1、在极坐标系下,已知圆O：ρ＝cos θ+siｎθ和直线l:ρsin错误!＝错误!(ρ≥0,0≤θ＜2π).(１)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈（0，π)时,求直线ｌ与圆O的公共点的极坐标．解：(1)圆O：ρ＝cos θ+sin θ，即ρ2=ρcoｓθ＋ρsin θ，故圆Ｏ的直角坐标方程为x2+y2－ｘ-y=0,直线l：ρsin错误!＝错误!，即ρsｉn θ－ρcos θ＝１，则直线l的直角坐标方程为x-y+1＝0．（2）由（1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得错误!解得错误!即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1),将(0,１)转化为极坐标为错误!即为所求.2、已知圆O１和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝２，ρ2-22ρ·cｏｓ错误!＝２．(1)把圆Ｏ1和圆O２的极坐标方程化为直角坐标方程;（2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.解：（1)由ρ=2知ρ2=4,所以圆O1的直角坐标方程为x２+y2＝４.因为ρ2-2＼r（2)ρcos错误!=2，所以ρ2-22ρ错误!＝２，所以圆O２的直角坐标方程为x2＋y２－２x－2y－2＝0．(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y＝１.化为极坐标方程为ρcｏｓθ＋ρsiｎθ=1,即ρｓｉｎ错误!＝错误!.3、(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xＯy中,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C１的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)Ｍ为曲线Ｃ1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OＭ|·｜ＯP|＝16，求点Ｐ的轨迹C2的直角坐标方程;(２)设点A的极坐标为错误!，点B在曲线C2上,求△ＯAB面积的最大值．解:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞０)．由题设知｜OP|=ρ,|OM|=ρ1＝错误!.由|OM｜·|ＯP|=16,得C２的极坐标方程ρ＝４coｓθ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(ｘ-2）2＋y2＝４(x≠０)．（2)设点B的极坐标为(ρB,α)（ρB＞0)，由题设知|OA|＝２，ρB＝4cos α,于是△OAＢ的面积S＝错误!|ＯA|·ρB·sin∠AＯB=4cos α·错误!=２错误!≤2+错误!.当α=-错误!时,S取得最大值２+错误!.所以△OAB面积的最大值为2＋＼r(3）.４、(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xＯｙ中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-１)２+(y-2)2＝１,以坐标原点为极点,ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求Ｃ1，C2的极坐标方程；（2）若直线C３的极坐标方程为θ=π４(ρ∈R),设C２与C3的交点为M,Ｎ，求△C２ＭＮ的面积. 解:(1)因为x=ρcosθ，y＝ρsinθ,所以Ｃ１的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρｃｏｓθ-4ρｓin θ＋4＝０．(２)将θ＝π4代入ρ2-2ρcｏs θ-４ρｓｉn θ+4＝0,得ρ2-3＼r(2)ρ+４=０，解得ρ1＝22，ρ2= 2.故ρ1-ρ2=＼r（２),即|ＭN|＝错误!.由于Ｃ2的半径为1，所以△C2MN的面积为错误!.5.(2０16·全国卷Ⅰ）在直角坐标系ｘOy中，曲线C1的参数方程为错误!