- - - 1 -杨浦区2016学年度第二学期高三年级质量调研 数学学科试卷 2017.4考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。

考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 行列式123456789中, 元素5的代数余子式的值为_________.2. 设实数0ω>, 若函数()cos()sin()f x x x ωω=+的最小正周期为π, 则ω=_________.3. 已知圆锥的底面半径和高均为1, 则该圆锥的侧面积为_________.4. 设向量(2,3)a =, 向量(6,)b t =. 若a 与b 的夹角为钝角, 则实数t 的取值范围 为 _________.5. 集合2{1,3,}A a =, 集合{1,2}B a a =++. 若B A A ⋃=, 则实数 a =_______.6. 设12,z z 是方程2230z z ++=的两根, 则12||z z -= _________.7. 设()f x 是定义在R 上的奇函数, 当0x >时, 3()2xf x =-. 则不等式()5f x <-的解为________.- - - 2 -8. 若变量,x y 满足约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z y x =-的最小值为_________.9. 小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子, 两人相互独立地进行. 则小明掷出的点 数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为_________.10. 设A 是椭圆()22221 04x y a a a +=>-上的动点, 点F 的坐标为(2,0)-, 若满足||10AF =的点A 有且仅有两个, 则实数a 的取值范围为_________.11. 已知0a >, 0b >, 当21(4)a b ab++取到最小值时, b =_________. 12. 设函数()||||a f x x x a =+-. 当a 在实数范围内变化时, 在圆盘221x y +≤内,且不在任一()a f x 的图像上的点的全体组成的图形的面积为_________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13. 设z ∈C 且0z ≠. “z 是纯虚数”是“2z ∈R ”的 ( )(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 既非充分又非必要条件14．设等差数列{}n a 的公差为d , 0d ≠. 若{}n a 的前10项之和大于其 前21项之和, 则 ()(A) 0d <(B) 0d > (C) 160a <(D) 160a >- - - 3 -S15．如图, N 、S 是球O 直径的两个端点. 圆1C 是经过N 和S 点的大圆, 圆2C 和圆3C 分别是所在平面与NS 垂直的大圆和小圆. 圆1C 和2C 交于点A 、B , 圆1C 和3C 交于点C 、D .设a 、b 、c 分别表示圆1C 上劣弧CND 的弧长、圆2C 上半圆弧AB 的弧长、圆3C 上半圆弧CD 的弧长. 则,,a b c 的大小关系为 ()(A) b a c >= (B) b c a => (C) b a c >>(D) b c a >>16．对于定义在R 上的函数()f x , 若存在正常数,a b , 使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立, 则称()f x 是“控制增长函数”。

在以下四个函数中： ①2()1f x x x =++②()f x ③ 2()sin()f x x =④()sin f x x x =⋅是“控制增长函数”的有 ()(A) ②③ (B) ③④ (C) ②③④ (D) ①②④三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .- - - 4 -A 1B 1C 1D 1Q P DCBA17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 如图, 正方体1111ABCD A B C D -中, 4AB =. P 、Q 分别是棱BC 与11B C 的中点. (1) 求异面直线1D P 和1A Q 所成的角的大小;(2) 求以11,,,A D P Q 四点为四个顶点的四面体的体积.- - - 5 -18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数121()22x x f x +-+=+.(1) 判断函数()f x 的奇偶性, 并证明;(2) 若不等式()9()log 21f x c >-有解，求c 的取值范围.- - - 6 -RQPC BA19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图所示: 扇形ABC 是一块半径为2千米, 圆心角为60的风景区, P 点在弧BC 上, 现欲在风景区中规划三条商业街道. 要求街道PQ 与AB 垂直, 街道PR 与AC 垂直,线段RQ 表示第三条街道.(1) 如果P 位于弧BC 的中点,求三条街道的总长度;(2) 由于环境的原因, 三条街道PQ , PR , QR 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元, 200万元及400万元,问:这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少?(精确到1万元).- - - 7 -20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.设数列{}n a 满足4nn a A B n =⋅+⋅, 其中,A B 是两个确定的实数, 0B ≠.(1) 若1A B ==, 求{}n a 的前n 项之和; (2) 证明: {}n a 不是等比数列;(3) 若12a a =, 数列{}n a 中除去开始的两项之外, 是否还有相等的两项? 并证明你的结论.- - - 8 -21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设双曲线Γ的方程为2213y x -=.过其右焦点F 且斜率不为零的直线1l 与双曲线交于,A B 两点, 直线2l 的方程为x t =, ,A B 在直线2l 上的射影分别为,C D(1) 当1l 垂直于x 轴, 2t =-时, 求四边形ABDC 的面积;(2) 当0t =, 1l 的斜率为正实数, A 在第一象限, B 在第四象限时, 试比较||||||||AC FB BD FA ⋅⋅和1的大小, 并说明理由;(3) 是否存在实数(1,1)t ∈-, 使得对满足题意的任意直线1l , 直线AD 和直线BC 的交点总在x 轴上, 若存在, 求出所有的t 的值和此时直线AD 与BC 交点的位置; 若不存在, 说明理由.数学评分参考一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。

