主动成长 夯基达标 1.若f （x ）＝（m 2－1）x 2＋（m －1）x ＋（n －2）为奇函数，则m 、n 的值为( )
A ．m ＝1，n ＝2
B ．m ＝－1，n ＝2
C ．m ＝±1，n ＝2
D ．m ＝±1，n ∈R
思路解析：f （x ）为奇函数，则f （－x ）＝－f （x ），即无论x 取何值,（m 2－1）x 2-（m －
1）x ＋n －2＝－［（m 2－1）x 2＋（m －1）x ＋（n －2）］都成立,
即2（m 2－1）x 2＋2（n －2）＝0．
∴⎩⎨⎧=-=-.
02,012n m ∴⎩⎨⎧=±=.2,1n m 答案：C
2.下列函数中是幂函数的是( )
A.y =x x
B.y =3x 21
C.y =x 21+1
D.y =x
-2 思路解析：根据幂函数的基本形式为y =x n 易得到答案.
答案：D
3.幂函数y =x n (n ∈Q )的图象一定经过点( )
A.(0,0)
B.(1,1)
C.(-1,-1)
D.(0,1)
思路解析：本题主要考查了幂函数的图象的性质.
答案：B
4.设f （x ）为偶函数，对于任意的x ∈(0,+∞)，都有f （2＋x ）＝－2f （2－x ），已知f （－1）＝4，那么f （－3）等于 …( )
A.2
B.-2
C.8
D.-8
思路解析：∵f （x ）为偶函数，∴f （－1）＝f （1）＝4．
∴令x ＝1，得f （3）＝－2f （1）＝－2×4＝－8．
答案：D
5.幂函数f (x )的图象过点(2，516)，则函数的解析式是( )
A.f (x -2)=(x -2)45
B.f (x -2)=x 45-2
C.f (x -2)=x 54-2
D.f (x -2)=(x -2)54
思路解析：可以先求f (x )的表达式，然后再去求f (x -2)的表达式. 设f (x )=x a ,则516=2a
,∴254
=2a . ∴a =5
4.∴f (x )=x 54
.
因此f (x -2)=(x -2)54. 答案：D 6.比较(54)21和(10
9)31两个数的大小. 思路解析：使用幂函数的图象以及性质.
∵54<109,2
1>0, ∴根据幂函数的单调性，有(54)21<(10
9)21. 又0<109<1, 21>3
1, ∴根据指数函数的单调性，有(109)21<(10
9)31. ∴综上可知(54)21<(10
9)31. 解：(54)21<(10
9)31. 7.已知函数f (x )=(a -1)x a 2+a -1，那么当a ＝ 时，f （x ）为正比例函数，当a ＝ 时，
f （x ）为反比例函数；当a ＝ 时，f （x ）为二次函数；当a ＝ 时，f （x ）为幂函数．
思路解析：（1）当⎩
⎨⎧=-+≠-11,012a a a 即a ＝－2时，f （x ）为正比例函数； （2）当⎩⎨⎧-=-+≠-11,012a a a 即a ＝0或a ＝－1时，f （x ）为反比例函数；
（3）当⎩
⎨⎧≠-=-+,01,212a a a 即a =2131±-时，f （x ）为二次函数； （4）当a －1＝1，即a ＝2时，f （x ）是幂函数．
答案：－2 0或－1
2131±- 2 8.函数f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx 是奇函数，函数g （x ）＝x 2＋（c －2）x ＋5是偶函数，则b ＋c
＝ ．
思路解析：∵f （x ）＝x 3＋bx 2＋cx 是奇函数，∴b ＝0．
∵g （x ）＝x 2＋（c －2）x ＋5是偶函数，∴c －2＝0，即c ＝2．∴b ＋c ＝0＋2＝2．
答案：2
9.证明函数y =x 21
-1在［0,+∞)上是增函数.
证明：任取x 1,x 2∈［0,+∞)且x 1<x 2，则
f (x 1)-f (x 2)=(1x -1)-(2x -1)
=1x -2x =2
121x x x x +-. 因为x 1,x 2∈［0,+∞)且x 1<x 2,所以x 1-x 2<0，1x +2x >0.
所以f (x 1)-f (x 2)<0.所以f (x )在［0,+∞)上是增函数.