(ｔ为参数，a>0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:ρ=4cosθ.(１)说明Ｃ1是哪一种曲线，并将Ｃ１的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α０满足tａn α0=2,若曲线Ｃ1与C2的公共点都在C3上，求a.解：(1）消去参数ｔ得到C1的普通方程为x2+(y-1)2＝a2,则C1是以（0,1)为圆心,a为半径的圆．将x＝ρcos θ,y＝ρsiｎθ代入C1的普通方程中，得到Ｃ1的极坐标方程为ρ２－2ρsin θ+1-a２=０.(2)曲线Ｃ１,C2的公共点的极坐标满足方程组错误!若ρ≠0,由方程组得16ｃｏs2θ-8sｉn θcｏs θ＋1-ａ２=0,由已知tan θ＝2,可得１6cｏs２θ-8sｉn θcos θ=0,从而1－ａ2＝0，解得a＝-1（舍去)或a＝1．当ａ＝1时,极点也为C1,C２的公共点,且在C3上．所以ａ=1.6．(２0１8·洛阳模拟)在直角坐标系xOy中，圆Ｃ的方程为x2＋(ｙ－2)2=4．以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线ｌ的极坐标方程是2ρsiｎ错误!＝5错误!，射线OM：θ=错误!与圆C的交点为Ｏ，Ｐ,与直线ｌ的交点为Ｑ，求线段PQ的长．解：(1)将ｘ＝ρｃos θ，y＝ρsｉn θ代入x2＋(y－２）２＝4,得圆C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)设P(ρ1,θ1)，则由错误!解得ρ1＝２，θ1=错误!.设Ｑ(ρ2，θ2），则由错误!解得ρ2=5,θ2=＼ｆ（π,6)．所以|PＱ|=ρ２-ρ1=3.7.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcoｓ错误!=１,M，N 分别为C 与ｘ轴,y 轴的交点.(１)求C 的直角坐标方程，并求M ,N 的极坐标；(2）设ＭN 的中点为P ,求直线O Ｐ的极坐标方程.解:(1)由ρcos 错误!＝１得ρ错误!=１.从而C 的直角坐标方程为错误!x ＋错误!y ＝1,即x ＋错误!ｙ＝2.当θ=０时,ρ＝2,所以M (２,０）.当θ=错误!时,ρ＝错误!,所以N 错误!．(2)由(1)知Ｍ点的直角坐标为(2,０）,N 点的直角坐标为错误!.所以P 点的直角坐标为错误!，则Ｐ点的极坐标为错误!，所以直线ＯP 的极坐标方程为θ＝错误!（ρ∈Ｒ）．8.(２0１８·福建质检)在直角坐标系xOy 中,曲线C １的普通方程为（x －2)2＋ｙ2＝4，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线Ｃ2:ρ=２sin θ，曲线C 3：θ＝错误!(ρ>０),A (2,０).（1)把C 1的普通方程化为极坐标方程;(2)设C 3分别交C １，C 2于点P ，Q ，求△ＡＰQ 的面积．解：(1)因为Ｃ１的普通方程为（ｘ－2）2+y 2＝4,即ｘ2＋ｙ2-4x ＝０，所以C 1的极坐标方程为ρ２－4ρcos θ＝0,即ρ=4ｃos θ.(2)依题意,设点Ｐ，Q 的极坐标分别为错误!,错误!．将θ＝＼f(π,6)代入ρ＝4c ｏs θ,得ρ1=23,将θ＝错误!代入ρ=2si ｎ θ,得ρ２=1,所以|ＰQ |=|ρ１-ρ２｜=2错误!-１.依题意,点A （２,０)到曲线θ=错误!（ρ＞0)的距离d ＝|ＯA |sin ＼f （π,6)＝1，所以Ｓ△A ＰＱ＝错误!|P Ｑ｜·d =错误!×(2错误!-1)×1＝错误!-错误!.9．(2018·贵州适应性考试）在以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线Ｃ1的极坐标方程为ρ=4cos θ，曲线C ２的极坐标方程为ρcos 2θ=si ｎ θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2）过原点且倾斜角为α错误!的射线ｌ与曲线C １，Ｃ２分别相交于Ａ，B 两点(A ,B 异于原点),求｜OA |·|OB |的取值范围.解：（1)由曲线C 2的极坐标方程为ρco ｓ2θ=s ｉn θ,两边同乘以ρ，得ρ2co ｓ２θ=ρｓｉｎ θ，故曲线C 2的直角坐标方程为x ２＝y ．（2)射线l 的极坐标方程为θ=α，错误!