8 l
9
可以使用线性单元的 简化方法
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q
1 2 3
单元①荷载作用在1-2边上，故等 效结点力只与1、2号结点有关， 形函数
①
4 5
②
6
N1 (1 )
N 2
7 l
8 l
9
0 线性分布面力 q q
{FS } [ N ] {qS }hds
l
η
1 η=1 2
ξ=1
1 4 5
ξ
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单元②形函数
2 2 s 3
s N2 l
N3 1
s l
N6 0
6
s 0 1 l T Fs N qs ds s l l 0 1 l
0 q s s q l
7
3
三角形单元族插值 函数构造及变节点 数法联合运用
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1
1 x y xy x2y x3y x2y2 xy2 xy3 y2
完全一次 完全二次
9
4 5 10
x2
8
x3
3
y3 完全三次 y4
2
x4
6
7
•Pascal三角形
u 1 2 x 3 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 7 x 3 8 x 2 y 9 xy 2 10 y 3 2 2 3 2 2 3 v x y x xy y x x y xy y 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1
2
3
4
5
6
7 l
8 l
9
平衡所用到的的量均要属于节点的量，如单元位移、单元力。 载荷亦应如此，必须将体积力、表面力转化到节点上去，成 为等效荷载（载荷）。
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把总等效荷载 R e分解成体积力、表面力和集中力的等效荷 载之和，有 {R}e {FV } {FS } { pc } FV——单元上体积力的等效荷载 FS——单元上表面力的等效荷载 pC——单元上节点上的集中力 1、体积力的等效荷载
N5 4 ( 1), N6 4 ( 1)(1 )
b
q
6
8
N7 4 ( 1)(1 ), N8 4 ( 1)
x
3
7
4
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（2）荷载作用在2-3边上，故等效结点力只与2、6、3号结点 有关
N 2 ( 1)(2 2 +1), N 6 4 ( 1)(1 ), N 3 (1 )( 1)(2 2 1)
y a 2 5 1
q
6
8
b
3
7
4
x
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y a 2 5 1
1 x x2 x3
8
b
y xy y2 xy2 x2y2 xy3
完全一次 完全二次
q
6
x2y x3y
y3 完全三次 y4
x4
3 7 4 x
•Pascal三角形
2 2 2 2 u x y x xy y x y xy 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2 2 2 v x y x xy y x y xy 9 10 11 12 13 14 15 16
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2 2 2 2 u 1 2 x 3 y 4 x 5 xy 6 y 7 x y 8 xy 2 2 2 2 v x y x xy y x y xy 9 10 11 12 13 14 15 16
y a 2 5 1
在 0边上计算
q
6
8
3
7
4
x
Ni N 6 N 3 N 2 4 1, 4(1 2 ), 4 3 x 0, N b N N y 0 3 6 b 2 2, 2
l T
η
1 η=1 2
1 4 5
ds ld
ξ
ξ=1
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q
1 2 3
在 1边上
②
N1 1
N2
1 2
①
4 5
6
ql P2 y N 2 q y ds ql d 3 l 0
7 l
8 l
9
P2 x N 2 qx ds 0
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x y 局部坐标 , a b
N1 (2 +2 3), N 2 ( 1)(2 2 +1) N 3 (1 )( 1)(2 2 1), N 4 (2 -2 +1)( 1)
y a 2 5 1
s l 0 0 0 0 s 0 0 l
T
0 T ql 1 2 s ds 0 0 0 0 q 2 3 3 l
0 R ql 2 故结点2的等效荷载列阵为 2 3
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3，图中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元①按局部 编码i , j , m 的单元刚度矩阵和应力矩阵是
{FV } [ N ]T {qV }hdxdy
A
2、表面力的等效荷载
{FS } [ N ] {qS }hds
l
T
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q
3，某平面结构采用四结点矩形 单元和三结点三角形单元建立有 限元计算模型，其如图所示。试 求结点2的等效荷载列阵{R2}。
1
2
3
①
4 5
②
6
7 l
x1 N1 N 2 N 3 N 4 x2 J , , , 1 x3 x4
1 1 1 1
1 2 (8 12 1) 6 4 (3 2 1) 1 3 1 2 [k ] E (8 12 1) 4 6 1 (3 2 1) 3 1 2 (8 12 -1) 6
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（1）构造不考虑边结点和内部结点的角结点的插值函数：
ˆ L ,N ˆ L ,N ˆ L N 1 1 2 2 3 3
N1 N 2 N 3 N 4
1 (8 12 2 1), 6 4 (3 2 1), 3 4 (3 2 1), 3 1 (8 12 2 1) 6
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(b)一维问题中，单元刚度矩阵
[k ] [ B]T [ D][ B] J d E [ B]T [ B] J d
4 (3 2 1) 3
4 (3 2 1) 3
1 (8 12 2 -1) 1d 6
整体坐标非自然坐标结果如何？
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1
8，试利用变结点数法构造 插值函数，构造出如图所 示的三次三角形单元的形 函数及相应的位移函数。
2
4 5 10
9 8
6
6 2 6 8 0 6 16 6 12 6 4 13.5 9 7.5 3 13.5 3 1.5 对 称 9.5 3 5.5
i i 1 j m
m 2 j
K (1)
S (1)
0 3 0 0 0 3 0 4 0 3 0 1 2 0 1.5 1.5 0.5 1.5
计算力学习题讲解
东南大学土木工程学院 2018.1 东南大学土木工程学院
1，试述弹性力学中按位移求解与有限元单元法中按位移求解 之间的异同点。
弹性力学
物理模型 基本方程 解法 连续体 几何方程 物理方程 平衡微分方程 解微分方程
有限单元法
离散化结构 几何方程 物理方程 结点平衡方程 解代数方程
解答形式
b c
a
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（1）考虑每个结点有两个自由度，半带宽d=（相邻结点 码的最大差值+1）*节点自由度数
bb
5 (4) 4 (2) 2 (1) 1 (3) 3 (7) 6 (11) (8) (5) 7 (9) (6)
cc
8
(10)
11 (12) 10
aa
9
故结点编号如图所示可使单元内结点编码相差3，使 得带宽d=12(按每节点3自由度假定）。
x
1
1
q
6
8
b
3
7
4
P2 x t N 2 qx ds 2qt N 2 d
s 0
1
qt 3
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5，如图所示刚架 （1）如何进行结点编号使整体刚度矩阵[K]的带宽最小？ （2）刚架的整体刚度矩阵中a结点的总体刚度矩阵Kaa和总 体刚度矩阵Kbc各由哪些分块矩阵叠加组成（自行确定单元 局部坐标方向）
按图中所示单元②的局部 编码写出单元刚度矩阵和 应力矩阵。
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平面问题的单元刚度矩阵[k]不随单元（或坐标轴）的平行 移动或作n角度（n为整数）的转动而改变。S阵变号
东南大学土木工程=b=2，单元厚度为t。 （1）求该单元的位移函数和形函数，并检验其是否满足收 敛性条件。 （2）求在2-6-3边作用均布水平荷载q时的等效结点荷载。
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s
-1 1 -1/2 2 1/2 3 1 4
(a)由拉格朗日插值函数可知：