D x1
D
.
.
c1 x1 c2 ( x2 x1 ) (c1 c2 ) x1 c2 x2
c2 ( x2 x1 ) c3 ( x3 x2 ) c2 x1 (c2 c3 ) x2 c3 x3
. . . . . . .
.
.
.
.
.
x2
D x3
解毕
拉格朗日方程法
系统存在粘性阻尼时：
• 其中：qi为广义坐标；T为体系的总动能；V为体系的势能；Qi为 广义坐标qi对应的非保守主动力；D为耗能函数
弹性势能 耗能函数
体系动能
分别计算偏导
பைடு நூலகம்
T 0 xi
T xi
.
mi xi
.
.. d T ( . ) m xi dt x i
写成矩阵形式得
m1 0 0 m 2 0 0 .. . 0 x1 (c1 c2 ) c2 0 x1 (k1 k2 ) k2 0 x1 F1 (t ) .. . x k x F (t ) 0 x c ( c c ) c ( k k ) k 2 2 3 3 2 2 2 3 3 2 2 ..2 . m3 c3 c3 k3 k3 x3 0 x3 0 x3 F3 (t )
V k1 x1 k2 ( x2 x1 ) (k1 k2 ) x1 k2 x2 x1
V k2 ( x2 x1 ) k3 ( x3 x2 ) k2 x1 (k2 k3 ) x2 k3 x3 x2
V k3 x2 k3 x3 x3
多自由度系统振动微分方 程的建立
例：如下图所示三个自由度系统的有阻尼强迫振动，分别用牛顿第二定律、
拉格朗日方程建立其振动微分方程。
牛顿第二定律法
由牛顿第二定律建立上述系统振动微分方程，分析各质量单元受力图，此时 不加惯性力。 牛顿第二定律表达式: F=ma 其中F为物体所受所有外力之和
• 分别以m1，m2，m3为研究对象列方程
.
c （ c3 x2 c3 x3 3 x3 x2 ）
.
.
.
.
以上式中i=1,2,3
带入拉格朗日方程，得出
写成矩阵形式得：
• 整理得：
. . .. m1 x1 (c1 c2 ) x1 c2 x2 (k1 k2 ) x1 k 2 x2 F1 (t ) . . . .. m2 x2 c2 x1 (c2 c3 ) x2 c3 x3 k2 x1 (k2 k3 ) x2 k3 x3 F2 (t ) .. . . m3 x3 c3 x2 c3 x3 k3 x2 k3 x3 F3 (t )