第十一章多目标决策(Multi-objective Decision-making) 主要参考文献68, 111§11.1 序言MA：评估与排序MCDPMO：数学规划一、问题的数学表达N个决策变量= {, ,…, }n个目标函数() = ( (), (),…, ())m个约束条件∈X即: ()< 0 k=1,…,m>0(1) 不失一般性，MODP可表示成：P1 M ax { (), (),…, ()}s.t. ∈X这是向量优化问题，要在可行域X中找一，使各目标值达到极大。

通常并不存在，只能找出一集非劣解(2) 若能找到价值函数v( (), (),…, ()) 则MODP可表示成：P2 M ax v ( (), (),…, ())s.t. ∈X这是纯量优化问题，困难在于v如何确定。

二、最佳调和解(Best Compromise Solution)P3 DR (f1(x∙),f2(x∙),…, f n(x∙))s.t. x∙∈X即根据适当的Decision Rule在X中寻找BCS x c ∙常用的Decision Rule: max Vmax EUmin dp (f∙- f∙)求BCS必须引入决策人的偏好三、决策人偏好信息的获取方式1.在优化之前，事先一次提供全部偏好信息如：效用函数法，字典式法，满意决策，目的规则2.在优化过程中：逐步索取偏好信息如：STEM SEMOP Geoffrion, SWT3.在优化之后：事后索取偏好，由决策人在非劣解集中选择i，算法复杂，决策人难理解，ii,计算量大，iii,决策人不易判断各种方式的利弊比较黄庆来[111]的分类表:§11.2 目的规划法适用场合： 决策人愿意并且能用优先级P (Preemptive priority) 权 W (Weight)目的 f ∙( Goal ) 来表示偏好理想点 f*∙( Ideal )一、距离测度的选择d f x f p (() )∙∙∙- = {|() |}w f x f j j j p p∙-∑1范数p 的意义和作用 p=1 绝对值范数 p=2 欧几里德范数 p =∞契比E 夫范数在上图中，B 、C 点到A 的距离p 从1→∞时最大偏差所起作用越来越大，二、目的规划问题的表述min{d f x f p (() )∙∙∙- = {|() |}w f x f j j j p p∙-∑1}s. t.x ∙∈X 即: g k (x ∙)< 0 k=1,…,m x ∙> 0三、分类1.线性目的规划 p = 1 f j , g k 为线性;x ∙连续; w, f ∙事先给定2.整数目的规划 除x ∙各分量为整数外，均同线性目的规划 (例：人才规划)3.非线性目的规划： p=1， w, f ∙事先给定f j ,g k 为非线性，X 为凸集，x ∙连续4.调和规划和移动理想点法: 1≤ p≤∞w事先给定f ∙= f*∙是移动的理想点5.字典序法p = 1f ∙= f*∙P1》P2》…》P L6.STEM法P=∞ f∙= f*∙为理想点，权由计算得出7.SEMOP 目的标定为区间，不是固定点四、例：某车间生产甲、乙两种产品，产量分别为x1和x2，产品甲每单位需2个单位的劳动力和3个单位原料,利润为2；生产产品乙需3个单位劳动力和1.5个单位原料,利润为3。

在下一计划期间车间有12单劳动力12单位原料。

假定车间主任有如下目标：(1)利润至少为6个单位，(2)两种产品产量经尽可能保持x1：x2= 3：2，(3)劳动力充分利用解：按传统的线性规划，使利润最大：max 2x1+ 3x2s. t. 2x1+ 3x2≤12 (劳力约束)3x1+1.5x2≤12 (原料约束)x1, x2≥0用图解法可得x1=3, x2=2时,利润最大为12.五、例(续上例)已知条件中产品甲利润改为4, 其余均不变。