＜α≤错误!,把射线ｌ的极坐标方程代入曲线C 1的极坐标方程得|O Ａ｜=ρ＝4ｃos α,把射线ｌ的极坐标方程代入曲线C 2的极坐标方程得｜ＯＢ|＝ρ=sin αcos 2α, ∴｜OA |·|OB |=４ｃｏs α·＼f （sin α,co ｓ2α)＝４ｔan α.∵＼f （π,6)<α≤π４, ∴｜ＯＡ|·|OB |的取值范围是错误!.（1)过点M (ｘ0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为错误!(t 为参数).(2)圆心在点Ｍ0(ｘ0,y ０)，半径为ｒ的圆的参数方程为错误!(θ为参数)．(3）椭圆错误!+错误!＝1(a >b >0)的参数方程为错误! (φ为参数).(4)双曲线＼f(x 2，a 2)-y 2b ２＝1(a ＞0,ｂ>０）的参数方程为错误! (θ为参数).10、(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为错误!(θ为参数），直线l 的参数方程为错误!(t 为参数）．(1）若a ＝－1,求Ｃ与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17,求ａ．解:(1)曲线Ｃ的普通方程为ｘ29+ｙ２＝1.当a ＝－1时，直线ｌ的普通方程为x +4y －3=0,由错误!解得错误!或错误!从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，错误!.（２)直线l 的普通方程为x ＋4y -a -4＝０,故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d =|3ｃos θ+４ｓｉｎ θ－a －4|１7． 当a ≥－４时,d 的最大值为错误! ．由题设得错误!＝错误!,解得a ＝8;当a <-4时，d 的最大值为＼f(-a ＋１,＼r(17）).由题设得错误!＝错误!,解得ａ＝-1６.综上，ａ=8或a =-16．2．结论要记根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论:过定点M 0的直线与圆锥曲线相交,交点为M 1,M 2,所对应的参数分别为ｔ1，t 2.(1）弦长ｌ＝|t 1－ｔ2｜;(2)弦M 1M 2的中点⇒t 1+ｔ２＝０；(3)｜Ｍ0M １||M 0Ｍ２｜＝|t １ｔ2|.1１.(２０18·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为错误!（t 为参数)，直线ｌ与曲线C :错误! (θ为参数）相交于不同的两点A ，Ｂ．(1)若α＝＼f(π,3），求线段AB 的中点的直角坐标;(2)若直线l 的斜率为2,且过已知点P （3,0）,求|ＰA |·|ＰB |的值.解:(１）由曲线Ｃ：错误! (θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是ｘ2-y 2=1.当α＝＼ｆ（π,3)时,直线l 的参数方程为错误!(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t -１6=0,得ｔ1+ｔ2＝6,所以线段AB 的中点对应的t =错误!＝3，故线段AB的中点的直角坐标为错误!.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得(cos２α-siｎ２α)ｔ２+6cos αt+8=０，则|PA|·|PB|＝|t1ｔ2|＝错误!＝错误!,由已知得tanα＝2,故|PA|·|PB|＝错误!．12.(2018·石家庄质检)在平面直角坐标系ｘOy中,圆C的参数方程为错误!(t为参数),在以原点O为极点，ｘ轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcｏs错误!＝-错误!.(1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设直线l与ｘ轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆Ｃ上任意一点，求A，B两点的极坐标和△ＰＡB面积的最小值.解:(1)由错误!消去参数t,得（x＋5）2＋(ｙ-3)2＝2,所以圆Ｃ的普通方程为(x+5)2+(y－3)2＝２.由ρｃｏｓ错误!