专题 根与系数的关系
例1. 15
2
s ≥-
且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例3. 设22
3,A βα
=
+22
3,B αβ=
+ 31004A B += ①
A B -= ② 解由① ②联立的 方程组得
1
(4038
A =-
例 4. 0,s ≠Q 故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又1
1,,st t s ≠∴Q 是一元二次方
程 299190x x ++=的两个不同实根, 则11
99,19,t t s s +=-=g 即199,19.st s t s +=-=
故
41994519st s s s
t s
++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20
(2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+g 易知3,2x y 是一元二次方程
22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,
由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥
解得a ≥故正实数a
的最小值为
(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,
6x y xy +=⎧⎨=⎩
或
6,()xy 11.
x y +=⎧⎨
=⎩舍原式=()()2
22222212499x y x y xy x y +-++=． 例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，
且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c
x x a =，
由0=，
得
0b c
a a +=，
)12120x x x ++=，
解得2x =
假设2x ，
由10x ＜
推得3-不成立，
故2x 假设21x ≥，
1，由10x ＜推
得10x ，矛盾．故21x ＜，综上所
述
21x ＜．解法二：设()2f x ax bx c =++
，由条件得)
b =，
得
)
33
55
f a c a c
=++=-++=，
(
)
1
f a b c a a c⎤
=++=-
⎦
．若a＞0，0
c＜，
则0
f＜，()10
f＞；若a＜0，0
c＞
，则0
f＞，()10
f＜．∴0
ac＜
时，总有()10
f f.＜，故原方程必
1之间．
A级1．3 2．2 3．-2 m＞2 0＜m≤
1
8
3
提示：
1
2
x-
＞，
2
2
x-
＞与
12
4
x x
+-
＞，
12
4
x x⋅＞不等价．
4．
10013
4016
-提示：由条件得2
n n
a b n
+=+，2
2
n n
a b n
⋅=-，则()()()
2221
n n
a b n n
--=-+，
则
()()
2
1111
2221
n
a b n n
⎛⎫
=--
⎪
--+
⎝⎭
．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2
=2120
m
∆-+＞（2）
2
124
m
x x=-≤0，m=4或m=0．10．（1）
4
3
k-
＞且0
k≠（2）存在k=4 11．由题意得2
m n
=，22
4840
n m n
--+＜．当n=1时，m=2；当n=2时，m=4．12．设方程两根为
1
x，2
x，则12
12
,
.
x x mn
x x m n
+=
⎧
⎨
=+
⎩
∵m，n，
1
x，
2
x均为正整数，设
12
1
x x
≥≥，1
m n
≥≥，则
()
1212
x x x x mn m n
+-=-+，即有()()()()
12
11112
x x m n
--+--=，则
()()
()()
12
112,1,0,
110,1,2.
x x
m n
⎧--=
⎪
⎨
--=
⎪⎩
∴
1
2
3,2,5,
2,2,1,
5,2,3,
1,2,2.
x
x
m
n
=
⎧
⎪=
⎪
⎨
=
⎪
⎪=
⎩
故
5,2,3,
1;2; 2.
m m m
n n n
===
⎧⎧⎧
⎨⎨⎨
===
⎩⎩⎩
B级1．0 提示：由条件得2
11
30
x x
+-=，2
22
30
x x
+-=，∴2
11
3
x x
=-，2
22
3
x x
=-，∴
()
32
11111111
333343
x x x x x x x x
=-=-+=-+=-，
∴原式=()()
121212
434319431241944
x x x x x x
---+=--++=++．又∵
12
1
x x
+=-,∴原式=0．2．
8
5
3．5 4．
63
8
-提示：()2
=240
a
∆-+＞，原式=
2
96363
2
488
a
⎛⎫
----
⎪
⎝⎭
≤．5．D 6．C 7．B 8．B 9．()231
αβαβ
+-=，由根与系数关系得()241
a b ab
+-=，即()21
a b
-=，
a -
b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()2
4a b +≤，得满足条
件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104
4
47αβ+=，66
22
48p αβαβ-==-，
()224422
7q αβαβαβ-=
=-．
11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．
(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c a
a b c d a b c b c d
+++-+++++-+++=-++++++…+
77777.b c d b c d M c d a d a b a b c +-+-+-=-++++++ （2）原式=
()()
()()
2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c d
a b c
+++-+++++-+++=++++…+
()()22227774968M a b c d M --+++=-．
12．（1
）m =． （2）原式=()()()222
1212122
1212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝
⎭．
∵11m -≤≤,∴当m =-1时，
22
121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵
,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而
2123αβ+=⎧⎨
+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156
a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，∴3a b c ++=-或29．。