《高等数学（一）》题库及参考答案一、求下列函数的定义域（1）x y cos =；（2）)1ln(+=x y 。
（1）;11x y -=二、用区间表示变量的变化范围：(1)6≤x ；(2)1)1(2≤-x(3）41≤+x ；三、求下列极限 (1)x x xx 3)1(lim +∞→； (2)hx h x h 220)(lim -+→； (3）nn n 1lim 2+∞→ (4)211lim(2)x x x→∞-+; (5)xx x arctan lim ∞→; (6)xx x x sin 22cos 1lim 0-→ (7）;6)12)(2)(1(lim 3nn n n n +++∞→ (8）;2sin 5sin lim 0xx x → (9）145lim 1---→x x x x (10）)13(lim 3n n +∞→；(11）55sin()lim sin x x x→∞；(12）0tan 3limx x x→； 四、求下列函数的微分：（1）)4sin(+=wt A y （A 、w 是常数）；（2）)3cos(x ey x -=-五、求下列函数的导数(1）54323-+-=x x x y ；(2）x y 2sin =； (3)x y 2ln 1+=；(4);cos ln x y = (5)x x y ln =; (6)xy 211+=; (7);)7(5+=x y(8)21x e y +=；(9)3.1x y =；(10))1ln(2x y +=；(11)4)52(+=x y ；(12）)ln(ln x y =；六、求下列函数的二阶导数（1）)1ln(x y +=；（2）x e x y 22=。
（3）x y sin =；七、求下列不定积分(1）xdx ⎰； (2）xdx 2cos ⎰；(3）xdx +⎰1； (4)xdx ⎰3sin ;(5)⎰-14x dx ; (6)dx x x ⎰+)2(8; (7）dx xx ⎰+221； (8）⎰-x dx 21；(9）⎰xdx tan ；(10）⎰;ln xdx x(11）⎰3x xdx ；八、求下列定积分：(1）⎰π0sin xdx . (2）⎰-+1121x dx (3)⎰π20sin dx x ;(4)41dx ⎰ (5）⎰---+211e x dx ；(6）dx x x ⎰++102)123( (7）⎰-+3121x dx ； 九、 综合(1) (10分)已知2,0,(),<0.x x f x x x ⎧≥=⎨-⎩ 求)0(1+f 及)0(1-f 。
又)0(1f 是否存在？ (2)设6)10()(+=x x f ，求)8('''-f 。
(3)求曲线x y ln =在点（1，0）处的切线方程。
(4)确定函数 82(0)y x x x=+> 的单调区间。
(5)设231)(22+--=x x x x f , 指出该函数的间断点，并说明这些间断点属于哪一类间断点。
《高等数学（一）》参考答案一、求下列函数的定义域（1）[0，+∞]；（2）（-1，∞+）。
（3）),1()1,(+∞⋃-∞二、用区间表示变量的变化范围：（1）(],6-∞（2）[]2,0 （3）[]3,5-三、求下列极限(1）[]3313)1(lim )1(lim e x x x x x x x =+=+∞→∞→； (2)hh xh h x h x h h 202202lim )(lim +=-+→→=x h x h 2)2(lim 0=+→(3)lim 1n n n →∞== (4）2211lim 1lim 2lim )12(lim x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→+-=+- =2 (5)0lim1=∞→x x , 且2arctan π≤x , 0arctan lim =∴∞→xx x (6)xx x x x x x x sin 2sin 2lim sin 22cos 1lim 200→→=- =1sin lim 0=→xx x ; (7）)2)(1)(1(61lim 6)12)(2)(1(lim1213n n n n n n n n n +++=+++∞→∞→ =;31 (8)00sin 555lim lim ;sin 222x x x x x x →→== (9))45)(1()45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x +----=---→→ =2454lim1=+-→x x x (10）31lim 3lim )13(lim 33=+=+∞→∞→∞→nn n n n ； (11);1lim sin )sin(lim 550550==→→xx x x x x (12)33lim 3tan lim 00==→→xx x x x x （13）32000sin 1cos sin 1lim lim lim 366x x x x x x x x x x →→→--=== （14）2222112211lim lim 134324x x x x x x x x x x→∞→∞+-+-==-+-+四、求下列函数的微分：（1）[])4sin(+=wt A d dy=)4sin(+wt Ad=)4()4cos(++wt d wt A=dt wt Aw )4cos(+(2)[])3cos(x ed dy x -=- =)3cos()3cos(x de de x x x -+--- =dx x e dx x