高等光学思考题和习题一、光的电磁理论、傅里叶分析（一）思考题1.1.指出周期函数和非周期函数的频谱有何区别，实函数和偶函数的频谱有何特点，原函数的有效宽度和频带宽度之间的关系。

1.2. 光场按线性系统的本征函数展开的物理意义及其好处？分别写出坐标算子x 和梯度算子-i ∇的本征解和正交性（分连续和分立两种情形）。

1.3. 光场用复数表示的好处及其适用条件？1.4. 解释空间频率、角谱以及光场用平面波角谱展开的物理意义。

如何理解衰逝波(非均匀平面波)和全反射的古斯-汉欣位移?1.5. 平面波的波矢k 是复数时表示何物理意义? 在什么情况下k 是复数?1.6.如何理解点源含有最丰富的信息，平面波不带任何信息？(二)习题:1.1.证明平面波的平均能流密度为<>=* S E r H r 1200Re(()()]式中E 0(r)和H 0(r)分别是电矢量和磁矢量的振幅。

1.2.求准单色波列的频谱.1.3.求准单色光振动f t A t t j t ()exp[()]exp[()]=--+022002τπνϕ的频谱分布。

1.4.证明近轴近似下的球面波的空间频谱F T j k z x y j z j z f f x y .{exp[()]}exp[()]22222+=-+λπλ1.5.证明两个高斯函数的卷积仍然是高斯函数。

1.6.证明两个洛伦兹函数的卷积仍然是洛伦兹函数。

二.标量衍射理论. 成像系统的频谱分析（一）思考题:2.0.什么叫标量衍射理论? 条件, 适用范围? 并简要说明理由。

2.1.说明卷积的展宽性质和谱函数的性质及其光学意义。

2.2.说明按平面波展开的衍射积分公式的物理意义并将公式写成入射波和某个函数的卷积形式, 该函数的的物理意义是什么？在自由空间中，点扩展函数，传递函数，本征函数和本征值之间是怎样的关系？2.3.说明衍射光栅的三要素和光栅光谱仪的三个指标的意义, 光栅光谱仪与F-P光谱仪的异同。

2.4. 说明基尔霍夫公式的物理意义并将公式写成入射波和某个函数的卷积形式，该公式与按平面波展开的衍射积分公式是否等价？2.5. 在菲涅耳近似中,试解释λfx = cosα～ (x-x0)/z << 1的物理意义，将菲涅耳衍射写成卷积形式，与基尔霍夫公式的卷积形式相比较能得出什么结论。

2.6. 写出夫朗和费衍射的条件和举出几种实验观察方法并说明夫朗和费衍射的实质。

2.7. 试分析正弦振幅光栅衍射的特征，当光栅周期d ≤λ时，（超高频）衍射的特征如何？怎样理解被探测物的精细结构以波长为极限？2.8.为什么图象经放大后变不清晰？2.9.试分析大量全同孔径夫朗和费衍射的特征以及轴外点的光强分布特点。

2.10.平面波和点光源是最基本的光学函数模型，怎样理解前者不携带光学信息而后者含有最丰富的光学信息？为什么我们无法通过光学仪器准确测量平面波的角谱或者被测点光源本身？2.11.带限函数的定义？取样定理的内容及其光学模拟.为什么取样定理的形式不是唯一的？成像系统空间带宽积的意义?2.12.比较衍射受限系统的相干传递函数和光学传递函数的区别和联系。

(二)习题:2.1.证明发散球面波的夫朗和费衍射是会聚球面波, 且满足物象关系(近轴近似适合于菲涅耳衍射, 也是高斯光学的前堤)。

2.2.用波长=5000A的单色光垂直照射焦距f=25cm的透镜, 在透镜前放入一遮光圆屏,圆屏中心在光轴上。

(1)若在焦点F处放置观察屏, 求屏上振幅分布和强度分布及衍射图样中心强度与不加屏时中心强度之比;(2)α0是透镜在F点所张的角半径, α1是屏在F点张的角半径。

