21．1 一元二次方程（1）基础知识梳理1.只含有 ___个未知数,并且未知数的最高次数是___ 的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是___________ ,其中ax 2是____________，_____是二次项系数；bx 是__________, _____是一次项系数；_____是常数项。

（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。

二次项系数0a ≠是一个重要条件，不能漏掉。

）3.使方程左右两边_____的未知数的值是一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_______,知识点1 一元二次方程的定义【例1】判断下列方程是否为一元二次方程：22222(1)10(3)23x 10x x(5)(3)(3)x x -==+=-22　ｘ (2)2(x -1)=3y12　ｘ－－ (4)－=0 (6)9x =5－4x知识点2 一元二次方程的一般形式【例2】将方程（8-2x ）（5-2x ）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．练习1.：将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项：① 52x -1=4x ② 42x =81 ③－2x 2+1=6x④ 4x(x+2)=25⑤(3x-2)(x+1)=8x-3知识点3 一元二次方程的解【例3】已知1是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是( ) A.1 B.－1 C.0 D.无法确定 练习：2.下面哪些数是方程x 2+x-12=0的根？ -4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。

3.你能想出下列方程的根吗？(1) x 2-36 = 0 (2) 4x 2-9 = 0知识点4 列一元二次方程4.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：1)若两相邻偶数的积为528,设较小的一个偶数为x,则可以列方程____________．2）如图,在宽为20 m,长30 m 的矩形场地上,修筑同样宽的两条道路,余下的部分作为耕地,要使耕地的面积为500 m 2,若设路宽为x m,则可得关于x 的一元二次方程的一般形式为____________．3）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;4）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；【巩固练习】5.在下列方程中，一元二次方程有_____________． ①2370x += ②20ax bx c ++= ③（x-2）（x+5）=2x -1 ④2530x x-= 6．2230px x p q -+-=是关于x 的一元二次方程，则（ ）．A ．p=1B ．p>0C ．p ≠0D ．p 为任意实数 7.方程22x =3（x-6）化为一般式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别是（ ）． A ．2，3，-6 B ．2，-3，18 C ．2，-3，6 D ．2，3，68．方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为_______，一次项系数为 ______，常数项为_________． 9.已知方程2390xx m -+=的一个根是1，则m的值是______.10.若a是方程2x2－x－3＝0的一个解，则6a2－3a的值为( )A.3B.－3C.9D.－911.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,求a的值.12．若关于x的方程（m+3）+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，并计算这个方程的各项系数之和．13.小明在写作业时，一不小心把方程3x2－■x－5＝0的x前的数用墨水盖住了，但通过答案知道该方程的一个根是x＝5，请你帮助小明求出被墨水覆盖的数.14.已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.(1)m为何值时,此方程是一元一次方程?(2)m为何值时,此方程是一元二次方程?并写出该一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.达标检测(10分钟)15.下列方程是关于x的一元二次方程的是( )A.x2＋1x2＝0 B.ax2＋bx＋c＝0C.(x－1)(x＋2)＝1D.3x2－2xy－5y2＝016.方程2x2－6x＝9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A.6，2，9B.2，－6，9C.2，－6，－9D.2，6，917.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900 m2的矩形绿地，长比宽多10 m，设绿地的宽为x m，根据题意可列方程为( ) A.x(x－10)＝900 B.x(x＋10)＝900C.10(x＋10)＝900D.2[x＋(x＋10)]＝90018.若一元二次方程ax2－bx－2 015＝0有一根为x ＝－1，则a＋b＝________.19.若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2－1＝0的常数项为0，求m的值.21.2.1 直接开平方法解一元二次方程你会解一元二次方程吗？比如：方程x2=25，你能求出这个方程的解吗？我们把这种求一元二次方程的解的方法叫做_____________．解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．【例1】计算：用直接开平方法解下列方程：①x2=8 ② (2x-1)2=5 ③ 4m2-9=0 ④ x2+4x+4=1 ⑤ 3(x-1)2-9=108练习：1.用直接开平方法解下列方程：① x2-81=0 ② x2+6x+9=0③（2-x）2＝4 ④16(x－2)2－25=0用直接开平方法解一元二次方程的三个步骤(1)看：看是否符合x2＝p或(x＋n)2＝p(p≥0)的形式；(2)化：对于不符合x2＝p或(x＋n)2＝p(p≥0)形式的方程先化为符合的形式；(3)求：应用平方根的意义，将一元二次方程化为两个一元一次方程求解.【巩固练习】1．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根2．若8x2-16=0，则x的值是_________．3．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．4．如果a、b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．5．用直接开平方法解下列方程：①（2-x）2-81＝0 ② 2（1-x）2-18＝027 mx-6．若k2+2=（x-1）2，这个方程的一个根是3，求k的值及另一个根？7.当k＝________时，方程x2－2(k＋1)x＋4＝0的左边是一个关于x的完全平方式.8.在实数范围内定义运算“＃”,其法则为:a＃ b=a2-b2,求方程(4＃ 3)＃ x=24的解.达标检测(10分钟)9.方程x2=16的解是( )A.2B.4C.±2D.±410.方程(x-3)2=16的根是( )A.x1=x2=3B.x1=-1,x2=7C.x1=1,x2=-7D.x1=-1,x2=-711.若关于x的方程(x+1)2=1-k没有实根,则k的取值范围是( )A.k<1B.k<-1C.k≥1D.k>112.有下列方程:①x2-2x=0; ②9x2-25=0;③(2x-1)2=1; ④13(x+3)2=27.其中能用直接开平方法解的是( )A.①②③B.②③C.②③④D.①②③④13.用直接开平方法解下列方程:① 9x2=25; ② x2-√256=0;③3x2-1=5 ④ 4x2+16x+16=9⑤(2t-1)2=9; ⑥ (x-3)2-9=0.