第一章 二次根式1.二次根式的定义：表示算术平方根的代数式叫做二次根式，形如a (a ≥0).2.★★★二次根式有意义的条件：被开方数≥0；分式有意义的条件：分母≠0. 例：2－x 有意义的条件是2－x ≥0，即x ≤2； 1 1－x有意义的条件是1－x ≠0，即x ≠1； 2－x 1－x有意义的条件是2－x ≥0且1－x ≠0，即x ≤2且x ≠1.x 的范围是______________________．3.★★求含字母的二次根式的值.例：当x ＝－4时，求二次根式8－2x 的值.错误解法：（1）8－2x ＝8－2×4＝0；（2）1－2x ＝8－2×(－4)＝16＝±4. 正确解法：8－2x ＝8－2×(－4)＝16＝4.注意：代入负数时一定要注意符号！4.★★★二次根式的性质：(1)(a )2＝a (a ≥0)；(2)a 2＝| a |＝⎩⎨⎧a (a ≥0)－a (a ≤0)； (3)ab ＝a ×b (a ≥0，b ≥0)；(4) a b ＝a b(a ≥0，b ＞0). 注意：性质(2)中，当平方在根号里时，开方后要加上绝对值，再根据去绝对值法则去绝对值.若无法判定绝对值里的数的符号时，应分类讨论.例：(2－2)2＝|2－2|＝2－2（因为2－2是负数，所以去掉绝对值后等于它的相反数.） 练习：（1）(﹣2)2＝__________；(﹣2)2＝__________．（2）(3.14－π)2＝_______________．5.★★最简二次根式必须满足两个条件：（1）根号内不含分母；（2）根号内不含开得尽方的因数或因式.例：下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）A ．7B ． 1 2C ．20D ．0.01 解析：B 和D 的根号内是分数，不是最简二次根式，1 2 ＝ 1×2 2×2 ＝22，0.01＝ 1 100 ＝110； C 的被开方数20含有开得尽方的因数4，也不是最简二次根式，20＝4×5＝25.故选A .练习：下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）A ． 1 3B ． 3C ．27D ．0.256.★★★二次根式的运算（考试必考，解答题21题）完全平方公式和平方差公式. (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2；(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.练习：（1）2×8 （2）(3－1)2＋2(3－1) （3）32－8 （4）(5＋3)2－(5－3)27.分母有理化：例：15－2＝1×(5＋2)(5－2)×(5＋2)＝5＋2. 技巧：利用分数的性质，分子分母同乘以一个式子，使分母可以用平方差公式计算.8.利用题目中的隐含条件——二次根式被开方数≥0解题.例1：已知y ＝2x －1＋1－2x ＋3，则x y ＝_______. 分析：根据二次根式被开方数≥0得，2x －1≥0且1－2x ≥0，即x ≥ 1 2 且x ≤ 1 2 ，所以x ＝ 1 2． 例2：化简(3－2x )2－(2x －5)2原式＝|3－2x |－(2x －5)，要去掉|3－2x |的绝对值，必须知道3－2x 的符号，由于隐含条件2x －5≥0，即x ≥ 5 2，所以3－2x ≤0，所以原式＝2x －3－2x ＋5＝2.练习：已知2017x x -+=，则22017x -＝______________． 9.32的整数部分是_________，小数部分是__________.分析：先把32的3从根号外移到根号内，即32＝9×2＝18，因为16＜18＜25，即4＜18＜5，所以18是一个4点多的数，故32的整数部分是4；小数部分＝32－整数部分＝32－4.练习：27的整数部分是_________，小数部分是__________.第二章 一元二次方程1.★★★一元二次方程满足的三个条件：（1）方程两边都是整式（即字母不在根号里，字母不在分母上）；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2次.注意：判断一个方程是否是一元二次方程，要先对方程进行整理（去括号、合并同类项），然后再看是否满足上面这三个条件.练习：下列方程属于一元二次方程的是（ ）（A ）x 2－2x －1＝0 （B ）3x 2＋2 x＝0 （C ）3(x －1)＋2x ＝0 （D ）x 2－6y －3＝02.一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）. ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.练习：一元二次方程(x ＋2)(x －2)＝5x 化成一般形式是______________________．