（2） Exsεt = 0, ∀s < t 那么我们就说xt遵循一个一阶自回归或AR(1)随机过程。
可见,AR(1)模型中，xt在t时刻值依赖于两部分，一部分依 模型中， 时刻值依赖于两部分， 可见 模型中 时刻值依赖于两部分 赖于它的前一期的值x 另一部分是依赖于与x 赖于它的前一期的值 t-1；另一部分是依赖于与 t-1不相关 的部分ε 的部分 t 可将AR(1)模型写成另一种形式： 模型写成另一种形式： 可将 模型写成另一种形式
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 +L+ ϕ p xt − p + εt
其中： (1) p ≠ 0 (2) εt是白噪声序列 (3) Exsε t = 0, ∀s < t
E (ε t ) = 0，Var (ε t ) = σ ε2 , E (ε t ε s ) = 0, s ≠ t
那么我们就说xt遵循一个p阶自回归或AR(p)随机过程。
例如： ARIMA(2,1,2)表示先对时间序列进行一阶差分，使之 转化为平稳序列，然后对平稳序列建立ARMA(2,2)模型。 ARIMA(p,0,q)就相当于ARMA(p,q)。 ARIMA(p,0,0)就相当于AR(p)。 ARIMA(0,0,q)就相当于MA(q)。 对于一个ARIMA(p,d,q)也可以用推移算子B表示如下 ϕ (B )(1 − B) d xt = θ ( B)ε t 其中： ϕ (B ) = 1 − ϕ 1 B − ϕ 2 B 2 − L − ϕ p B p
(二).二阶自回归模型，AR(2)
1.设{xt}为零均值的随机序列，如果关于xt的合适模型为： 其中：
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 + εt
ε （1） t是白噪声序列
E (ε t ) = 0，Var (ε t ) = σ ε2 , E (ε t ε s ) = 0, s ≠ t
（2） Exsε t = 0, ∀s < t 那么我们就说xt遵循一个二阶自回归或AR(2)随机过程。 思考：若建立 模型以后， 思考：若建立AR(2)模型以后，上述假设不符合，说明了 模型以后 上述假设不符合， 什么问题？ 什么问题？
xt −ϕ1xt −1 = εt
通过这一种形式可以看出，AR(1)模型通过消除 t中依赖于 模型通过消除x 通过这一种形式可以看出， 模型通过消除 xt-1的部分，而使相关数据转化成了独立数据。 的部分，而使相关数据转化成了独立数据。
2.随机游走 随机游走(Random Walk)过程 随机游走 过程
θ (B ) = 1 − θ 1 B − θ 2 B 2 − L − θ q B q
(1 − B) d xt = ∆d xt
第二节
ARMA(p,q)模型的平稳性和可逆 ARMA(p,q)模型的平稳性和可逆 性
一、时间序列模型的平稳性 二、时间序列模型的可逆性 三、AR模型的平稳性条件 四、MA模型的可逆性条件 五、ARMA模型的平稳性条件和可逆性条件
三、AR(p)模型的平稳性条件
对于一个有限阶的AR(P)模型：
2 p ϕ 其中： (B ) = 1 − ϕ1 B − ϕ 2 B − L − ϕ p B
Φ ( B ) xt = ε t
例如，二阶自回归模型 xt = 0.7 X t −1 + 0.3 X t − 2 + ε t ，可 写成 (1 − 0.7 B − 0.3B 2 ) xt = ε t
二、移动平均模型（Moving average model , MA）
（一）一阶移动平均模型，MA(1) 如果关于零均值随机序列xt的合适的模型如下：
自回归系数多项式
引进滞后算子，中心化 AR ( p )模型又可以为
xt = ϕ1 Bxt + ϕ 2 B 2 xt + L + ϕ p B p xt + ε t 从而有： (1 − ϕ1 B − ϕ 2 B 2 − L − ϕ p B p ) xt = ε t 记：
则模型可以表示成：
Φ( B) = 1 − ϕ1 B − ϕ 2 B 2 − L − ϕ p B p
四、 求和自回归移动平均模型（ARIMA , Integrated Autoregressive Moving average model）
如果序列xt是均值非平稳的，对其进行d次差分后，变成了 平稳的序列∆dxt，这个差分后的平稳序列的适应性模型为 ARMA(p,q) ，此时就称对原始序列xt建立了ARIMA(p,d,q) 模型。 其中： p为自回归部分项阶数， q指移动平均部分 阶数， d为使序列平稳之前必须对其差分的次数。
对于上式，可以证明如下结论： ∞ 2 Var ( xt ) = σ a ∑ G 2 j
j =0
2 σ a 且： E (ε t xt − j ) = 0
j=0 j>0
