一元二次方程的概念与方程的解【知识点】：1、一元二次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2、一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式20（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．（其中2是二次项，a 是二次项系数；是一次项，b 是一次项系数； c 是常数项．）3、一元二次方程的解：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）． 【例题精讲】:例1、下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 。

① k2x + 5k + 6 = 0 ；②2x2 － 43x － 21= 0 ；③3x2 + x1 －2 =0；④3x2 + 2x －2 = 0；⑤（3－x ）2 = －1；⑥（2x －1）2 = （x －1）（4x + 3）。

例2、若关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2=+--是一元二次方程，求m 的值。

例3、关于x 的方程x （3x －3）－2x （x －1）－2 = 0，指出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

例4、关于x 的一元二次方程（a －1）x2 －x + a2－1 = 0的一根是0，则a 的值为（ ）A 、1B 、－1C 、1或－1D 、21。

【夯实基础练】： 一）、填空题：1、方程（x －4）2 = 3x + 12的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。

2、（11滨州）若2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的值为.3、已知关于x 的方程5)3(1=-+-x m mx m 是一元二次方程，则m2 = 。

4、（2012惠山区）一元二次方程（1）x22-1=0的一个根为0，则 ．5、已知关于x 的方程2 + + c = 0（a ≠0）的两根为1和－1，则a + b + ，a －b + c = 。

6、关于x 的方程（k2－1）x2 + 2（k －1）x + 2k + 2 =0，当k ≠ 时，为一元二次方程；当k = 时，为一元一次方程。

二）、选择题：1、下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） A 、1232=++x x B 、531212-=x C 、011.02=+-x x D 、)2)(1(2-+=+x x x x2、方程53)3)(3()12(32++-+=-x x x x 化为一般形式后，a 、b 、c 的值分别为（ ）A 、a = 5，b = 3，c = 5B 、a = 5，b = －3，c = －5C 、a = 7，b = 3，c = 5D 、a =8，b = 6，c = 1 三）、解答题：1、已知关于x的方程（m2－1）x2 + （m + 1）x + 1 = 0（1）当m为何值时，此方程为一元二次方程？（2）当m 为何值时，此方程为一元一次方程？2、关于x的方程（m + 2）2x2 + 3m2x + m2－4 = 0有一根为0，求2m2－4m + 3的值。

3、已知x = －2是方程x2－ + 2 =0的一个根，试化简226--m+-。

+19m2mm【能力提高练】：1、试证明关于x 的方程（m2－8m + 17）x2 +2m +1 =0，不论m 为何值，该方程都是一元二次方程。

2、已知x2 +3x +1的值为5，则代数式2x2 +6x －2的值为多少？3、设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)((2222=+++b a b a ，求这个直角三角形的斜边长。

4、若=•=-+y x 则y x 324,0352的值是多少？一元二次方程的解法【知识点】：1、理解解一元二次方程的“降次”思想，将一元二次方程“化成”两个一元一次方程．2、直接开平方法：如果方程能化成2x p =或2()(0)mx n p p +=≥的形式，那么直接开平方可得x =mx n +=3、配方法：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。

4、公式法：公式aacb b x 242-±-=（042≥-ac b ）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；5、利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．6、一元二次方程根的判别式：b2-4叫根的判别式；（1）当b2-4>0时，一元二次方程20（a ≠0）•有两个不相等实数根即x1=，．（2）当40时，一元二次方程20（a ≠0）有两个相等实数根即x12=2ba-． （3）当b2-4<0时，一元二次方程20（a ≠0）没有实数根． 【例题精讲】:1、用直接开平方法解下列方程：（1）2(21)5x -=； （2）2692x x ++=2、用配方法解下列方程： （1）2213x x +=； （2）23640x x -+=．3、用公式法解下列方程：（1）5x2+26=0 （2）4x2-72=0 （3）2x212324、用因式分解法解下列方程：（1）(2)20x x x -+-=； （2）221352244x x x x --=-+；（3）3(21)42x x x +=+； （4）22(4)(52)x x -=-．5、已知y =2x2 +7x －1，当x 为何值时，y 的值与4x + 1的值相等？x 为何值时，y 的值与x2－19的值互为相反数？6、解方程062=-+x x 。