⑦2(x－3)2＝72；⑧9(y＋4)2－49＝0.21.2.2配方法解一元二次方程（1）填空：（1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-12x+_____=（x-_____）2（3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2- 4x+_____=（x-_____）2用配方法解下列关于x的方程1.通过配成形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法. 可以看出,配方是为了,把一个一元二次方程转化成两个来解.2.(1)当p>0时,方程(x+n)2=p有两个的实数根,x1=√p,x2=√p.(2)当p=0时,方程(x+n)2=p有两个的实数根,x1=x2=.(3)当p<0时,因为对任意实数x,都有(x+n)2≥0,所以方程(x+n)2=p实数根.【例1】解方程：① x2-4x+2=0 ② x2+8x-9=0 【例2】解方程：① 2x2-4x-8=0 ② 2x2+2=6x用配方法解一元二次方程的“五步法”(1)移项：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项.(2)化1：当方程的二次项系数不为1时，在方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.(3)配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x＋n)2＝p的形式.(4)开方：若p≥0，则两边直接开平方得到一元一次方程；若p＜0，则原方程无解.(5)求解：解所得到的一元一次方程，求出原方程的解.【巩固练习】1.用配方法解下列关于x的方程：（1）x2-8x+1=0 （2）2x2+1=3x（3）3x2-6x+4=0 （4）4x2-6x-3=0（5）x24x-9=2x-11 （6）x(x+4)=8x+12 （7）x2-8x+7=0 （8）9y2-18y-4=02.（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2（3）x2+px+_____=（x+______）23．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-34．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11 5．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）．A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或96.方程(x＋1)2＝4(x－2)2的解是( )A.x＝1B.x＝5C.x1＝5，x2＝1D.x1＝1，x2＝－27.已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．8．如果x2-4x+y2+13=0，求（xy）z的值．9.用配方法证明多项式x2－4x＋5的值不小于1.10.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．①鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？②鸡场的面积能达到210m2吗？达标检测(10分钟)11.用配方法解方程x2＋x＝2时，应在方程的两边同时( )A.加14B.加12C.减14D.减1212.填空：(1)x2＋6x＋________＝(x＋________)2；(2)x2－8x＋________＝(x－________)2；(3)x2＋72x＋________＝(x＋________)2.13.方程4x2－4x＋1＝0的解为________.14.若关于x的方程(x－a)2＋b＝0有解，则b的取值范围是________.15.用配方法解下列一元二次方程：(1)x2－7x－18＝0; (2)x2－2x＝5；(3)2x2＋3＝7x; (4)6x2－x－12＝0.21.2.3用公式法解一元二次方程解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，(1)根的判别式一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac.①当Δ＞0时，方程有________的实数根；②当Δ＝0时，方程有________的实数根；③当Δ＜0时，方程________实数根.（2）当Δ≥0时，x=2ba-±叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．要点突破1 用公式法解一元二次方程【例1】用公式法解下列方程．① 2x2-4x-1=0 ② 5x+2=3x2 ③(x-2)(3x-5)=-11 ④ 2x2-22x+1=0用公式法解一元二次方程的四个步骤(1)化：若方程不是一般形式，先把一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0).(2)定：确定a，b，c的值.(3)算：计算b2－4ac的值.(4)求：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出方程的根；若b2－4ac＜0，则原方程没有实数根. 练习：1.用公式法解下列方程．① x2-4x-7=0 ②5x2-3x=x+1 ③4x2-3x+1=0要点突破2 一元二次方程根的判别式【例2】若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是____________. 变式：方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，求m的值及方程的根.练习：2.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋14＝0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝________，b＝________.3.已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值.根的判别式的“三大作用”(1)判：不解方程，根据b2－4ac的符号，直接判断方程根的情况；(2)求：已知方程根的情况，求方程中字母系数的取值范围；(3)证：根据b2－4ac恒大于0，恒小于0或恒等于0，证明方程根的情况.【巩固练习】4.关于x的一元二次方程x2+ax-1=0的根的情况是( )A.没有实数根B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根5.若关于x的一元二次方程(k-1)·x 2+2x-2=0有不相等实数根,则k的取值范围是( )A.k>12B.k ≥12C.k>12且k ≠1D.k ≥12且k ≠1 6.若方程x 2+kx+9=0有两个相等的实数根,则k=_____.7．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4． 8．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____． 9、用公式法解下列方程．①2x 2-3x-23=0 ②x 2+x-6=0③ x 2-24x+9=0 ④ 3x 2+10x=2x 2+8x达标检测(10分钟) 10.用公式法解方程6x －8＝5x 2时，a ，b ，c 的值分别是( )A.5，6，－8B.5，－6，－8C.5，－6，8D.6，5，－811.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A.(x －1)2＝0 B. x 2＋2x －19＝0 C.x 2＋4＝0 D.x 2＋x ＋1＝0 12.用公式法解下列方程：① 3x 2－2x ＋2＝0； ② (x －2)(3x －5)＝1.13.求证：关于x 的方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k －1＝0有两个不等的实数根.21.2.4因式分解法1：知识准备 (1)分解因式：①x 2－2x ＝________； ②x 2－16＝________； ③x 2－6x ＋9＝________； 2、归纳：（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程的一边化为0，再使方程的另一边分解成_____________的形式，从而实现令每个因式分别等于0，即得到两个一元一次方程，再_____________________，它们的解就是原方程的解，这种解法叫做______________。