洛必达法则的模型
0 0 f ( x) lim f ′( x) lim 0 ∞ x→ x 基本型 、 )0 F ( x) ∞ (xx→ x)0 F ′( x) →∞ 0 ∞ ( x→∞ ∞ 0 0 lim f ′′( x) x → x0 ′′ ( F ( x) . 分子、分母求导后要及时化简). ( x→∞ ) ∞ ∞
其根的方法. 四、证明方程 ( f ( x) = 0)其根的方法.
1、存在性：根据所证的结论(式子)变形构造 相应的函数F ( x), 如果F ( x)在[a, b]上连续且在 端点处F (a )、F (b)异号, 则由“零点定理”必有 根存在.。 难题则通常综合运用“零点定理 + Lagrange定理.”或“积分中值定理 + Rolle 定理”来证明。
= e
x → x0 ( x →∞ )
lim
ln f ( x ) 1 g (x)
式是定式 时要先算出其极限，剩 下的为未定式, 以利于运用洛必 达法则计算极限 .
二、讨论函数连续性的方法
1、初等函数用连续定义 lim f ( x) = f ( x0 ) 或 x→ x 0 lim y = 0讨论；
2、唯一性则利用单调性 或反证法证明。
掌握“最大最小值”定理、 五、掌握“最大最小值”定理、介值定 理。
x →0
初等函数在其定义区间内连续.
2、分段函数的分段点处 用连续的充要条件 (或用连续定义)加以讨论.
三、讨论函数间断点方法
1、凡使初等函数无定义的孤立点为函数的间 、 断点（通常是：分母为0的点或分子 的点或分子、 断点（通常是：分母为 的点或分子、分母无 定义的点）； ）；分段函数分段点是否为间断点 定义的点）；分段函数分段点是否为间断点 则用定义或连续的充要条件加以判定； 则用定义或连续的充要条件加以判定； 2、若是间断点，再判别是第一类间断点（跳 、若是间断点，再判别是第一类间断点（ 跃间断点、可去间断点） 跃间断点、可去间断点）还是第二类间断 无穷间断点、 点（无穷间断点、振荡间断点等单侧极限 不存在的点）。 不存在的点）。
[0, ∞ ] 0 ∞ 其它类型 1) 转化为 或 求解； [∞ ∞ ] 0 ∞
2) 0 、 、 1 ∞
0
[ ] [ ] [ ]转化
∞ 0
x → x0 ( x →∞ )
x → x0 ( x→ ∞ )
lim
f (x)
g (x)
lim
= e = e
g ( x ) ln f ( x )
高等数学理论及解题方法的 归纳与总结
黄新耀 副教授 博士、 李少白 博士、副教授
第一章
函数与极限
一、求极限常用的方法 （1）利用极限四则运算法则求极限； ）利用极限四则运算法则求极限； （2）利用两个“重要极限公式”求极限； ）利用两个“重要极限公式”求极限； （3）利用“无穷小等价代换”求极限； ）利用“无穷小等价代换”求极限； （4）利用“有界函数与无穷小的乘积仍是无穷 ）利用“ 小” 以及“夹逼准则”求极限； 以及“夹逼准则”求极限； （5）利用连续性及连续的充要条件求极限； ）利用连续性及连续的充要条件求极限； （6）利用“洛必达法则”+（2）+（3）求极限。 ）利用“洛必达法则” （ ） （ ）求极限。