第一章 集合与函数概念
知识网络
第一讲 集合
★知识梳理
一：集合的含义及其关系
1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;
2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；
3.集合中元素与集合的关系：
文字语言 符号语言
属于 ∈
不属于
∉
4.常见集合的符号表示
数集 自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集 复数集
符号
*N 或+N
Z
N Q R C 集合 集 合 表 示 法 集 合 的 运 算
集 合 的 关 系 列 举 法 描 述 法 图 示 法
包 含 相 等 子集与真子集
交 集 并 集 补 集
函数
函数 及其表示 函数基本性质
单调性与最值 函数的概念
函数 的 奇偶性
函数的表示法
映射 映射的概念
集合与函数概念
，（）
三：集合的基本运算
①两个集合的交集:= ; ②两个集合的并集: =;
③设全集是U,集合,则
方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.
★重、难点突破
重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合
的交、并、补三种运算。

重难点： 1.集合的概念
掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法
（1）列举法要注意元素的三个特性；
（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如、、
A
B A ⊆φφB φ≠B A B {}x x A x B ∈∈且A
B {}x x A x B ∈∈或A U ⊆U
C A ={}
x x U x A ∈∉且{|B x x ={|B x x ={})(x f y x ={}
)(x f y y =
等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：
例如 ：已知集合（ ） A. ；B. ；C. ；D.
(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运
算时常用Venn 图。

3．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即 （2）任何集合都是它本身的子集，即
（3）子集、真子集都有传递性，即若，，则 4．集合的运算性质
（1）交集：①； ②； ③；
④， ⑤；
（2）并集：①； ②； ③；
④， ⑤；
（3）交、并、补集的关系
①；
②；
★热点考点题型探析
考点一：集合的定义及其关系 题型1：集合元素的基本特征
[例1]（2008年江西理）定义集合运算：．设
，则集合的所有元素之和为（ ）
A ．0；
B ．2；
C ．3；
D ．6
题型2：集合间的基本关系
[例2]．数集与之的关系是（ ） A ．；B ．； C ．；D ．
{})(),(x f y y x =221,1,9432x y x y M x
N y ⎧⎫⎧⎫
=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
则M N=Φ{})2,0(),0,3([]3,3-{}3,2A ⊆φA A ⊆B A ⊆C B ⊆C A ⊆A B B A =A A A = φφ= A A B A ⊆ B B A ⊆ B A A B A ⊆⇔= A B B A =A A A = A A =φ A B A ⊇ B B A ⊇ A B A B A ⊆⇔= φ=A C A U U A C A U = )()()(B C A C B A C U U U =)()()(B C A C B A C U U U ={}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈{}{}1,2,0,2A B ==A B *{}Z n n X ∈+=,)12(π{}Z k k Y ∈±=,)14(πX Y Y X Y X =Y X ≠
[新题导练]
1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）
A ． B. C. D.
2．(2006•山东改编）定义集合运算: ,设集合
,,则集合的所有元素之和为
3．(2007·湖北改编）设和是两个集合，定义集合，如果
，,那么等于
4．研究集合，，之间的关系
考点二：集合的基本运算
[例3] 设集合， （1） 若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围若，
[新题导练]
6．若集合，，则是（ ）
A. ；
B. ；
C.；
D. 有限集
7．已知集合，，那么集合为（ ）A.；B.；C.；D.
B A ⊆
C B ⊆C B A = A C B = {
}
B y x xy y x B ∈∈+==⊗A,,z A 2
2{}1,0A ={}3,2=B B ⊗A P Q =-Q P {}Q x P x x ∉∈且,|{}1log 3<=x x P {}1<=x x Q Q P -{
}42
-==x y x A {
}42
-==x y y B {
}
4),(2
-==x y y x C {
}0232
=+-=x x x A {
}
0)5()1(22
2=-+++=a x a x x B {}2=B A a A B A = a {}2=B A {
}R x y y S x
∈==,3{
}
R x x y y T ∈-==,12
T S S T φ{}2),(=+=y x y x M {}
4),(=-=y x y x N N M 1,3-==y x )1,3(-{}1,3-{})1,3(-
8．集合,,且,求实数的值.
备选例题1：已知，，则中的元素个数是（ ）
A. ；
B. ；
C.；
D.无穷多个
备选例题2：已知集合和集合各有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合的个数：
(Ⅰ)，且中含有3个元素； (Ⅱ)（表示空集）
★抢分频道
基础巩固训练：
1． （09年吴川市川西中学09届第四次月考）设全集
, 则右图中阴
影部分表示的集合为 ( )
A ．；
B ．；
C ．；
D ．
2. （韶关09届高三摸底考）已知 则=
A ．；
B ．；
C ．；
D ．
3. （苏州09届高三调研考）集合的所有子集个数为
{|10}A x ax =-={}
2
|320B x x x =-+=A B B =a {}1+==x y y M {
}
1),(2
2=+=y x y x N N M 012A B B A C C B A C φ≠A C φ{}{}R,(3)0,1U A x x x B x x ==+<=<-{}0x x >{}30x x -<<{}31x x -<<-{}
1x x <-{}{}
2(1)0,log 0A x x x B x x =->=<A B (0,1)(0,2))0,(-∞)(,0)
(0,-∞+∞{1,0,1}-U
B
A
4.（09年无锡市高三第一次月考）集合中的代表元素设为，集合中的代表元素设为
，若且，则与的关系是
5．(2008年天津)设集合，则的取值范围是（ ）
A ．；
B ．
C ．或；
D ．或
综合提高训练：
6．, 则下列关系中立的是( ) A ．; B ．;C ．;D ．
7.设，，，记 ，，则＝( )
A. ;
B.;
C. ;
D.
8．（09届惠州第一次调研考）设A 、B 是非空集合，定义
，已知A=，B=，
则A ×B 等于（ ） A ．；B ．；C ．；D ．
A x
B y B x ∈∃A y ∈∀A B {}
{}
R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|a 13-<<-a 13-≤≤-a 3-≤a 1-≥a 3-<a 1->a {}01<<-=m m P {
}
恒成立对于任意实数
x mx mx R m Q 0442
<-+∈=P Q Q P Q P =φ=Q P )(12)(N n n n f ∈+={
}5,4,3,2,1=P {}7,6,5,4,3=Q {}P n f N n P ∈∈=)(ˆ{}
Q n f N n Q ∈∈=*)(ˆ)ˆˆ()ˆˆ(P C Q Q C P N N {}3,0{
}2,1{}5,4,3{}7,6,2,1{}A B x x A B x A B ⨯=∈⋃∉⋂
且{|x y ={|2,0}x y y x =>[)0,+∞[][)0,12,+∞[)[)0,12,+∞[]
0,1(2,)+∞。