若α0=2α1, 问第一暗环的直径多大?2.3.就以下两种情况, 求二维矩形光栅(矩形通光孔尺寸a×b, a方向的光栅常数为d1, 缝数为N1, b方向的光栅常数为d2, 缝数为N2)的夫朗和费衍射(1)用平面波垂直照明;(2)用沿x-z 平面并与z 轴成α角的平面波照明。

2.4.N 个全同椭圆孔沿其长轴方向等间隔地排列,椭圆孔的长轴为a, 短轴为b, 中心间隔为d 。

在夫琅和费衍射条件下, 求衍射光强在过衍射图样中心, 且与孔心线相平行的直线上的分布。

2.5.(1)设z=0平面上的透射函数为F A (,)exp[]ξηξηω=-+2202求在z 取任意值的平面上的衍射复振幅分布;(2)证明当z 值很大时, 在靠近z 轴处, (1)中得到的衍射波的等相面可近似视为半径R z z k ()[]=+120402ω4z的球面。

(本题所计论的衍射问题, 也就是高斯光束的传播情况。

)三. 光的干涉 部分相干光理论(一)思考题:3.1.说明准单色扩展光源所产生的干涉条纹的特点，解释当准单色均匀扩展线光源的线宽 P = D λ / d 时杨氏干涉条纹可见度为零。

3.2. 说明准单色点光源所产生的干涉条纹的特点，3.3. 空间相干性和时间相干性指的是什么？如何量度？光源的角宽度和相干孔径角是如何定义的？证明相干长度 Lc = λ2/∆λ。

3.4.描述热光源的特性和部分相干光理论的方法。

3.5.说明V (P,t )和KV (P,t-ρ/c)的物理意义。

3.6.说明互相干函数Γ12(τ)和互谱密度G12(ν)的物理意义。

如何利用杨氏干涉条纹测量准单色波场某二点之间的复相干度γ12(ν)?3.7.考虑两个中心频率分别为ν1和ν2的准单色光之间的干涉, 问观测时间必须短到什么程度才能测得干涉条纹?3.8.说明互强度J (P1, P2)的物理意义, 如何用它来描述准单色光的干涉定律?3.9.为什么严格意义上的完全非相干场不存在？如何定义初级非相干光源? 为什么对于初级非相干光源尖锋函数的形式无关紧要?3.10.如何描述一个较为实际的相干场?3.11.如何理解激光具有良好的时间相干性和空间相干性？3.12.(1)当把一单色点光源放在一会聚透镜物空间焦点上, 观察屏与透镜空间焦面重合, 则观察到夫琅和费圆孔衍射图样。

现在将光源换为圆状准单色初级光源, 圆中心在光轴上, 圆面垂直于光轴, 要想仍获得夫琅和费圆孔衍射图样, 对光源大小。

频宽以及透镜直径应有什么限制?(2)在衍射计实验中, 光源不是单色点光源, 但仍引用夫琅和费圆孔衍射的结果, 即取I Q I Q J u u u a ()()()()(()),sin 121222===πλφ根据(1)的结果, 试说明为什么可以如此处理?3.13.为什么要研究部分相干光的成象?3.14.如何从Shell 定理导出单色光的夫朗和费衍射？当照明所具有的相干面积远小于孔径时，衍射强度如何？试说明理由。

3.15.说明相干照明和非相干照明的近似条件。

3.16. 对相干性极好的激光，相干时间可以大于探测器的响应时间，互相干函数如何定义？3.17. 互强度是如何引入的？为什么用它描述准单色近似下的相干性问题？在准单色初级光源内相干尺度多大？在此光源（面积A S ）的辐射场中的近轴范围内相干尺度多大？3.18. 利用非相干照明情况下输出强度和输入强度成线性写出杨氏干涉装置的点扩展函数及输出与输入强度的关系。

3.19. 二阶相干性的概念及其与一阶相干性的关系？(二)习题:3.1.已知太阳的表观角直径为0.5。

平均有效波长为6000A, 求阳光的相干面积。

3.2.用两个相距很近的.互不相干的点光源S1和S2照射杨氏实验中的双缝, 在什么样的条件下观察屏上的照度等于4I0? I0是在遮住一个缝的情况下,S1或S2单独在屏上产生的照度。