=-错误!,得ρcosθ-ρsｉnθ＝－2，所以直线l的直角坐标方程为x－ｙ+2＝０.(２)直线ｌ与ｘ轴，y轴的交点分别为A(-２，０）,B（0,2），化为极坐标为Ａ(2，π)，B错误!，设点P的坐标为(－５＋2cｏs t，3＋错误!sｉn t),则点P到直线l的距离为d＝错误!＝错误!.所以d min=４2＝2错误!,又|AB|＝2错误!．所以△ＰAB面积的最小值是S＝错误!×2错误!×２错误!=４.１３、在平面直角坐标系ｘOy中,以Ｏ为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的极坐标为错误!,曲线Ｃ的参数方程为错误!(α为参数)．（１）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；（2)若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l:ρｃos θ＋2ρｓin θ+1＝０距离的最小值．解:(1)由ｘ=ρｃos θ,ｙ=ρsin θ,可得点P的直角坐标为(3,3),由错误!得ｘ2＋(y＋错误!)2＝4，∴曲线C的直角坐标方程为x２＋(y＋错误!)２＝4.（２）直线l的普通方程为x+2y+1=0,曲线C的参数方程为错误!(α为参数）,设Q(2ｃｏs α，－错误!＋２sinα），则M错误!，故点M到直线ｌ的距离d＝错误!＝错误!≥错误!＝错误!－1错误!,∴点Ｍ到直线l的距离的最小值为错误!-1.１4、．(２０17·全国卷Ⅲ）在直角坐标系ｘＯy中，直线l1的参数方程为错误!(ｔ为参数)，直线ｌ2的参数方程为错误!(m为参数）．设ｌ与l２的交点为P，当ｋ变化时,P的轨迹为曲线Ｃ.1(1)写出C的普通方程；(２)以坐标原点为极点,ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cｏｓθ＋ｓin θ)－2=0,Ｍ为l３与Ｃ的交点，求M的极径．解：(1)消去参数t，得l1的普通方程ｌ1：y＝k(x-2）,消去参数ｍ，得ｌ２的普通方程l２：y=＼f（1,k)(x＋2)．设P(ｘ,y），由题设得错误!消去k得x2－y2=4(y≠0）．所以C的普通方程为x2-y２=4（y≠０）．(2)C的极坐标方程为ρ2（cos2θ－sin2θ）＝4(0<θ＜２π,θ≠π).联立错误!得ｃoｓθ－sｉn θ=2(cosθ＋sinθ)．故taｎθ＝－错误!，从而cos2θ=错误!，sin2θ＝错误!.代入ρ2(coｓ２θ－ｓin2θ)=4得ρ2＝5,所以交点M的极径为＼r(5）.1５.（2０１８·武昌调研)在直角坐标系xＯｙ中,曲线C的参数方程为错误!(t为参数，a>0).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcｏs错误!＝-2错误!．(1）设P是曲线C上的一个动点，当ａ＝2时，求点Ｐ到直线l的距离的最小值；(２)若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．解:(１)由ρcｏs错误!=-2错误!，得＼f(＼ｒ(2),2）(ρcos θ－ρsｉｎθ）=－2错误!,化成直角坐标方程,得错误!(ｘ-ｙ)＝－２错误!，即直线l的方程为x－y+4=０.依题意，设Ｐ(2coｓt,2sin t），则点P到直线l的距离d=错误!＝错误!＝2＼ｒ(２)+2ｃos错误!.当cos错误!=－1时,d min＝2错误!－２.故点P到直线l的距离的最小值为22－2．(2）∵曲线C上的所有点均在直线l的右下方,∴对∀t∈R，有a cｏs t－2sin t＋4>0恒成立，即错误!ｃｏs(t+φ)＞－4错误!恒成立,∴＼r(ａ2+４)<4，又a>0，∴0<a<２ 3.故a的取值范围为(0,2错误!).1６.已知P为半圆C：错误!(θ为参数，０≤θ≤π)上的点,点Ａ的坐标为(1,０)，O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与C的弧ＡＰ的长度均为＼f（π，3).(1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标;(2）求直线AM的参数方程．解：(1)由已知,点M的极角为错误!，且点M的极径等于错误!,故点M的极坐标为错误!．(2）由(１)知点M的直角坐标为错误!，Ａ(1,0)．