倏逝场（Bessel I/K） 驻波（Bessel J/Y）
柱坐标系下，电磁场表示成为柱谐函数的叠加，更容易表达电磁场满足的“多层同心圆” 边界条件
1
J0 x x01
0.5
0
J
mБайду номын сангаас
x
x0
1 m!
x 2
m
-0.5 -1
Y0 x x0
2
ln
x 2
-1.5 -2
-2.5
Ym
x
x0
m
1!
2 x
m
-3 -3.5
-4 0
I
0
x
x01
x 2
2
10 5
I
m
x
x0
1 m!
x m
m
0 0
K0 x x0 ln
2 x
10
K
m
x
x0
m
2
1!
2 x
m
0 eiz 0 eiz
kc2 k02n2 2 0 kc2 k02n2 2 0
随r的分布为Bessel函 数（柱谐函数）
随φ的分 布为简 谐振动
随z的分布 为简谐振动
横向传播常数由纵向传播常数和波 矢决定，同时也决定了随r分布的基 本特征
6
柱谐函数：柱坐标系中的指数函数
kc2 0
横向传播常数由纵向传播常数和波 矢决定，同时也决定了随r分布的基 本特征
满足Maxwell方程： 同矩谐函数（exp），柱谐函数（Bessel）也是自由空间电磁场的特征函数，即：传播过 程具有截面场分布不变性（无衍射特性） 与矩谐函数不同的是，柱谐函数的截面场分布不再是均匀的，比如可以有亮斑（J0）、 或者亮环（高阶J）——无衍射光束？
3
3.5
4
8
柱谐函数 VS. 矩谐函数
A
AAIJmmakccrrAAKYmmkaccrrccoossmm
0 eiz 0 eiz
kc2 k02n2 2 0 kc2 k02n2 2 0
随 r 的 分 布 为 Bessel 函数（柱谐函数）
随φ的分 布为简 谐振动
随z的分布 为简谐振动
5
柱坐标系下标量波动方程的特解
1 r
r
r
r
A
1 r2
2 2
kc2 k02n r 2 2
A kc2 A 0
分离变量
1 r
r
r
r
A kc2 A
1 r2
2 2
A
d
2
d 2
m
2
0
cosm 0
A Rr
r
d r dr
dRr
dr
kc2r 2
m2
Rr 0
m阶Bessel函数标准形式
3
根据边界条件特征选择坐标系
平面光波导：矩形坐标系（x, y, z）
光纤：圆柱坐标系（r, φ, z）
nx, y, z nx
nr,, z nr
x r cos 坐标（自变量）变换关系： y r sin
zz
r x2 y2
tan1 y x
zz
矢量（因变量）变换关系：
Ax Ay
cos s in
12
14
16
18
20
10
I(0,X) I(1,X)
5
I(2,X)
kc2 0 类比：实指数函数（指数函数）
0 0
10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Im x x
1 ex 2x
5
K(0,X) K(1,X) K(2,X)
Km x x
ex 2x
增益或衰落
7
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
柱谐函数：柱坐标系中的指数函数
折射率突变界面的法线方向不变
介质薄膜光波导：
x
TE波和TM波在各个反折射过程中保持TE
Hx+Hz Ey
Hx+Hz
和TM特性，两者不会发生耦合
Ey z
x
子午光
y
法线垂直于柱面， 方向不恒定
偏斜光
圆波导： TE波和TM波在各个反折射过程中 很可能不保持保持TE和TM特性， 两者经常发生耦合 圆波导中大部分模式都是同时包含 纵向电场和磁场的混合模式 圆波导需要新的“平面波”来描述
Az 0
sin cos
0
00
Ar A
1 Az
Ar A
cos sin
Az 0
s in cos
0
00
Ax Ay
1 Az
4
柱坐标系下的标量波动方程
nx, y, z n
指数函数（矩谐函数）的组合…
nr,, z n
？
注意 —— • 方程的坐标变换仅针对“分
布”、而非“分量” • 沿x/y/z方向的分量满足标量波
d 2R dX 2
1 X
dR dX
1
m2 X2
R 0
X kcr
Rr A Jm kcr AYm kcr kc2 0
角向周期性边界条件：0或者正整数
或
类比：横向传播常数是实数
Rr A Im acr AKm acr
kc2 0
ac2
k
2 c
类比：横向传播常数是纯虚数
A
AAIJmmakccrrAAKYmmkaccrrccoossmm
动 方 程 ， 沿 r/ 方 向 的 分 量 不 满 足 该 方 程 ， 因 为 r/ 方 向 与 坐标相关
柱坐标系下
2 x 2
2 y 2
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
1 r
r
r
r
A
1 r2
2 2
A kc2 A
0
柱坐标系下的标量波动方程
kc2 k02n2 2
横向传播常数（类比之前的g）
1
0.5
类比：虚指数函数（三阶函数）
0
-0.5 -1
-1.5
J(0,X) J(1,X)
Jm x x
2 cos x m x 4 2
-2 -2.5
J(2,X) Y(0,X) Y(1,X)
Ym x x
2 sin x m x 4 2
-3
-3.5
Y(2,X)
幅度衰减
振动
-4
0
2
4
6
8
10
5
0
0
Y：零点处发散
J(0,X) J(1,X) J(2,X) Y(0,X) Y(1,X) Y(2,X)
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
I(0,X) I(1,X) I(2,X)
I：无穷远点处发散
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
K：零点处发散
K(0,X) K(1,X) K(2,X)
0.5
1
1.5
2
2.5
数学上：沿x/y方向分布函数分离，得到平面波；沿r/φ方向分布函数分离，得到贝塞尔 光束；两者均为沿z均匀分布的波动方程的特解
9
柱谐函数 VS. 矩谐函数
坐标系变化了，场分布就变化了吗？ NO！——场分布的变化，来自于边界条件/初始条件的变化
倏逝场（指数函数） 驻波（虚指数函数） 倏逝场（指数函数）
光波导原理 FUNDAMENTALS OF OPTICAL WAVEGUIDES
—— CH4：光纤
THE POINT
对比柱坐标和矩形坐标下的波动方程 • 求解思路和过程 • “平面波”的差别 对比光纤和平面介质光波导 • 色散曲线、截面场分布等
2
光纤 边界条件
nx, y, z nr
光纤波导与平面光波导的异同 • 相同之处：折射率仍然是分层均匀的 • 不同之处：折射率突变的界面是曲面