3.★★★解一元二次方程（1）因式分解法：①提公因式；②平方差公式；③完全平方公式；④用十字相乘法.（2）直接开平方法；（3）★★★配方法；当二次项系数为1时才可以进行配方，配上的常数是一次项系数一半的平方.例：用配方法解方程x 2－6x ＋1＝0，则方程可配方为____________________.练习：用配方法解方程x 2－6x －10＝0时，下列变形正确的是（ ）A ．(x －3)2＝19B ．(x －3)2＝10C ．(x －6)2＝19D ．(x －3)2＝1（4）公式法: x ＝－b ±b 2－4ac 2a. 例：（1）2(x －7)2＝14（适合用直接开平方法） （2）x (x －2)＋x －2＝0（适合用因式分解法）（3）x 2＝4x （适合用直接开平方法） （4）x 2－2x －2＝0（适合用因式分解法）4.★★★根的判别式：△＝b 2－4ac当b 2－4ac ＞0，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0，方程没有实数根.例：若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是___________. 分析：因为方程有两个不相等的实数根，所以△＝b 2－4ac ＞0，即(－2)2－4(k －1)×1＞0，解得k ＜2；又因为一元二次方程的二次项系数≠0，即k ≠1；所以k ＜2且k ≠1.注意：一元二次方程求字母范围时，不要忽略二次项系数不为0这个条件！练习：（1）若关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_______．（2）若关于x 的方程(m －1)x 2－2x ＋2＝0有实数根，则m 的取值范围是____________.5.★一个二次三项式ax 2＋bx ＋c 是完全平方式的条件：b 2－4ac ＝0.特别的，若二次项系数为1时，满足一次项系数一半的平方等于常数项时，也是完全平方式；例：若4x 2＋8(n ＋1)x ＋16n 是关于x 的完全平方式，则满足b 2－4ac ＝0，即[8(n ＋1)]2－4×4×16n ＝0. 练习：若9x 2＋18(n －1)x ＋18n 是一个关于x 的完全平方式，则n ＝_____________．6.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca.例：若x＝－2为一元二次方程x2－2x－m＝0的一个根，则m＝________，另一个根为________.分析：把x＝－2代入方程即可解得m的值.在求另一个根时，有两种方法，一种方法是把m的值代入方程，解方程即可；另一种方法是利用韦达定理x1＋x2＝－ba可知两根之和等于2，所以另一个根为4.练习：已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋m2－4＝0有一个根是0，则m＝______，另一个根为_____．7.利用韦达定理求值时，几种常见的变形（把代数式变形成由x1＋x2和x1·x2组成）：（1）x12＋x22＝x12＋2x1x2＋x22－2x1•x2＝(x1＋x2)2－2x1·x2（利用完全平方公式变形）（2）x12x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)（利用提公因式法因式分解）（3）(x1－x2)2＝x12＋x22－2x1•x2＝(x1＋x2)2－4x1·x2（利用完全平方公式变形）（4）x1x2＋x2x1＝x12＋x22x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2x1x2（利用通分和完全平方公式变形）8.★★若一个一元二次方程的两个根为x1、x2，则该一元二次方程可以写成(x－x1)(x－x2)＝0，若再规定二次项系数为a，则该一元二次方程可以写成a(x－x1)(x－x2)＝0.练习：已知一元二次方程的两个根为﹣2和3，二次项系数为2，则该一元二次方程为_______________．9.若2b(b≠0)是关于x的方程x2－2ax＋3b＝0的根，则a－b的值为________.分析：把2b代入方程得(2b)2－2a ·2b＋3b＝0，即4b2－4ab＋3b＝0，提取公因式b得，b(4b－4a＋3)＝0，因为b≠0，所以4b－4a＋3＝0，解得a－b＝3 4.练习：若n(n≠0)是关于x的方程2x2＋6mx－3n＝0的一个根，则n＋3m的值为________.10.★★★一元二次方程的应用，掌握三类问题.（1）变化率问题．一般方程的形式为a(1±x)2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．解这类方程使用直接开平方法：先两边同除以a，再两边开平方即可求解.