7、若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则的值是多少？【夯实基础练】： 一）、填空题1、(2011镇江)已知关于x 的方程260x mx +-=的一个根为2,则,另一根是.2、如果x2 + + 16是一个完全平方式，则m 的值为 。

3、当x = 时，代数式x2 + 4x + 6有最 值是 ；【提示：配方法】4、方程3x2 +2 中，a = ，b = ，c = ，b2－4 = ；5、已知一元二次方程2 + 4x + 2 =0 且b2－4 = 0，则a = ，x = 。

6、（2011上海）如果关于x 的方程220x x m -+=（m 为常数）有两个相等实数根，那么m ＝．8、已知a ≠0，a ≠b ，x = 1是方程2 + －10 =0的一个解，则ba b a 2222--的值是 。

二）、选择题：1、解方程（x +5）2－3（x +5） =0，较简便的解法是（ ） A 、直接开平方法 B 、因式分解法 C 、配方法 D 、公式法2、方程x2 +2x －3 = 0的解是（ ）A 、x1 =1，x2 =3 ；B 、x1 =1 ，x2 =－3；C 、x1 =－1，x2 =3 ；D 、x1 =－1 ，x2 =－3 。

3、（2011兰州）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．2(1)6x +=B ．2(2)9x +=C ．2(1)6x -=D ．2(2)9x -= 4、01442=--+++y x y y ，则xy 的值是（ ）A 、－6B 、－2C 、2D 、65、（2011安徽）一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（ ） A ．－1 B ．2 C ．1和2 D ．－1和26、下列是某同学在一次数学测验中解答的题目，其中答对的是（ ） A 、若x2 =4 ，则x =2 ； B 、若3x2 =6x ，则x =2 ； C 、若x2 + x －k =0的一个根是1，则k =2 ； D 、若分式2322+--x x x 的值为零，则x =2 。

7、已知方程x2－6x + q = 0可以配方成（x －p ）2 =7的形式，那么x2－6x =2可以配方成下列的（ ）A 、（x －p ）2 =5 ；B 、（x －p ）2 = 9 ；C 、（x －p +2）2 =9 ；D 、（x －p + 2）2 =5。

8、关于x 的方程k2x2 +2（k －1）x +1 =0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A 、k ＜21 B 、k ≤21 C 、k ＜21且k ≠0 D 、k ≤21且k ≠0三、解答题：1、用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2）21(31)644x +=； （3）26(2)1x +=；2、用配方法解下列方程：（1）210x x --=； （2）09632=+-x x ． （3）232310y y ++=．3、用公式法解方程(1)x2+42=0 ; (2)3x2-61=0;(3)4x2-1617=0 ;4、用因式分解法解下列方程：(1)y2＋7y＋6＝0；(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；(3)(2x－1)(x－1)＝1．【能力提高】1、已知一元二次方程x2－4x 有两个不相等的实数根。

（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x =0与x2 －1 =0有一个相同的根，求此时m的值。

2、已知 a 、b 、c 为三角形的三边, 求证 ∶方程0)(222222=+-++b x c b a x a 没有实数根 。

3、已知9a2-4b2=0，求代数式22a b a b b a ab+--的值．一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系【知识点】1、一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况可由ac b 42-来判定，我们把ac b 42-叫做一元二次方程02=++c bx ax 的根的判别式，通常用符号“△”来表示。

当△>0时，有两个不相等实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根，当△<0时，没有实数根，反过来也成立。

2、如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x ，那么acx x ab x x =-=+2121·,3、如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么q x x p x x =-=+2121·, 4、以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0·)(21212=++-x x x x x x【例题选讲】例1：不解方程，判别下列方程的根的情况；（1）04322=-+x x ； （2）y y 249162=+； （3）07)1(52=-+x x例2：已知关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x ，当k 取什么值时， （1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根。

例3：求证：不论a 为任何实数，方程012)12(2=+--ax x a 总有实数根。

例4：利用根与系数的关系，求一元二次方程01322=-+x x 两个根的（1）平方和；（2）倒数和。