20. （本小题满分16分）设k 为正整数，若数列{a n }满足a 1＝1，且 (a n ＋1－a n )2＝(n ＋1)k （n ∈N*），称数列{a n }为“k 次方数列”. （1）设数列{a n }(n ∈N*)为“2次方数列”，且数列{a nn}为等差数列，求a 4的值；（2）设数列{a n }(n ∈N*)为“4次方数列”，且存在正整数m 满足a m ＝15，求m 的最小值； （3）对于任意正整数c ，是否存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*)和正整数p ，满足a p ＝c .20. 对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,max{21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ； （2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）. 求证：k k a b =（k =1,2,…,m ）；（3）设m =100，常数)1,(21∈a .若n an a n n n 2)1()1(2+--=，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b -++-+- .20.（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……2分 （2）因为},,,max{21k k a a a b =，},,,,max{1211++=k k k a a a a b ， 所以k k b b ≥+1. ……4分 因为C b a k m k =++-1，C b a k m k =+-+1，所以011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1.因此，k k a b =. ……6分 （3）对25,,2,1 =k ，)34()34(234-+-=-k k a a k ；)24()24(224-+-=-k k a a k ； )14()14(214---=-k k a a k ；)4()4(24k k a a k -=.比较大小，可得3424-->k k a a . ……8分因为121<<a ，所以0)38)(1(2414<--=---k a a a k k ，即1424-->k k a a ； 0)14)(12(2244>--=--k a a a k k ，即244->k k a a . 又k k a a 414>+，从而3434--=k k a b ，2424--=k k a b ，2414--=k k a b ，k k a b 44=. ……12分因此)()()(1001002211a b a b a b -++-+-=)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k -++-++-+-+--- =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k -++-++-+-+--- =∑=---2511424)(k k k a a=∑=--251)38()1(k k a =)1(2525a -. ……16分19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n S ＝2－n a ，n ＝1，2，3，…． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1b ＝1，且1n b +＝n b ＋n a ，求数列{}n b 的通项公式； （3）设n c ＝n (3－n b )，求数列{}n c 的前n 项和为n T ． 19．（1）因为n ＝1时，1a ＋1S ＝1a ＋1a ＝2，所以1a ＝1． 因为n S ＝2－n a ，即n a ＋n S ＝2，所以1n a +＋1n S +＝2．两式相减：1n a +－n a ＋1n S +－n S ＝0，即1n a +－n a ＋1n a +＝0，故有12n a +＝n a ． 因为n a ≠0，所以1n n a a +＝12( n ∈*N )． 所以数列{}n a 是首项1a ＝1，公比为12的等比数列，n a ＝112n -⎛⎫⎪⎝⎭( n ∈*N )．（2）因为1n b +＝n b ＋n a ( n ＝1，2，3，…)，所以1n b +－n b ＝112n -⎛⎫⎪⎝⎭．从而有21b b -＝1，32b b -＝12，43b b -＝212⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，1n n b b --＝212n -⎛⎫⎪⎝⎭( n ＝2，3，…)．将这n －1个等式相加，得n b －1b ＝1＋12＋212⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋212n -⎛⎫⎪⎝⎭＝1112112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭-＝2－1122n -⎛⎫⎪⎝⎭．又因为1b ＝1，所以n b ＝3－1122n -⎛⎫⎪⎝⎭( n ＝1，2，3，…)．（3）因为n c ＝n (3－n b )＝1122n n -⎛⎫⎪⎝⎭，所以n T ＝022111111223(1)22222n n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． ① 12n T ＝123111111223(1)22222n nn n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． ② ①－②，得12n T ＝021111122222n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦－122nn ⎛⎫⎪⎝⎭．故n T ＝1124112n⎛⎫- ⎪⎝⎭-－142n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝8－82n －142nn ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝8－1(84)2n n +( n ＝1，2，3，…)．19．（本小题满分16分）若有穷数列12,,,(n a a a n ⋅⋅⋅是正整数），满足1211,,,n n n a a a a a a -==⋅⋅⋅=即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤）就称该数列为“对称数列”.（Ⅰ）已知数列{}n b 是项数为7的“对称数列”，且1234,,,b b b b 成等差数列，235,7b b ==，试写出{}n b 的每一项；（Ⅱ）已知数列{}n c 是项数为100的“对称数列”，且5152100,,,c c c ⋅⋅⋅构成首项为2，公差为3的等差数列，求数列{}n c 的前n 项和为(1,2,3,,100)n S n =⋅⋅⋅；（Ⅲ）对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的“对称数列”，使得1，2，22，…，12m -成为数列中的连续项；当1200m >，试求其中该数列的前2009项的和2009T .19、解：（I ）设1234,,,b b b b 公差为d ，由115,27b d b d +=+= 得13,2b d ==……1分数列{}n b 为3，5，7，9，7，5，3，……2分（II ）223301,(150)2232997500,(51100)22n n nn S n n n ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩； （III ）所有可能的“对称数列”是①1，2，222122...2,2,2,...2,2,1;m m m --- ②221121,2,2,...2,2,2,2,...2,1m m m m ---- ③122212,2,...2,2,1,2,2,...2m m m ---④1222212,2,...2,2,1,1,2,2,...2,2m m m m ----……9分当221222010200912201012002008,122...222 (222)2 1...11m m m m m m m m S ------<≤=++++++++=+--时分对于②当2200820092009122...221m ≥=++++=-2009时S当221122009220092200922200912002008,S 12+2+...+2222+...+2212222112m m m m m mmm m m m ------+-<≤=++++=-+-=--时。

分对于③当2009m ≥时，1220092009200922...222;m m m m m S ----=+++=-当122200920091200200822...2122...221m m m m m S ---<≤=++++++++=-时，201020102222 3......13m m m --+-=+-分对于④当2009m ≥时，1220092009200922...222;m m m m m S ----=+++=-当122008-m 2009200912002008=2+2+...+2+1+1+2...+2222214m m m m mm ---<≤==+-时，S 。

分20.（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，数列{}n b ，{}n c 满足2n n na b a +=，21n n n c a a +=． （1）若数列{}n a 为等比数列，求证：数列{}n c 为等比数列；（2）若数列{}n c 为等比数列，且1n n b b +≥，求证：数列{}n a 为等比数列． 20．解：（1）因为数列{}n a 为等比数列，所以1n na q a +=（q 为常数）， 所以2311221n n n n n n c a a q c a a ++++==为常数，所以数列{}n c 为等比数列； （2）因为数列{}n c 是等比数列，所以1n nc q c +=（q 为常数）， 所以221122211n n n n n n n n n c a a a q c a a a a ++++++===．则2242231n n n n n n a a a a a a +++++=． 所以2423221n n n n n n a a a a a a +++++=，即221n n n b b b ++=．。