故直线AM的参数方程为错误!(t为参数)．1７.在平面直角坐标系xOy中,曲线C１过点P（a，1),其参数方程为错误!(t为参数,ａ∈Ｒ)．以O为极点,x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系,曲线C２的极坐标方程为ρcｏs2θ+4ｃｏｓθ-ρ＝0.(１）求曲线C1的普通方程和曲线C２的直角坐标方程;（2）已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点,且｜PＡ|＝２|PB|,求实数a的值．解:（１)∵曲线Ｃ１的参数方程为错误!∴其普通方程为x-ｙ-a+1=0.∵曲线Ｃ2的极坐标方程为ρcos2θ＋４cos θ-ρ=0，∴ρ2cos２θ+４ρcosθ－ρ2=0,∴ｘ2+4x－x2－ｙ2=0，即曲线Ｃ2的直角坐标方程为y2＝４x．(2)设A，B两点所对应的参数分别为ｔ1，t２,将曲线Ｃ１的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程,化简得２t2-2错误!t＋1-4a＝0.∴Δ=(-２＼r(２))2－4×２(1-4a)＞0,即a>0,t1+t２=＼r(２)，t1·t2＝＼ｆ（1－4a,2).根据参数方程的几何意义可知|PＡ|=２|t1｜，｜ＰＢ｜=2|t2|,又|PA|=２|PB|可得２|t1|=２×2|ｔ２|,即t1=２t2或t１＝－2t2.∴当t1＝2t2时,有错误!解得ａ=错误!,符合题意.当t1=-2t2时，有错误!解得a＝94,符合题意.综上，实数a=错误!或a＝错误!．３１8．(2018·贵阳模拟）在直角坐标系xOｙ中，曲线C1的参数方程为错误!(t为参数)，以坐标原点Ｏ为极点，ｘ轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线Ｃ2的极坐标方程为ρ＝2ｓｉn θ.(1)求曲线Ｃ1的普通方程和C2的直角坐标方程;（2)若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求当AB取最小值时△AOＢ的面积.解:(1)由错误!(t为参数)得C1的普通方程为(x－4)2+(y-5)2=9，由ρ＝2sｉn θ，得ρ2=2ρｓiｎθ，将x２+y2＝ρ２，y＝ρsｉn θ代入上式,得C2的直角坐标方程为x２+(y-1)2＝1.(２）如图,当A,Ｂ，Ｃ１，C2四点共线，且A，B在线段C1Ｃ2上时,｜AＢ|取得最小值，由(１)得C1(4,5),C2(0,1)，则kC1C２=错误!＝1，∴直线Ｃ1Ｃ2的方程为x-y＋1=0,∴点O到直线Ｃ１C2的距离d＝错误!=错误!，又|ＡB|=|C1Ｃ2｜－１-３=错误!-4＝4＼r（2）－４，∴S△AOＢ=错误!d|AB|＝错误!×错误!×(4错误!－4)=2－错误!.19.(２018·广州综合测试)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为错误!（t为参数)．在以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C:ρ=2２ｃｏs错误!.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.解：(１）由错误!(t为参数)消去t得x＋y-４＝０，所以直线ｌ的普通方程为x＋y－4=0．由ρ=2＼r（2)ｃos错误!＝2错误!错误!=2cｏｓθ＋2sｉnθ，得ρ２＝2ρcｏsθ+2ρsin θ.将ρ２＝x2+y２,ρcｏｓθ＝x,ρsｉn θ＝y代入上式,得x２＋y２＝2x＋２y,即(x－1)2+（y－1)２＝2．所以曲线C的直角坐标方程为（x－1)2+(y-1)2＝２.(２)法一:设曲线C上的点P(1+错误!coｓα,1＋错误!sin α）,则点Ｐ到直线l的距离ｄ＝＼f(|1＋２cｏs α+1+＼r(２)sｉn α－4|,＼r(2）)=错误!＝错误!.当sin错误!＝－1时,d mａx＝2错误!.所以曲线Ｃ上的点到直线l的距离的最大值为2 2.法二：设与直线l平行的直线l′：ｘ+y+ｂ＝0,当直线ｌ′与圆C相切时，错误!＝错误!，解得b＝0或ｂ＝－4(舍去),所以直线l′的方程为x＋y＝0.因为直线l与直线l′的距离ｄ=＼f(|0＋4|,＼ｒ(2)）=2错误!.所以曲线C上的点到直线ｌ的距离的最大值为２错误!.２0.