车间主任希望改为: 最低利润12单位(2)产量比例为1, 即x1=x2; (3)充分利用原料解: 新的目标为4x1+3x2≥12 (最低限度利润)x1- x2= 0 (产量比例)3x1+1.5x2=12 (材料充分利用)设定偏差变量d1: 利润d2: 产量比例d3: 原料d4:劳动力利用正、负偏差变量可得：min P1d1-+ P2(d2-+d2+) + P3d3-s. t. 4x1+3x2-d1-+d1+≥12 (利润目标)x1- x2-d2+ d2+= 0 (产量比例)3x1+1.5x2+ d3-=12 (材料充分利用)2x1+ 3x2+ d4-=12 (劳动力约束)本题可以用改进的单纯形法求解(见pp217-221), 也可用图解法求解:解得x *= (2.4, 2.4) , d 1-=d 2+=d 2-=d 4-=0 , d 3-=1.2 , d 4+=4.8§11.3字典序法第一步，由决策人给出n ，按重要性由高到低排成 y 1,y 2,…, y n第二步，用适当方法估计各属性的偏好(效用或价值)函数 w 1(y 1), w 2(y 2), …, w n (y n ) 第三步，依次求解下列问题，进行筛选 问题P 1 max (())x Xw y x ∈11 解为X 1问题P 2 m a x (())x X w y x ∈122 解为X 2… …问题P j m a x (())x X j w y x ∈-122直到 a) 问题P j 只有唯一解, 则该解为最优解b) n 个问题全部解过：决策人用其他准则从X n 中选择一个方案。