例：学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率．解：设这两年的年平均增长率为x，根据题意得：5000(1＋x)2＝7200，即(1＋x)2＝1.44，开方得：1＋x＝1.2或1＋x＝－1.2，解得：x＝0.2＝20%，或x＝－2.2（舍去）．（2）市场营销中单价、销量、销售额以及利润之间的相互关系问题．一般设增加或降价x，然后用x表示变化后每件商品的利润，用x表示变化后的销量，最后根据“变化后每件商品的利润×变化后的销量＝总利润”列出方程．例：某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件，要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？解：设每件商品应降价x元，则降价后每件商品的利润为(360－x－280)元，降价后每月的销量为(5x＋60)件；由题意，得(360－x－280)(5x＋60)＝7200，解得：x1＝8，x2＝60∵更有利于减少库存，∴x＝60．注意：要仔细审题，检验方程的两个根是否都符合题意，有时题目中会出现“要使顾客获得最大利益”或“更有利于减少库存”，再或者对商品的价格有具体的要求，这时应判断该舍去哪一个根．练习：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产100件，每件利润5元．每提高一个档次，每件利润增加1元，但一天产量减少4件．（1）求生产第5档次的产品一天的总利润为多少元？（2）若生产第x（其中x为正整数，且1≤x≤10）档次的产品一天的总利润为836元，求该产品的质量档次．（3）根据图形中的线段长度、面积之间的相互关系建立方程的问题．例：如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？解析：解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100－4x）米．根据题意得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5．则100－4x＝20或100－4x＝80．∵80＞25，∴x2＝5舍去．即AB＝20，BC＝20．练习：某农庄修建一个周长为120米的矩形休闲场所ABCD．矩形内筑一个正方形活动区EFGH和连结活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为6米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．已知草坪的造价为每平方米20元，鹅卵石的造价为每平方米100元．设AB为x米．（1）用含x的代数式表示BC；（2）求铺设鹅卵石区域的面积；（3）修筑这个矩形休闲场所的总费用2.784万元，求AB的长．11.（1）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意可列出方程为_______________．（2）某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念，全班共送了1560张照片．如果该班有x名同学，根据题意可列出方程为_______________．注意：理解什么情况下要除以2，什么情况下不用除以2.第三章 数据分析初步1.平均数：表示平均水平，但易受极端值影响．练习：已知甲校共有学生a 人，其中男生占45%；乙校共有学生b 人，其中男生占55%．今甲、乙两校合并成一所新的学校．阅读下面的对话并解答问题：（1）求新学校中男生的人数（用含a ，b 的代数式表示）．（2）你认为在什么情况下小红的答案是正确的．2.众数：一组数据中出现次数最多的那个数．表示大多数水平，但如果一组数据出现多个众数时，就没有多大意义，也不能充分利用所有的数据信息． 练习：一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，其中各种尺码的销售量如下表所示： 尺码（厘米） 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量（双） 1 2 5 11 7 3 1如果你是鞋店的经理，为了增加销售量，你会最关注哪个统计量（ ）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差3.中位数：将一组数据按大小顺序排列，位于最中间位置的一个数据（当有偶数个数据时,为最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．表示中等水平，但不能充分利用所有的数据信息． 