =1③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出.3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：•/ DE // BC ,•••△ ABC ADE ;②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理. 它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到见平行，想比例”，还要想到见平行，想相似（二）相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，/ 仁/ 2=7 3,求证：△ AB（0A ADEA（双A型）例2、如图，E、F分别是△ ABC的边BC上的点，DE // AB,DF // AC , 求证：△ ABC DEF.判定定理2:如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.2例1 >△ AB(中，点D 在AB上，如果AC=AD?AB,那么△ ACDf A AB®似吗？说说你的理由.强调：①②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3 .但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.例2、如图，点C、D在线段AB上，△ PCD是等边三角形。
(1 )当AC CD DB满足怎样的关系时，△ AC3A PDB?(2)当厶ACP^A PDB时，求/ APB的度数。
判定定理3:如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.7£C1——A iB iC i和A? B2C2，，求出相似比；如果C如图在正方形网格上有它们相似吗？如果相似不相似，请说明理由。
2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.例1、已知：如图，在正方形ABC［中, P是BC上的点，且BP= 3PC Q是CD的中点.求证:例2、如图，AB 丄BD,CD 丄BD,P 为BD 上一动点，AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P 点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件，可以使图中的两个三角形相似巧青说明理特殊情况：第一：顶角(或底角)相等的两个等腰三角形相似。
第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中 线对应成比例，那么这两个三角形相似。
类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AAS (ASA ) HL例3、如图 AD 丄AB 于D , CE 丄AB 于E 交AB 于F ,则图中 相似三角形的对数有 _____________________ 对。
例4、已知：AD 是Rt △ ABC 中/ A的平分线，/ C=90 ° ,EF 是AD 的垂直平分线交 AD 于M , EF 、BC 的延长线交于一点 N 。
求证：（"△ AMENMD2（2）ND 2=NC • NB①由于直角三角形有一个角为直角， 因此，在判定两个直角三角形相似时， 只需再找一 对对应角相等，用判定定理 1，或两条直角边对应成比例，用判定定理 2，一般不用判定定 理3判定两个直角三角形相似；②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为母子相似三角形”，其应用较为广泛.（直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形 相似）③ 如图，可简单记为：在 Rt △ ABC 中，CD 丄AB ，则△ ABC CBD ACD .④ 补充射影定理。
相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例、重点难点疑点突破1寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功.下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角; 对应边所夹的角是对应角.(3)对应字母要写在对应的位置上，可直接得出对应边，对应角。
2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法•如:(2) 相交线型”相似三角形，如上图•其中各图中都有一个公共角或对顶角. 见一对等通常有以(1) 平行线型”相似三角形，基本图形见前图. 见平行，想相似”是解这类题的基本思路;要善于归纳和记忆；对相似三角形的(3) 旋转型”相似三角形，如图.若图中/ 1 = / 2，/ B= / D(或/ C= / E)，则△ ADE s△ ABC，该图可看成把第一个图中的厶ADE绕点A旋转某一角度而形成的.从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线•以上平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形.练习：1、如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据。
2、如图27-2-1-12,在大小为4>4的正方形方格中，△ ABC的顶点A,B,C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△ A1B1C1,使厶A1B1C1SA ABC(相似比不为1),且点A1,B1,C1都在单位正方形的顶点上AC H图27-2-1-121、寻找相似三角形的个数例1、（吉林）将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图形中所有点、线都在同一平面内，回答下列问题：（1）图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；⑵图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，就把它们一一写出来.如图，△ ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接并延长DE交BC的延长线于点F,连接DC、BE，若/ BDE +Z BCE = 180°。
⑴写出图中3对相似三角形（注意：不得添加字母和线）⑵请在你所找出的相似三角形中选取1对，说明它们相似的理由。
1、如图，在正方形网格上有6个三角形：① ABC ,② BCD ,③ BDE ,④ BFG ,⑤ FGH ,⑥ EFK ,其中②-⑥中与①相似的是________________ 。
2、画符合要求的相似三角形例1、（上海）在大小为4X4的正方形方格中，△ ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画出一个△ A1B1C1，使得△ A1B1C1SA ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上.3、相似三角形的判定例1、（1）如图，O是厶ABC内任一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，求证：△DEFABC ;（2）如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，DF=3CF，写出图中所有相似三角形，并证明.A例2、如图，在△ ABC中，DF经过△ ABC的重心G,且DF // AB , DE // AC ,连接EF，如果BC=5 , AC= 2 AB.求证：△ DEF s\ ABC4、直角三角形中相似的判定例1 如图，△ ABC 中，/ BAC=90 ° , AD 丄BC 于D , DE 为AC 的中线，延长线交AB的延长于F，求证：AB • AF=AC • DF。
例2、已知：如图，在△ ABC中，/ ACB=90 ° , CD丄AB于D ,AC 上一点，CF 丄BE 于F。
求证：EB - DF=AE - DB5、相似三角形的综合运用D垂直于AB例1、如图，CD是Rt△ ABC斜边AB上的中线，过点的直线交BC于E,交AC延长线于F .求证：("△ ADF EDB ; (2)CD2=DE・DF .例2、如图，AD是厶ABC的角平分线，BE丄AD于E, CF丄ADAB _DE于F. 求证:例3、如图，在正方形 ABCD 中，M 、N 分别是AB 、BC 上的点，BM=BN , BP 丄MC 于点P .求证：PN 丄PD .6、相似三角形中辅助线的添加(1)、作垂线3.如图从虫BCD 顶点C 向AB 和AD 的延长线引垂线 CE 和CF ，垂足分别为 E 、F ,求(3) 、作中线例1、 如图， ABC 中，AB 丄AC , AE 丄BC 于E , D 在AC 边上，若 BD=DC=EC=1，求 AC 。
证：AB AE AD AFAC 2。
(2)、作延长线例1、如图，RtABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交 BC于 F , FG AB 于 G ,求证：FG 2=CF ?BF练习:1、ABC中，ACB 90 , AC=BC , P是AB上一点，Q是PC上一点(不是中点)，MN 过Q 且MN 丄CP,交AC、BC 于M、N,求证：PA： PB CM : CN。