§11.4 逐步进行法(STEP Method)特点：P=∞ 只有最大偏差起作用 属于Min max 决策规则 算法步骤对多目标决策问题 max{f x ∙∙()=C x ∙}s. t. A x ∙≤bx ∙≥0记作X 1第一步·求解n 个单目标优化问题 max ()x Xj f x ∈∙j=1,…,n解为 x j *∙得f j *= f x j j ()*∙理想点 f*∙= (f 1*,…,f n *)·列出支付表——使决策人对取不同的x j *时各目标的值有直观认识f 1第二步由 d f x f ∞∙∙∙-(())*= max w f f x j j j (())*-∙求解 min d f x f ∞∙∙∙-(())*s. t. x X ∈1 等价于解 min 入s. t. λ≥w f f x j j j (())*-∙j=1,…,nx X ∈1λ≥0其中 w j jjj n==∑αα1j=1,…,nαj =||()*min *f f f c j j j ji i N-=∑2112式中 f j min从支付表中获得·解(2)得 x ∙1与 f x j ()1∙j=1,…,n第三步 由决策人判断降低某个太好的目标 f x l ()1∙，下降∆f l 再修改约束条件，使A x ∙≤bx ∙≥0X 2: f x l ()∙=f x l ()1∙-∆f lf x j ()∙≥f x j ()1∙j=1,…,n j ≠l以X 2取代X 1，令w l =0重复第二步三、优缺点：直观; 修改有针对性; ∆f l 较难定§11.5 调和解(Compromise solution)和移动理想点法一、基本概念(思路) 1.调和解 x W p∙在求解MODP: min x X∙∈d f x f p (())*∙∙∙- 时f*∙(或 f ∙), W , p 要由决策人确定其中 ·由单调性假设， f ∙=max x X∙∈f x j ()∙j=1,…,n 可以求得·W 可由决策人设定 而P 则很难设定因此，给定权向量W ，定义调和解集X W C= {x X ∙∈|x ∙是给定W 时min x X∙∈{|() |}w f x f j j j p p∙-∑1的解}它是非劣解的子集, 即 X W C⊂X *2.各目标偏差的规范化记f j 0= min x X∙∈f x j ()∙用f f x f fj j jj**()--∙0使偏差无量纲、归一化，否则d p 量纲、单位的选取有关二、求解步骤第一步 由决策人估计权W第二步 f j 0= min x X∙∈f x j ()∙f*∙=max x X∙∈f x j ()∙第三步 构造调和集求解 min x X∙∈d f x f p (())*∙∙∙- p=1,2,∞其中 d wjj n11()∙==∑f f x f fj j jj**()--∙0d wjj n 21()∙==∑[f f x f fj j jj**()--∙0]2d w jj ∞∙=()m a x f f x f fj j jj**()--∙第四步若能从X W C中找出BCS ，则结束 第五步 寻找新的理想点 令 X 2=X W C返回第二步.§11.6 SEMOP(多目标问题的序贯解法)一、思路与记号 ·目的为区间 目的类型 目的表达式偏差测度 d j有上界f x j ()∙≤b jf x j ()∙/b j有下界f x j ()∙≥a ja j /f x j ()∙给定值f x j ()∙= c j12(()())f x c c f x j j j j ∙∙- 区间内a j ≤f x j ()∙≤b jb a b f x b a f x j j jj j j j ++∙∙(()())区间外 f x j ()∙≤a j ,f x j ()∙≥b j b a b f x b a f x j jjj jj j ++∙∙-(()())1·n 个目标分为两类:I q ：加约束的r 个目标的下标集合； J q =J\I q J={1,2,…,n}X q ：X 中的子集，其中的x ∙使 ∀j ∈I q , f x j ()∙在标定区间内·求解min{S dqjqj J q=∈∑}s. t. x X q∙∈将解x q ∙与 f x j q()∙j=1,…,n 送决策人判断·为了向决策人提供必要信息需解(n-r)个辅问题 ·min{S d l qj j J j pq=∈≠∑,}s. t. x X p q∙∈其中, l =1,…,n-rp 是J q中第l 个元素在J 中的序号X p q 是j ∈I q以及j=p 的f x j ()∙均严格处于标定的目的区间内二、解题步骤第一步 由决策人确定r 个应严格限定值域的目标，并给出这r 个目标的目的区间，这r 个目标的序号构成集合I q 第二步 i, 解主问题min{S dq jq j Jq=∈∑}s. t. x X q ∙∈ii, 解n-r 个辅问题 min{S d l qj j J j pq =∈≠∑,}s. t. x X p q∙∈得出x q ∙与 f x j q()∙j=1,…,n和 x lq ∙与 f x j lq()∙ j=1,…,n l =1,…,n-r第三步 由决策人对第二步结果作判断 基对x q∙满意则停止若 不满意则q=q+1返回第一步三、优缺点 1.可用于非单调区间 2.容易反映目标间的矛盾关系3.非线性规划问题求解困难,没有规范化的步骤保证收敛§11.7Geoffrion 法一、思路·用Frank-Wolfe 法解线性约束的非线性规划问题max v(f x ∙∙()) (0) s. t. x X ∙∈是在x ∙0 处，以一阶Taylor 展开~()vx ∙线性逼接v(f x ∙∙())[记作v(x ∙)]: ~()v x ∙= v(x ∙0) + [∇xv x ()0]T (x ∙-x ∙0) (1) 求(1)的极大值等价于求解线性规划问题m a x x X∙∈[∇x v x ()0]T ·x ∙(2)令(2)的最优解为y ∙，则i,若 [∇x v x ()0]T (y ∙-x ∙0) 是(2)的最优解，迭代停止；ii,若[∇x v x ()0]T (y ∙0-x ∙0)>0, 则从x ∙0出发沿y ∙-x ∙0方向作一维搜索即求 max 010<≤t v(x ∙0+t 0(y ∙0-x ∙))的最优解t 0只要 t 0>0足够小, 必有 v(x ∙1)>v(x ∙)式中 x ∙1= x ∙0+t 0(y ∙0-x ∙)对x X ∙∈1，重复上述步骤，可得原问题(0)的最优解∇x v x ()0虽属未知，但∇x v x ()0=∂∂v f jj n=∑1∇x j f x ()0除以∂∂v f l , 得w j j n =∑1∇x j f x ()0 其中，w v f v f j j l=∂∂∂∂≈-∆∆f fl jj=1,…,n二、求解步骤三、优缺点1.只要决策者心目中的效用函数确实存在，并能给出各点的边际置换率，不必给出具体的 效用函数值。