10.某公司产值最初为m 万元，以后连续三年持续增长，这三年的增长率分别为a ,b ,c ,求这三年的平均增长率.
思路解析：第一年的产值为m (1+a ),第二年的产值为m (1+a )(1+b ),第三年的产值为m (1+a )(1+b )(1+c ),如果设平均增长率为x ,则第三年的产值也为m (1+x )3.
解：设这三年的平均增长率为x ,依题意，得
m (1+x )3=m (1+a )(1+b )(1+c ).
解得x =()()()11113-+++c b a .
答：这三年的平均增长率为x =()()()11113-+++c b a .
11.已知幂函数f (x )=x m 2-2m -3(m ∈Z)为偶函数，且在区间(0，+∞)上是减函数.求函数f (x )的
解析式.
思路解析：因为f (x )是偶函数，故m 2-2m -3是偶数.
又f (x )在区间(0,+∞)上是减函数，故m 2-2m -3<0,可解得-1<m <3,而m ∈Z.
则只有m =1.所以有f (x )=x -4.
解：f (x )=x -4.
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12.已知x ∈N *
,f (x )=()⎩⎨⎧〈+≥-.3,2,3,352x x f x x 其值域设为D ，给出下列数值：-26，-1，9，14，27，
65，则其中属于集合D 的元素是 .（写出所有可能的数值）
思路分析：代入解方程可得.
答案：-26,14,65
13.函数f (x )=(m 2-m -1)x m 2+m -3是幂函数，且当x ∈（0，＋∞）时，f （x ）是增函数，求f （x ）
的解析式．
解：根据幂函数定义，m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1．
当m ＝2时，f （x ）＝x 3在（0，＋∞）上是增函数；当m ＝－1时，f （x ）＝x －3在（0，＋
∞）上是减函数，不合要求．故f （x ）＝x 3．
14.设f (x )=c
bx ax ++12（a 、b 、c 为自然数）为奇函数，且f （1）＝2，f （2）＜3，求a 、b 、c 的值．
解法一：∵f （x ）为奇函数，∴f （x ）＋f （－x ）＝0．
∴(ax 2+1)(c bx +1+bx c -1)=0． ∴(ax 2+1)·
()()bx c c bx c -+2=0对一切定义域内的x 成立． ∴f (x )=c bx ax ++12∵f （1）＝2，∴b
a 1+=2． 又∵f （2）＜3，∴
b a 214+<3． 消去a ，得b <
23． 又∵b ∈N *，∴b ＝1，从而a ＝1．∴a ＝b ＝1，c ＝0．
解法二：设g （x ）＝a x 2＋1，φ（x ）＝bx ＋c ．
∴g （－x ）＝a （－x ）2＋1＝ax 2＋1＝g （x ）．
∴g （x ）为偶函数．
由f (x )=()()
x x g ϕ，得φ(x )=()()x f x g ． ∵f （x ）是奇函数，g （x ）为偶函数， ∴φ(-x )=
()()x f x g --=()()x f x g -=-()()x f x g =-φ(x )． 因此φ（x ）一定是奇函数．由φ（－x ）＝－φ（x ），得c ＝0．
由f (1)=2
由①得a ＝2b －1，代入②解得b <
2
3． 又b ∈Z +，故b ＝1，从而a ＝1． 综上，a ＝b ＝1，c ＝0．
15.已知幂函数f (x )=(t 3-t +1)x
51(7+3t -2t 2)
,t ∈Z 是偶函数且在(0,+∞)上为增函数，求实数t 的值和函数f (x )的解析式. 思路解析：关于幂函数y =x n (n ∈Q ,n ≠0)的奇偶性问题，设n=
q p (|p |,|q|互质),当q 为偶数时，p 必为奇数.y =x q p
是非奇非偶函数；当q 是奇数时，y =x q p 的奇偶性与p 的奇偶性对
应.
解：∵f (x )是幂函数,∴t 3-t +1=1.
∴t =-1,1或0.
当t =0时,f (x )=x 57是奇函数.
当t =-1时,f (x )=x 52是偶函数.
当t =1时,f (x )=x 58是偶函数.
且52，5
8都大于0，在(0,+∞)为增函数. 故t =1，且f (x )=x 58
或t =-1且f (x )=x 5
2.。