三角函数的恒等变换
一、知识导学
1.两角和、差、倍、半公式
（1） 两角和与差的三角函数公式
βαβαβαc o s c o s s i n s i n )s i n (±=±
βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s ( =±
β
αβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n ( ±=± （2） 二倍角公式
αααc o s s i n 22s i n
= ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2
c o s -=-=-= α
αα2tan 1tan 22tan -= （3） 半角公式
2c o s 12s i n 2αα-=
， 2c o s 12c o s 2αα+= ， α
ααc o s 1c o s 12t a n 2+-= αααααs i n c o s 1c o s 1s i n 2t a n -=+= 2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为：（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）.
二、疑难知识导析
1.两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题.
2.倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如
αααcos sin 22sin =成立的条件是“α是任意角，αα是2的2倍角”，精髓体现在角的“倍数”关系上.
3.公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用和变形使用，也要注意公式成立的条件.例
)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±、22cos 1sin 2αα-=、22cos 1cos 2αα+=等.
4. 三角公式由角的拆、凑很灵活.如)()(2βαβαα-++=、ββαα-+=)(、 22β
αβ
αβ+-+=，)2()2(2βα
β
αβ
α+--=-等，注意到倍角的相对性.
5.化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化等.
6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式
(1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口.
(2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等求证.
三、典型例题导讲
[例1] 在∆ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则∠C 的大小应为( )
A.6π
B.3π
C.6π或π65
D.3π或3
2π 错解：C
错因：求角C 有两解后未代入检验.
正解：A
[例2] 已知tan α tan β是方程x 2+33x+4=0的两根，若α，β∈(-2,
2ππ)，则α+β=（ ） A.3π B.3π或-π32 C.-3π或π32 D.-π3
2
错解：B.
错因：未能准确限制角的范围.
正解：D.
[例3] △ABC 中，已知cosA=
13
5，sinB=53，则cosC 的值为（ ） A.6516 B.6556 C.6516或6556 D.6516- 错解：C
错因：是忽略对题中隐含条件的挖掘.
正解：A
[例4] 已知53sin +-=m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ<<2
），则=θtan （ ） A 、324--m m B 、m m 243--± C 、12
5- D 、12543--或 错解：A
错因：是忽略1cos sin 22=+θθ，而解不出m
正解：C
点评：在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法.
四、典型习题导练
1.已知集合M=}{R x x x y y ∈+=,cos sin ，N=}{R x x x y y ∈=,cos sin π则MUN 等于（ ）
A.M
B.N
C.ф
D.}{22≤≤-y y
2.若sinα+cosα=2,则tanα+cotα=( )
A.1
B.2
C.-1
D.-2
3.已知2л＜α＜л＜,sinα=54,则cos 2
α的值为( ) A.25或-55 B.- 55 C. 5
5 D.以上都不对 4.已知θ=5
л,则`34an 3an 334an 3t θθθθt t t an ++= . 5.计算sin 10
лsin 1013л= . 6.已知tanA·tanB=tanA+tanB+1，则cos(A+B)的值是（ ） A.22- B.22
C.22±
D.21± 7.已知角A 是△ABC 的一个内角，且3
2cos sin =
+A A ，则△ABC 是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形
D.形状不确定
8.已知向量.552|),sin ,(cos ),sin ,(cos =
-==b ββαα （1）求)cos(βα-的值；
（2）若αββππαsin ,13
5sin ,02,20求且-=<<-<<的值.。