∞ i =o =o
2 γ k =; k
G2 < ∞ 由于平稳过程的方差存在。因此必须有∑ j
j =0
∞
这是平稳过程的条件。
对于一个有限阶的MA(q)模型 总有：
∞ q
x t = ε t − θ 1ε t − 1 − θ 2 ε t − 2 − L − θ q ε t − q
G2 = 1+ ∑θi2 < ∞ ∑ j
j =0 i =1
所以，一个有限阶的 一个有限阶的MA(q)模型总是平稳的。 模型总是平稳的。 一个有限阶的 模型总是平稳的 一个有限阶的MA(q)模型本身就是一种传递形式。 模型本身就是一种传递形式。 一个有限阶的 模型本身就是一种传递形式
xt = εt −θ1εt −1
其中：εt为白噪声序列，那么就称xt满足一阶移动平均 过程，记作MA(1)
（二）一般移动平均模型，MA(q)
如果关于零均值时间序列xt的合适的模型如下：
xt = εt −θ1εt −1 −θ2εt −2 −L−θqεt −q
其中： (1)εt为白噪声过程 (2)θ q ≠ 0 那么就称xt满足q阶移动平均过程，记作MA(q) 使用滞后算子，MA(q)模型可以写成：
一、自回归模型（Auto regressive model, AR）
(一).一阶自回归模型，AR(1) 1.设{xt}为零均值随机序列，如果关于xt的合适模型为： 其中：
xt = ϕ1xt −1 + εt
ε 是白噪声序过程（外部冲击） （1） t是白噪声序过程（外部冲击）
E(εt ) = 0，Var(εt ) = σε2 , E(εtε s ) = 0, s ≠ t
xt = (1 − θ1 B − θ 2 B 2 − L − θ q B q )ε t = θ ( B)ε t
三、自回归移动平均模型, ARMA(p,q)
如果零均值序列｛Xt｝的当前值不仅与自身的过去值有 关，而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存 关系，那么它可以用如下的线性模型来描述：
xt = φ1 xt −1 + L + φ p xt − p + ε t − θ1ε t −1 − L − θ qε t − q 其中： （1）φ p ≠ 0，θ q ≠ 0 2 为白噪声过程，即E (ε t ) = 0，Var (ε t ) = σ ε , E (ε t ε s ) = 0, s ≠ t （2）ε t （3）Exsε t = 0, ∀s < t
对于一个有限阶的自回归模型AR(P)
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 +L+ ϕ p xt − p + ε t
总有： 1+
∑
∞
π
j =1
j
=1+
∑
p
ϕ
j =1
j
< ∞
所以，一个有限阶的 模型本身就是一种逆转形式。 所以，一个有限阶的AR(P)模型本身就是一种逆转形式。 模型本身就是一种逆转形式
如果一个时间序列xt的合适的模型为如下的形式： 如果一个时间序列 的合适的模型为如下的形式： 的合适的模型为如下的形式
xt = xt −1 + ε t
其中： 为白噪声序列 那么就称xt为随机游走过程 为白噪声序列， 其中：εt为白噪声序列，那么就称 为随机游走过程 。 “随机游走”一词首次出现于1905年自然（Nature）杂志 随机游走”一词首次出现于 年自然（ 随机游走 年自然 ） 的一篇通信中。 第72卷Pearson K. 和 Rayleigh L.的一篇通信中。该信件 卷 的一篇通信中 的题目是“随机游走问题” 的题目是“随机游走问题”。文中讨论寻找一个被放在 野地中央的醉汉的最佳策略是从投放点开始搜索。 野地中央的醉汉的最佳策略是从投放点开始搜索。
思考：如果{xt}是一个非零均值的平稳时间序列， 怎么对其建立模型？
Ex 设： t = µ E 于是： ( xt − µ ) = 0 则可对序列{xt − µ} 建立ARMA模型：
例如AR模型的一般形式可写为： ( xt − µ ) − ϕ1 ( xt −1 − µ ) − ϕ 2 ( xt − 2 − µ ) − L − ϕ p ( xt − p − µ ) = ε t 若μ未知，可估计如下模型： xt − ϕ1 xt −1 − ϕ 2 xt − 2 − L − ϕ p xt − p = ϕ 0 + ε t ϕ0 其中： µ = 1 − ϕ1 − ϕ 2 − L − ϕ p 今后在分析AR模型时，都简化为对它的中心化模型进 行分析。
则称Xt满足自回归移动平均过程，记为ARMA(p,q)。
利用滞后算子，ARMA(p,q)模型可写为：
ϕ(B) = 1−ϕ1B −ϕ2 B2 −L−ϕ p B p 其中： θ (B) = 1−θ1B −θ2 B2 −L−θq Bq
ϕ 且， (B )和θ (B ) 之间不出现公共因子。