练习：某班20名女同学的身高统计如下：身高（m ）1.50 1.54 1.58 1.62 1.66 1.70 人数 2 3 5 4 5 1那么这20名女同学的身高的中位数是_________．4.方差的计算公式：S 2＝ 1 n[( x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋(x 3－x －)2＋…＋(x n －x －)2] 其中n 表示数据个数，即样本容量；x －表示这组数据的平均数．★★★方差表示一组数据的波动大小（离散程度），方差越大，说明数据波动越大，越不稳定；方差越小，说明数据波动越小，越稳定．练习：（1）数据7、2、6、4、4、3的方差为__________．（2）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都为8.9环，方差分别为S 2甲＝0.33环2，S 2乙＝0.48环2，则两人中成绩较稳定的是_________．5.标准差等于方差的算术平方根，即S ＝S 2．6.5个连续整数的方差是2．例如：－2，0，1，－1，2这5个连续整数的方差等于2；标准差等于2． 因为 45%＋55% 2 ＝50%，所以新学校中男生的人数占总学生人数的50%． 你的答案不完全正确，只有在特殊情况下才对． 小红 小明7.若一组数据x1，x2，…，x n的平均数为x－，方差为S2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的平均数为a x－＋b，方差为a2S2．当一组数据的每一个数都加上或减去同一个数时，平均数变成原平均数加上或减去这个数，方差不变；当一组数据的每一个数都变成原数的a倍时，平均数变成原平均数a倍，方差变成原方差的a2倍．练习：如果数据x1，x2，…，x n的平均数为3，方差为2，则数据3x1＋1，3x2＋1，…，3x n＋1的平均数为________，方差为_________．第四章平行四边形1.★★★n边形的内角和为(n－2)×180°（n≥3）．练习：（1）一个七边形的内角和是________．（2）若一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形的边数为_______．2.★★★任何多边形的外角和为360°．练习：（1）已知一个n边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为_________．（2）已知一个多边形的每一个内角都是144°，则该多边形的边数为_________．3. n 边形的对角线总数＝n(n－3)2．4.★★★平行四边形的性质：从边、角、对角线、对称性考虑．边：平行四边形对边平行且相等；角：平行四边形对角相等；对角线：平行四边形对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形．5.★★★平行四边形的判定：（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形时平行四边形．练习：已知在四边形ABCD中，AB＝C D，添加一个条件：_____________可判定该四边形是平行四边形．6.★★★中心对称图形：如果一个图形绕着一个点旋转180°后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．性质：对称中心平分连结两个对称点的线段．练习：下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7.在直角坐标系中，点(x ,y)关于原点成中心对称的点是(－x ,－y)．8.★★★三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．练习：（1）如图，已知矩形ABCD，AB ＝4，BC＝6，R是CD的中点，P是BC上的动点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC边上移动时，EF始终等于________.（2）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M是BC边上一动点，E、F分别是AD、DM的中点，则EF的最大值是__________．（1）图（2）图9.中点四边形：连结四边形四条边上的中点构成的四边形，该四边形是平行四边形．若一个四边形的对角线互相垂直，则这个四边形的中点四边形是矩形；若一个四边形的对角线相等，则这个四边形的中点四边形是菱形．10.★★★反证法：应假设结论不成立！练习：用反证法证明“在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°”时，应假设_______________．练习：用反证法证明“在三角形的内角中，最多有一个角是直角或钝角”时，应假设_________________．