高三数学模拟试卷及答案
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分160分.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1.集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{1,2,3,4}B =，则A B =_____. 答案：{1,3}
解：因为21,k k Z -∈表示为奇数，故A B ={1,3}
2.已知复数z a bi =+(,)a b R ∈，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b +=____. 答案：-8
解：2iz ai bi b ai =+=-+，所以1,9a b ==-，所以8a b +=-
3.某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟. 答案：7.5 解：
76+147+158410
7.5714154
⨯⨯⨯+⨯=+++
4.函数()(1)3x f x a =--(1,2)a a >≠过定点________. 答案： (0,2)-
解：由指数函数的性质，可得()(1)3x f x a =--过定点(0,2)-
5.等差数列{}n a （公差不为0），其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____. 答案：4
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得: 2216a a a =，则2111(+)(5)a d a a d =+ 整理得13d a =，2114a a d a =+=，所以2
1
=4a a
6.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____. 答案：12
解：23241=2
C C
7.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =,2AD =，11AA =，E 为BC 的中点，则点A 到平面1A DE 的距离是______.
答案：
63
解：1
111211=323A ADE S -=⨯⨯⨯⨯三棱锥，1
1623=
22
A DE S ∆=⨯⨯ 1161=323A A DE S h -=⨯⨯三棱锥，解得6
=
3
h 8.如图所示的流程图中，输出n 的值为______. 答案：4
9.圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为_____. 答案：22(3)4x y -+=
解：22:(1)(2)4C x y ++-=的圆心为(1,2)-，关于21y x =-对称点设为(,)x y 则有：
212122
21
12y x y x +-⎧=⨯-⎪⎪⎨
-⎪=-⎪+⎩
，解得30x y =⎧⎨=⎩，所以对称后的圆心为(3,0)，故22(3)4x y -+=.
10.正方形ABCD 的边长为2，圆O 内切与正方形ABCD ，MN 为圆O 的一条动直径，点P 为正方形ABCD 边界上任一点，则PM PN ⋅的取值范围是______. 答案：[0,1]
11.双曲线22
:143
x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右
支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 角圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____. 答案：34
-
12.对于任意的正数,a b ，不等式222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，则k 的最大值为_____. 答案：22
13.在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>，点D 在线段BC 上，且13
CD CB =,若1
tan 2
DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为_____. 答案：3
14.函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是_____.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （本小题满分14分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的分别为,,a b c ，向量(23,3)m a b c =-，向量
(cos ,cos )n B C =，且m n ∥.
（1）求角C 的大小；
（2）求sin +3sin()3
y A B π
=-的最大值.
16. （本小题满分14分）
在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD ∆为锐角三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥. （1）求证：OE ∥平面PAB ； （2）求证：CD PA ⊥.
17. （本小题满分14分）
已知椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点
5
(2,)3
，过点2F 且不行与坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M . （1）求1
PFQ ∆的周长； （2）求1PF M ∆面积的最大值.
18.（本小题满分16分）
一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD(如图所示) ,其中AD≥AB.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3,深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元
(1)求发酵池AD边长的范围;
(2)在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 米的走道(b 为常数).问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆古地面积最小.
19.（本小题满分16分）
已知{}n a ，{}n b 均为正项数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且112
a =，11
b =，22b =，
当2n ≥，*n N ∈时，112n n S a -=-，221111
2()
2n n n n n n T T b T b b --+--=
-+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设2(2)n n
n n n
b a
c b b +=
+，求数列{}n c 的前n 项和n P .
20.（本小题满分16分）
设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x （12x x <）. （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）求证：12x x ⋅随着
2
1
x x 的增大而增大.
附加题，共40分
21．【选做题】本题包括A，B两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换
已知a，b R
∈，矩阵A＝
a b
c d
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为
1
1
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，
点P(﹣2，1)在A对应的变换作用下得到点P′(﹣1，2)，求矩阵A．B．选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C 1：4cos 4sin x y θθ
=⎧⎨=⎩，（其中θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为cos()233
πρθ-=，设曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求AB 的长．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面AEB ，O 为AB 的中点, ∠AEB ＝90°， ∠EAB ＝30°，AB ＝23，AD ＝3．
（1）求异面直线OC 与DE 所成角的余弦值；
（2）求二面角A —DE —C 的正弦值．
23．（本小题满分10分）
对于任意的x ＞1，N n *∈，用数学归纳法证明：1n
x x e n ->！
．。