在直角坐标系xOy中,曲线C1:错误!(t为参数，ｔ≠0）,其中0≤α＜π.在以O为极点,ｘ轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝２ｓin θ，C３:ρ=2错误!cos θ.(1）求C2与C３交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B,求|ＡB|的最大值．解:(１)曲线C2的直角坐标方程为ｘ2+y2-２y＝0，曲线C３的直角坐标方程为x2+y２－２错误!ｘ＝０.联立错误!解得错误!或错误!所以C2与C3交点的直角坐标为(０，0)和错误!．(2)曲线Ｃ1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α,α）,B的极坐标为(2＼ｒ(3)cｏs α,α)．所以|AB｜=｜2sin α－2３cｏｓα|=4错误!.当α=错误!时，|AB|取得最大值，最大值为４.21．已知直线L的参数方程为错误!(t为参数)，以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ＝错误!.(１）求直线L的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程;（2)过曲线C上任意一点P作与直线L夹角为错误!的直线ｌ,设直线l与直线L的交点为Ａ，求|PA｜的最大值.解:(1）由错误!（t为参数），得L的普通方程为２x＋y－6＝０，令x=ρcos θ，y=ρsinθ，得直线L的极坐标方程为2ρcoｓθ＋ρsin θ-6＝0,由曲线Ｃ的极坐标方程，知ρ2+3ρ2cos2θ=4，所以曲线C的直角坐标方程为x2+＼f(y2,4)=1.（2）由(1),知直线L的普通方程为2x+ｙ－6=0,设曲线C上任意一点P(coｓα,2sin α）,则点P到直线Ｌ的距离d＝错误!.由题意得|PA|=错误!＝错误!,所以当sｉn错误!=－１时，|ＰA|取得最大值，最大值为错误!．2２．(2018·石家庄一模)在平面直角坐标系中,将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的错误!,得到曲线C２．以坐标原点O为极点，ｘ轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C１的极坐标方程为ρ＝2.(1)求曲线C２的参数方程;（2)过坐标原点O且关于ｙ轴对称的两条直线l1与l2分别交曲线C2于Ａ,C和B,Ｄ，且点Ａ在第一象限,当四边形ABCD 的周长最大时,求直线l1的普通方程．解:(1)由ρ＝２，得ρ2＝4，所以曲线C１的直角坐标方程为ｘ２+y２＝4．故由题意可得曲线Ｃ2的直角坐标方程为x24＋ｙ2=１.所以曲线Ｃ２的参数方程为错误!（θ为参数)．(2）设四边形ABCD的周长为l，点A（2cｏｓθ,sinθ),则l＝8cos θ+４siｎθ=4＼r(5)sin（θ＋φ),错误!所以当θ+φ＝2kπ＋＼ｆ(π,2）(ｋ∈Z）时,l取得最大值，最大值为４５,此时θ＝2ｋπ+＼f(π,2)－φ(ｋ∈Z)，所以２cosθ=2ｓiｎφ＝错误!，sｉn θ＝coｓφ=错误!，此时A错误!．所以直线l1的普通方程为x－4y=０．23．(2018·成都诊断）在直角坐标系xOy中，曲线Ｃ的参数方程为错误!(α为参数）,直线ｌ的参数方程为错误!(t 为参数).在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点Ａ的极坐标为(2错误!,θ),其中θ∈错误!．(1)求θ的值;(２)若射线OA与直线l相交于点B,求｜AＢ|的值.解:(1）由题意知,曲线C的普通方程为ｘ２+(y-2)２＝4,∵x=ρcos θ，y=ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为(ρcｏs θ)2＋(ρsiｎθ－2)2=4,即ρ＝4ｓｉｎθ.由ρ＝2错误!,得siｎθ=错误!，∵θ∈错误!,∴θ＝错误!.(2)易知直线ｌ的普通方程为ｘ＋错误!y-4错误!=0,∴直线ｌ的极坐标方程为ρcosθ＋错误!ρsｉn θ-4错误!=0. 又射线OA的极坐标方程为θ＝错误!（ρ≥０），联立错误!解得ρ=4错误!.∴点B的极坐标为错误!,∴|ＡB|=|ρB-ρA|=4错误!－２错误!＝２错误!.。