11.★★★在直角坐标系中，已知三个点的坐标，求第四个点的坐标使之与已知的三个点构成平行四边形，则第四个点的坐标有3个．例：在平面直角坐标系中，已知A(－1 ,3)，B(2 ,3)，C(1 ,－3)，D(a,b)，若以A，B，C，D为顶点的四边形恰好是平行四边形，则点D的坐标为________________________.分析：先画出图形，发现顶点D有3种情况.然后利用平移的方法分别求出.（1）求D1：B(2 ,3)平移到A(－1 ,3)是横坐标减去3，纵坐标不变，则C(1 ,－3)平移到D1(a,b)也是横坐标减去3，纵坐标不变，即D1(－2 ,－3).（2）求D2：A(－1 ,3)平移到B(2 ,3)是横坐标加上3，纵坐标不变，则C(1 ,－3)平移到D2(a,b)也是横坐标加上3，纵坐标不变，即D2(4 ,－3).（3）求D3：C(1 ,－3)平移到B(2 ,3)是横坐标加上1，纵坐标加上6，则A(－1 ,3)平移到D3(a,b)也是横坐标加上1，纵坐标加上6，即D2(0 ,9).由于平行四边形对角线互相平分，所以也可以利用中点公式求第四个顶点坐标（最后补充中有介绍）.练习：在平面直角坐标系中，已知A(1 ,3)，B(－2 ,5)，C(－3 ,－4)，D(a,b)，若以A，B，C，D为顶点的四边形恰好是平行四边形，则点D的坐标为__________________________________.第五章特殊平行四边形1.★★矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相；（3）具有平行四边形的所有性质.2.★★矩形的判定：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形.练习：如图，在□ABCD中，（1）请添加一个条件：______________，使得□ABCD成为矩形．（2）请添加一个条件：______________，使得□ABCD成为菱形．3.★★菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（3）具有平行四边形的所有性质.4.★★菱形的判定：（1）定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边都相等的四边形是菱形.注意：要证明一个四边形是矩形或菱形时，一般先证明该四边形是平行四边形，再根据边或对角线的关系证明其是矩形或菱形.5.★★正方形的性质：矩形的性质＋菱形的性质.6.★★正方形的判定：先判定是矩形或菱形，再根据角、边或对角线的关系证明其是正方形.练习：已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，则这个条件可以是_____________．第六章反比例函数1.★★★反比例函数的三种形式：（1）y＝kx；（2）k＝xy；（3）y＝kx－1.（k≠0）例1：反比例函数y＝－32x的比例系数为_________.分析：错解：答案为3或－3；正解：－32.技巧：只需把x去掉，剩下部分就是比例系数.例2：已知y是关于x的反比例函数，当x＝34时，y＝－4，则这个反比例函数的表达式为______.分析：利用k＝xy很容易求出比例系数k的值，结果写成y＝kx形式.例3：若函数y＝(n－1)x n2－2是反比例函数，n＝________.分析：由y＝kx－1可得n2－2＝－1，n＝±1；但由于n－1≠0，n≠1，所以n＝－1.2.★★★反比例函数的图象和性质：图象形状：双曲线．k＞0，图象在第一、三象限，在每一个象限内，图象从左到右下降，y随x的增大而减小；k＜0，图象在第二、四象限，在每一个象限内，图象从左到右上升，y随x的增大而增大.注意：反比例函数的增减性是指在某一个象限内.我们不能说当k＞0时，y随x的增大而减小.例1：已知(x1 ,y1)，(x2 ,y2)，(x3 ,y3)是反比例函数y＝－4x的图象上的三个点，且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＜y1＜y3B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1分析：利用图象求解.先在x轴上找到满足条件的x1，x2，x3，再在y轴上找到相应的y1，y2，y3，观察上下位置即可得到结论.例2：已知反比例函数y＝2x，当x＞－1，y的取值范围是_____________.分析：必须得画图象求解！先画出直线x＝－1，x＞－1表示在直线x＝－1的右侧，找到函数图象在直线x＝－1右侧的部分，再找到这部分图象在y轴上的投影（一定要细心），最后写出取值范围.例3：如图，一次函数y1＝k1x＋b的图象和反比例函数y2＝k2x的图象交于A(1，2)，B(－2，－1)两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（）A．