ex x )3sin()3cos(-+---- =[]dx x x e x )3cos()3sin(----五、求下列函数的导数 (1）463'2+-=x x y ；(2）x x x y 2sin cos sin 2'==；(3）)'ln 1(ln 11'2221x x y +⋅+⋅= =x x x x x x 221ln 1ln ln 12ln 2+=+⋅ (4)'1sin '(cos )tan ;cos cos x y x x x x-===- (5);ln 1ln )ln ('221'xx x x x x x y x -=-⋅== (6)'2')21()21(1)211('x x x y +⋅+-=+= =2)21(2x +-; (7)4)7(5'+=x y ;(8) 221212)'1('x x xe x e y ++=+⋅=;(9)3.013.13.13.1'x xy ==-; (10)22212)'1(11'xx x x y +=+⋅+=； (11)313)52(8)52()52(4'+=+⋅+=x x x y (12)x x x x y ln 1)'(ln ln 1'==六、求下列函数的二阶导数（1）xy +=11'， 2)1(1''x y +-=； （2）x x e x xey 22222'+= x x x x e x xe xe e y 222224442''+++= =)241(222x x e x ++（3）,cos 'x y = ;sin ''x y -=七、求下列不定积分(1）12x dx c-==+⎰⎰; (2)dx x xdx ⎰⎰+=22cos 1cos 2 =c x x ++2sin 4121; (3)c x x dx ++=+⎰1ln 1; (4)⎰⎰-=x xd xdx cos sin sin 23 =x d x cos )cos 1(2⎰-- =⎰⎰-x d x xd cos cos cos 2 =c x x +-cos cos 313; (5)⎰⎰--=-14)14(4114x x d x dx =c x +-14ln 41; (6)⎰⎰⎰+=+x dx xdx dx x x82)2(8 =28ln x x c ++; (7）dx x dx x x ⎰⎰+-=+)111(1222 =c x x +-arctan ; (8);21ln 2121)21(2121c x x x d x dx +--=---=-⎰⎰ (9);cos ln cos cos cos sin tan c x x x d dx x x xdx +-=-==⎰⎰⎰(10）⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x ln 21ln 21ln 21ln 222 =⎰-xdx x x 21ln 212 =c x x x +-2241ln 21(11) c x dx x xxdx +==⎰⎰3532353 （12）4222232223313(1)11(3)arctan 111x x x x dx dx x dx x x C x x x++++==+=+++++⎰⎰⎰ 八、求下列定积分：(1）[];2cos sin 00=-=⎰ππx xdx (2）[]11121arctan 1dx x x --=+⎰ =244)(πππ=--。
(3）2200sin sin sin xdx xdx xdx ππππ=-⎰⎰⎰ =[][]20cos cos 4x x πππ---=;(4)43142211222633dx x x ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦⎰, (5）[]21211ln 1------+=+⎰e e x x dx =ln1ln 1e -=-；(6）[]3)123(1010232=++=++⎰x x x dx x x (7）[]⎰----==+31312)4(3arctan 1ππx x dx =π127 （8）令 ln t x =,则 31ln e x dx x ⎰ = 13410011[]44t dt t ==⎰ （9）1392922444211()[]45326dx x x dx x x =+=+=⎰⎰ 九、综合(1)解：xf x f f x ∆-∆+=++→∆)0()0(lim )0('0 =;0)(lim 20=∆∆+→∆xx x x f x f f x ∆-∆+=--→∆)0()0(lim)0('0 =10lim 0-=∆-∆--→∆xx x由于),0(')0('-≠+f f 所以)0('f 不存在。
(2)解：,)10(6)('5+=x x f,)10(30)(''4+=x x f()()312010f x x '''==， 3'''(8)120(810)960f ∴-=⨯-+=(3)解：切线斜率 1'111=====x x x y k 切线方程为 ),1(0-=-x k y即.01=--y x(4)解： 282'xy -= 解方程 ,0'=y 得2=x在区间（0，2）上，'0,y < ∴在区间（0，2）上，函数单调减小又 在区间），（∞+2上'0,y > ∴在区间()+∞,2上函数单调增加(5)解：)2)(1()1)(1(231)(22--+-=+--=x x x x x x x x f )(x f ∴有两个间断点：11=x 是第一类间断点（可去间断点）；22=x 是第二类间断点（无穷间断点）。