考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 1. 12- 2. 24. (,4)-∞-5. 26.7. (,3)-∞- 8. 4- 9.79 10. (8,12) 11. 14 12. 34π- - - 9 -二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13、(A) 14、(C) 15、(D) 16、(C)三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .17、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. (1) 以D 为原点, DA 方向为x 轴正方向, DC 方向为y 轴正方向, 1DD 方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系. （2分） 得1(0,0,4)D , (2,4,0)P , 1(4,0,4)A , (2,4,4)Q . 故1(2,4,4)D P =-, 1(2,4,0)AQ =-. （4分） 设1D P 与1A Q 所成的角的大小为θ.则1111||16cos 5||||36D P AQD P AQ θ⋅===⋅（6分）故1D P 与1A Q 所成的角的大小为arccos5. （8分） (2) 该四面体是以11A D Q 为底面, P 为顶点的三棱锥. （10分）P 到平面11AQD 的距离4h PQ ==. 11A D Q 的面积1111182A B C D S S ==. （12分）- - - 10 -因此四面体11A D PQ 的体积113248333V Sh ==⋅⋅=. （14分）18、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. (1) 奇函数 （2分） 证明：定义域 x ∈R （4分）()111121122()2222222xx x x x x f x f x --++-+-+-+-====-+++（6分） 所以()f x 为奇函数(2) 令：2x t = 则0t > 原函数为()1022t y t t -+=>+ （8分） 值域为11,22y ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（10分）因为不等式()9()log 21f x c >-有解 所以()91log 212c -<有解 （12分） 即：0213c <-<122c << （14分）19、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分- - - 11 -(1) 由题意, 30PAQ ︒∠=, 因此2sin 301PQ ︒==, 同理1PR = （2分） 36029060120QPR ︒︒︒︒∠=-⨯-=,故QR PQ =⨯= （4分）因此三条步道的总长度为2 （6分）(2) 设0,3PAQ πθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭. 则2sin PQ θ=, 2sin 3PR πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（8分） ,,,A Q P R 均在以AP 为直径的圆上由正弦定理 2sin QR AP RAQ==∠ 得QR = （10分）效益3002sin 2002sin 4003T πθθ⎛⎫=⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭()2003sin sin θθθ=-+arctan 2θ⎛=++ ⎝⎭（12分）当arctan 0,23ππθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时 T的最大值为1222=+≈万元 （14分）20、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.- - - 12 -(1) 4n n a n =+, 故前n 项之和2(444)(12)n n S n =+++++++. （2分）4(41)141(1)(41)(1)41232n n n n n n -=++=-++- （4分） (2) 14a A B =+, 2162a A B =+, 3643a A B =+.若{}n a 是等比数列, 则2(162)(4)(643)A B A B A B +=++ （6分）即 2222256644256763A AB B A AB B ++=++, 即212B AB =.因0B ≠, 故12B A =, 且0A ≠. （8分）此时, 240a A =, 3100a A =, 4304a A =, 不满足2324a a a =. 因此{}n a 不是等比数列. （10分）(3) 12a a =即4162A B A B +=+, 即12B A =-, 且0A ≠.此时, (412)n n a A n =⋅-. （12分）设*412,n n c n n =-∈N .111(412(1))(412)341234120n n n n n c c n n ++-=-+--=⋅-≥⋅-=,当且仅当1n =时等号成立, 故1234c c c c =<<<.即除1c 外, {}n c 的各项依次递增. （14分）因此{}n a 中除去1a 和2a 之外, 没有其它的两项相等. （16分）- - - 13 -21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.(1) 右焦点的坐标为(2,0)F . 故1:2l x =. （1分）联立222,13x y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得3y =±. 故||6AB =, （3分） 又||4AC =, 故四边形ABDC 的面积为24. （4分）(2) 设1l 的方程为2x my =+, 这里0m >. 将1l 的方程与双曲线方程联立, 得到 223(2)30my y +--=, 即22(31)1290m y my -++=. （6分）由120y y <知2310m -<, 此时,||||||||||||||||||||A B B A x y AC FB AC BF BD FA BD AF x y ⋅=⋅=⋅==⋅ （8分） 由于212031A B m y y m -=+>-, 故0A B y y >->, 即||||0A B y y >>, 故2211A B y y <. 因此||||1||||AC FB BD FA ⋅<⋅. （10分） (3) 设直线:2AB x my =+, 与2213y x -=联立得- - - 14 -22(31)1290m y my -++=. (有两交点表示m ≠) 设(,)A A A x y , (,)B B B x y , 则(,)A C t y , (,)B D t y .,A B x x 的绝对值不小于1, 故A x t ≠, 且B x t ≠. 又因直线斜率不为零, 故A B y y ≠. 直线AD 的方程为B A B A y y x t y y x t--=--. 直线BC 的方程为A B A B y y x t y y x t --=--. （12分） 若这两条直线相交在x 轴上, 则当0y =时, 两方程的x 应相同, 即 ()()B A A B A B B Ay x t y x t x t t y y y y ----=+=+--. 故(2)(2)0A B B A y my t y my t +-++-=,即2(2)()0A B A B my y t y y +-+=. （14分） 现2931A B y y m =-, 21231A B m y y m +=--, 代入上式, 得1812(2)0m t m --=对一切3m ≠±都成立. 即182412t =-, 12t =. （16分） 此时交点的横坐标为()B A A B y x t x t y y --=+-- - - 15 - 2()(2)(2)11125222224A B B B A A B A B t y y t y my t t y y y y y -+--+--=+=+=+=---. （18分） 综上, t 存在,12t =, 此时两直线的交点为5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.。