x＜1B．x＜－2C．－2＜x＜0或x＞1D．x＜－2或0＜x＜1 分析：过A、B两点画y轴的平行线，这两条直线和y轴把坐标平面分成4个部分；y1＜y2表示y1的函数图象在y2的函数图象的下方，即直线在曲线的下方，由图象可知是①和③两部分，所以x的取值范围是x＜－2或0＜x＜1.3.★★反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上的任意一点作x轴和y轴的垂线，则两垂线与x轴、y轴所围成的矩形面积等于|k|.例1：如图，点P 在反比例函数y ＝ k x 的图象上，矩形PMON 的面积等于3，则k ＝______. 分析：错解：k ＝3，没有考虑图象所在的象限.正解：根据k 的几何意义得，|k |＝3，k ＝±3，由于反比例函数图象在第二、四象限，k ＜0，所以k ＝－3.例2：如图，直线x ＝t (t ＞0)与反比例函数y ＝ 2 x ，y ＝－1 x的图象分别交于B 、C 两点，A 为y 轴上的任意一点，则△ABC 的面积为（ ）A ．3B ． 3 2 tC ． 3 2D ．不能确定 分析：连结OB 、OC ，由于△ABC 和△OBC 是同底等高的两个三角形，故面积相等，利用反比例函数k 的几何意义就很容易求出△OBC 的面积.4.★★★反比例函数y 1＝ k 1 x 与一次函数y 2＝k 2x ＋b 综合题（1）求两个函数的交点坐标.把这两个函数的解析式等起来，即 k 1 x＝k 2x ＋b ， 即可求出交点的横坐标，再把横坐标代入反比例函数或一次函数求出纵坐标.（2）求两交点与原点构成的三角形的面积.像这种，无法直接用面积公式计算的，可以用割或补的方法求解.例如，如图，方法1：x 轴或y 轴把△AOB 分成两个三角形；方法2：在△AOB 周围补成一个长方形.（3）求反比例函数的值小于一次函数的值时x 的取值范围.该问题还可以这样表述：“求当y 1＜y 2时，x 的取值范围”、“求不等式 k 1 x ＜k 2x ＋b 的解”、“求不等式 k 1 x－b ＜k 2x 的解”. （4）反比例函数和正比例函数的两个交点关于原点对称.例如，若一个交点坐标为（2，－1），则另一个交点坐标为（－2，1）.5.★★★反比例函数与几何图形综合题例1：如图，点A 是反比例函数y ＝ 2 x(x ＞0)的图象上任意一点，AB ∥x 轴 交反比例函数y ＝－ 3 x 的图象于点B ，以AB 为边作□ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S □ABCD 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5分析：当BC 、AD 与x 轴垂直时，也满足题意，此时□ABCD 的面积就很容易利用k 的几何意义求出.例2：如图，四边形OABC 和ADEF 均为正方形，反比例函数y ＝8 x的图象分别经过AB 的中点M 及DE 的中点N ，则正方形ADEF 的边长为________.分析：由于点M 在反比例函数图象上，故设M (a ，8 a)，结合图象可知， OA ＝a ，AM ＝8 a ，由于M 为AB 中点，OA ＝AB ，所以OA ＝2AM ，即a ＝2×8 a，解得a ＝±4，∵a ＞0，∴a ＝4，即正方形OABC 的边长为4.接下来有两种方法.方法1：根据几何图形中的数量关系设参数t ，用t 表示点N 的坐标，然后代入反比例函数求解.设正方形ADEF 的边长为t ，则AD ＝t ，OD ＝4＋t ，由于N 为ED 中点，所以DN ＝ 1 2t ，所以点N 的 A D C By x O 2y x = 3y x =-坐标为(4＋t ， 1 2 t )；∵点N 在反比例函数y ＝8 x 的图象上，∴(4＋t )× 12 t ＝8，解得t ＝－2±25，∵t ＞0，∴t ＝－2＋25，即正方形ADEF 的边长为25－2.方法2：根据反比例函数设参数t ，用t 表示点N 的坐标，然后根据几何图形中的数量关系求解. 由于点N 在反比例函数图象上，故设N (t ，8 t )，结合图象可知，OD ＝t ，DN ＝8t ，∵OA ＝4，∴AD ＝OD －OA ＝t －4，∵N 为ED 中点，∴ED ＝2DN ＝16 t ，∵AD ＝ED ，∴t －4＝16t ，解得t ＝2±25，∵t ＞0，∴t ＝2＋25，∴AD ＝t －4＝25－2，即正方形ADEF 的边长为25－2.注意：大部分反比例函数和几何图形的综合题都需要设参数列方程求解.一般的方法就是上面所说的这两种. 补充1.等边三角形边长为a ，则高h ＝32a ，面积S ＝34a 2.练习：已知等边三角的的边长为6，则高为________，面积为__________．2.含30°角的直角三角形的三边比为1∶3∶2，如图，BC ∶AC ∶AB ＝1∶3∶2.