3.3.波长为6328A的红色激光,其波长宽度Δλ=2×10-7A, 试计算其频宽。

相干时间和相干长度.3.4.在迈克尔逊干涉仪中, 用钠光灯为光源, 在干涉图样两次消失之间, 平面镜移动 0.289mm。

试计算两条钠谱线的波长差(其中一条谱线的波长λ=5889.95A)。

3.5.一个直径为d的发光面元, 所发出光的平均波长为λ, 如果用干涉孔径角量度的话,其空间相干性是多少弧度? 如果用相干面积量度, 距光源 nd 远处的相干面积多大?3.6.如图(1)所示的用迈克尔逊双星干涉仪测量双星的角直径。

整个装置的轴与其中一个星体发出的光平行, 来自另一个星体的光线与装置成一角度θ,到达光的光程M1M3S1=M2M4S2, 假定星体的光是一很窄的线宽, 其中心在波长λ0附近,轴向星体在S1和S2产生的扰动是同相的。

试说明如何测量角θ(利用图中已知尺寸h,a 。

) Fig.13.7.一FP腔的反射率R=0.98,腔内介质的折射率1.55,厚4cm,用拓展光源做实验,波长0.6微米.问:(1)中心干涉级数是多少?(2)在倾角1附近干涉圈的半角宽是多少?(3)色分辨本领有多高?可分辨最小波长间隔有多少?(4)如果用它对白光进行选频,透射最强的谱线有多少条,波长各为多少?每条谱线的宽多少?(5)由于热胀冷缩,引起腔长的改变量为10-5(相对值),谱线的漂移量为多少?3.8.证明V t A i t t tt t()exp(),/,/ =-≤>⎧⎨⎩22 0211πν的复相干度为γττπντ()()exp()=--1210t i3.9.阻尼振子的辐射场中某点复扰动为V t A t t i t t t ()exp(/)exp()=--><⎧⎨⎩102000φπν式中t 1是自发辐射寿命。

（1）求频谱；（2）证明P 点的复相干度为γττπντ()exp(/)exp()=--t i 102 3.10.用λ=6000A(Δλ=0.1A)的准单色扩展光源照明杨氏双孔。

r 1=29.97cm, r 2=30.00cm 。

只开P1孔时I (1)(Q)=I 0, 只开P 2孔时I (2)(Q)= 4I 0, 两孔都开时 I(Q)=6I 0, Q 点的条纹可见度V(Q)=0.4。

求μ12= ?Fig.23.11.在杨氏双缝干涉实验中, 用与双缝平行的准单色(λ=0.55μm)带状光源照明, 光源到双缝所在平面的垂直距离为1m, 双缝间距2mm。

设光源均匀发光, 且其长度比宽度大得多。

(1)用范西特—泽尼克定理求两缝P1和P2的互强度J(P1, P2)及复相干因子μ(P1,P2);(2)求观察屏上中点附近的可见度。

当要求可见度大于0.9时, 求光源的最大宽度.3.12．用范西特-泽尼克定理解习题1.9。

3.13.证明正薄透镜对于在前后焦面上的互强度构成一个四维傅里叶变换对。

3.14.把衍射计中的圆孔σ换成边长为b的正方形小孔, 并使其一组对边和掩模上两孔P1和P2的边线平行, P1和P2仍保持为圆。

求(1)观察屏F上光强分布的表示式;(2)光源沿哪个方向扩展会影响F上干涉条纹的可见度? 光源线度增加到多大时,可见度降为零?3.15.在图(3)中δ与图面垂直的、均匀的、准单色带状初级光源,其宽度e=5mm, 平均波长λ=5000A, l=10m, P1、P2是与光源平行的无限窄狭缝, P1、P2所在平面与透镜L的前焦面重合.L是柱面透镜, 其焦距f=40cm, 宽度2a=2cm, 在L的后焦面上放置观察屏σ。