①V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)；
②V 锥体＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)；
③V 台＝13(S＋ SS′＋S′)h(不要求记忆)；
④V 球＝43πR3.
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热点分类突破 ➢ 热点一 三视图与直观图 ➢ 热点二 几何体的表面积与体积 ➢ 热点三 多面体与球
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热点一 三视图与直观图
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4.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)； ②S锥侧＝ ch′(c为底面周长，h′为斜高)；
③S台侧＝ 1 (c＋c′)h′(c′，c分别为上，下底面的 周长，h′12为斜高)； ④S球表＝42πR2(R为球的半径).
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(2)柱体、锥体和球的体积公式：
例1 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的 体积为( )
思维启迪 根据三视图
确定几何体的 直观图；
8
32
A.3
B.8
C.
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3
D.16
解析 由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三 角形的直三棱柱，如图：
则该几何体的体积V＝ 1×2×2×4＝8. 2
答案 B .
(2)(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几 何体的直观图可以是( )
16＋ 3 A. 3
8＋6 3
16
20
B. 3 .
C. 3
D. 3
解析 过M，N分别作两个垂直于底面的截面，将多面 体分割成一个三棱柱和两个四棱锥，
由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形，面积为
S1＝ 1×2×2＝2，高为2，所以体积为V1＝4， 2
两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积为
V1＝2×1×2×1×2＝ 8，
A.66 C.70
B.68 D.72
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思维启迪 对几何体进行
分割.
解析 如图，连接DF，DC1， 那么几何体EFC1－DBC被分割成三棱 锥D－EFC1及四棱锥D－CBFC1，
那么几何体
EFC1 － DBC
的体积为
V
＝
1 3
×
1 2
×3×4×6＋13×12×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.
故所求几何体EFC1－DBC的体积为66.
体的形状，即可得到结果.
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变式训练1
(1)(2013·课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直 角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)， (0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时， 以 zOx 平 面 为 投 影 面 ， 则 得 到 的 正 视 图 可 以 为 ( )
C.. 3 π
D.2π
思维启迪 要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空
间位置关系确定球心的位置，由于△BCD是直角三角形，根据 直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等, 只要再证明这个点到点A的距离等于这个点到B，C，D的距离 即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可.
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3.直观图的斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、 y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在 平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于 坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变， 平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
答案 A .
(1)利用三视图求解几何体的表面积、体积，
关键是确定几何体的相关数据，掌握应用三
思 视图的“长对正、高平齐、宽相等”；
维 升
(2)求不规则几何体的体积，常用“割补”的
华 思想.
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变式训练2
多面体MN－ABCD的底面ABCD为矩形，其正视图和 侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰 三角形，则该多面体的体积是( )
3
3
所以多面体的体积为 V＝83＋4＝230，选 D.
答案 D
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热点三 多面体与球
例3 如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD ＝1，BD＝ ，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体
ABCD，使平2面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶
点在同一个球面上，则该球的体积为( )
3
2
A. 2 π B.3π
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热点二 几何体的表面积与体积
例2 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体
积为( )
思维启迪
由三视图确定几
何体形状；
A. 2π
C.π3
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B.2 2π D.23π
解析 由三视图知，原几何体是两个相同的圆锥的 组合，
∴V＝(13×π×12)×2＝23π.
答案 D
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(2)如图，在棱长为6的正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1 上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF， FB，DE，则几何体EFC1－DBC的体 积为( )
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解析 根据已知条件作出图形：四面体C1－A1DB， 标出各个点的坐标如图(1)所示，
可以看出正视图为正方形，如图(2)所示.故选A.
答案 A
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(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示， 则该几何体的侧视图为( D )
解析 如图所示，点D1的投影 为C1，点D的投影为C，点A的 投影为B，故选D.
D
思维启迪 分析几何体的特征，从俯视图突破.
解析 由俯视图易知答案为D.
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空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左
面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影
图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先
Байду номын сангаас
根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图
思
维 或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整
升 华
实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何
专题22
空间几何体
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空间几何体
主干知识梳理 热点分类突破 真题与押题
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1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积
考 的计算. 情 2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体
解
读 问题.
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3
主干知识梳理 1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面 体、直平行六面体、长方体之间的关系
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2.空间几何体的三视图 (1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物 体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影 形成的平面图形. (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与 正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一 样，宽度与俯视图一样. (3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正 侧一样高.看不到的线画虚线.