练习：如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝3，则BC ＝______，AB ＝_______． 3.直角三角形斜边上的高＝两条直角边的乘积除以斜边. 练习：如上题图，点C 到AB 的距离＝_______. 4.对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半.（比如菱形） 5.中点坐标公式：若A (x 1 ,y 1)，B (x 2 ,y 2)，则AB 中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2 2 ，y 1＋y 2 2 . 例：如图，四边形ABCD 是平行四边形，已知A (－2,4)，B (3 ,1)，C (6 ,3)，则D 点的坐标是___________. 分析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 和BD 互相平分，即AC 的中点和BD 的中点是同一个点， ∴根据中点公式得，x A ＋x C 2 ＝x B ＋x D 2，即x A ＋x C ＝x B ＋x D ，也就是－2＋6＝3＋x D ，x D ＝1；同样地，y A ＋y C 2 ＝y B ＋y D2 ，即y A ＋y C ＝y B ＋y D ，也就是4＋3＝1＋y D ，y D ＝6.故D 点的坐标是(1,6).6.两点间距离公式：若A (x 1 ,y 1)，B (x 2 ,y 2)，则AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2．7.翻折问题通常解题思路：找翻折前后相等的线段，设未知数，找直角三角形，用勾股定理列方程计算. 例：如图，菱形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC ＝16，BD ＝12，折叠纸片使线段DO 落在边DA 上，折痕交AO 于点P ，则DP 的长为________. 分析：先作出折叠后O 点的位置，如图，点E 就是点O 折叠后的点，即DE ＝DO ， ∵PO ⊥DO ，∴PE ⊥AD ；∵OD ＝ 1 2 BD ＝6，OA ＝ 12AC ＝8，AC ⊥BD ，∴AD ＝10，∵DE ＝DO ＝6，∴AE ＝AD －DE ＝4；设PO ＝x ，则PE ＝PO ＝x ，AP ＝8－x ，在Rt △APE 中，AE 2＋PE 2＝AP 2，即42＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝3，∴DP ＝DO 2＋PO 2＝62＋32＝35. 8.如图，S 1＋S 3＝S 2＋S 4 S 1×S 3＝S 2×S 4AB C30°EABCDP O x y9.反比例函数图象既关于原点成中心对称，又关于直线y＝x成轴对称.图象越靠近坐标轴，|k|越小；越远离坐标轴，|k|越大.例：如图，k1＜0＜k2＜k310.如图1，求△MON的面积可通过图2和图3的方法求解.图2中，S△MON＝S矩形OEGF－S△OEM－S△OFN－S△GMN ，图3中，S△MON＝S梯形ABNM11.几种基本图形.（1）平行线＋角平分线结论：AC＝AB（2）同角或等角的余角相等13.动态几何问题中求定值的方法：特殊图法.例2：如图1，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是__________.分析：由题意可知，阴影部分的形状是在变化的，但是面积却不变，所以可以在如图2中求阴影部分的面积，显然阴影部分的面积等于一个正方形面积的一半.14.关于x的方程m(x＋h)2＋k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝－3，x2＝2，则方程m(x＋h －3)2＋k＝0的解是________．分析：先写出一个以－3，2为根的一元二次方程(x＋3)(x－2)＝0，再变形成题目中的形式，即(x ＋12)2－254＝0，所以m＝1，h＝12，k＝－254，最后只要解这个方程(x＋12－3)2－254＝0即可．本题更简单的方法是运用整体思想，把方程看成m(□＋h)2＋k＝0，那么□内只能填－3或2，当□是用x－3表示时，x－3＝－3或2，所以x＝0或5.k1k3k2图1 图2 图3A BC DA BCDEG1结论：∠1＝∠2∵∠1＋∠AFD＝90°∠2＋∠AFD＝90°∴∠1＝∠2例1：如图1，点E在AD上移动，求EM＋EN的值.显然这是一题动态图中求定值问题，我们可以用特殊图的方法求.令点E运动到与点A重合，如图2，则EM＝0，EN＝AN，所以EM＋EN＝AN，AN就是Rt△ABD斜边上的高，所以AN＝AB×ADBD.图1图2图2图11314。